1、 全等图形全等图形全等三角形全等三角形能够完全重合的图形能够完全重合的图形形状大小都相等形状大小都相等对应边、对应角相等对应边、对应角相等你能将下列各图分成两个全等图形吗？你能将下列各图分成两个全等图形吗？ABC全等三角形的性质？全等三角形的性质？全等三角形：对应边相等，对应角相等。全等三角形：对应边相等，对应角相等。ABC ABCABCAB=AB,AC=AC,BC=BCA=A,B=B,C=C全等三角形共有全等三角形共有6组元素组元素(3组对应边、组对应边、3组对应角组对应角)三角形全等的三角形全等的4个个种判定公理：种判定公理：SSS（边边边）（边边边）SAS（边角边）（边角边）ASA（角边
2、角）（角边角）AAS（角角边）（角角边）有三边对应相有三边对应相等的两个三角形等的两个三角形全等全等.有两边和它们的有两边和它们的夹角对应相等的夹角对应相等的两个三角形全等两个三角形全等.有两角和它们的夹有两角和它们的夹边对应相等的两个边对应相等的两个三角形全等三角形全等.有两角和及其中有两角和及其中一个角所对的边对一个角所对的边对应相等的两个三角应相等的两个三角形全等形全等.可见：可见：要使两个三角形全等，要使两个三角形全等，应至少有应至少有 组元素对应相等。组元素对应相等。36 6选选3 3边边边边边边(SSS)两边一角两边一角两角一边两角一边角角角角角角两边和它的夹角两边和它的夹角(SA
3、S)两边和它一边的对角两边和它一边的对角两角和夹边两角和夹边(ASA)两角和一角的对边两角和一角的对边(AAS)两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。=SSAABCD8三个角三个角对应相等的两个三角形不一定全等AAA 可见：可见：要使两个三角形全等，要使两个三角形全等，应至少有应至少有 组元素对应相等。组元素对应相等。36 6选选3 3边边边边边边(SSS)两边一角两边一角两角一边两角一边角角角角角角两边和它的夹角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两边和它一边的对角两角和夹边两角和夹边(ASA)两角和一角的对边两角和一角的对边(AAS)全等图形全等图形
4、全等三角形全等三角形能够完全重合的图形能够完全重合的图形形状大小都相等形状大小都相等对应边、对应角相等对应边、对应角相等例例1阅读题：阅读题：已知，如图，已知，如图，求证：求证：有一同学证法如下：有一同学证法如下：证：连结证：连结AB在在ABC和和ABD中中BC=BDC=DAB=ABABC ABD (SAS)AC=AD你认为这位同学的证法对吗？如果错误，你认为这位同学的证法对吗？如果错误，错在哪里，应怎样证明？错在哪里，应怎样证明？DACB例例1阅读题：阅读题：已知，如图，已知，如图，求证：求证：有一同学证法如下：有一同学证法如下：证：连结证：连结AB在在ABC和和ABD中中BC=BDC=DA
5、B=ABABC ABD (SAS)AC=AD 答：证法错误。答：证法错误。SAS定理应用错误。定理应用错误。DACB议一议议一议例例2如图，有两个长度相同的滑如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯与右边滑梯水平方向的长度水平方向的长度DF相等，两个滑梯相等，两个滑梯的倾斜角的倾斜角ABC和和DFE的大小有的大小有什么关系？什么关系？ABC+DFE=90.解解：在：在RtABC和和RtDEF中中,RtABC RtDEF(HL).ABC=DEF(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).又又 DEF+DFE=90,ABC+DFE=90.BC=EFBC=EF（已
6、知）（已知）AC=DFAC=DF（已知）（已知）例例3.如图，如图，是，是ABC中边上的两点中边上的两点,，要证明要证明 ,还应该补充一个什么条件。还应该补充一个什么条件。BDECA解：解：（1）BE=CD （2）BD=CE （3）AB=AC（7）SABE=SACD（8）SABD=SACD （9）ABD ACE （4）B=C （5）BAE=CAD（6）BAD=CAE 例例4.如图，已知：如图，已知：E=C，EO=CO试说明试说明 BEO DCO 的理由。的理由。BEDCO E=C（已知）（已知）EO=CO（已知）（已知）BOE=DOC（对顶角相等）（对顶角相等）解：在解：在BEO 和和DCO中
7、中 BEO DCO（ASA）BEDCBEDCA已知：点已知：点D在在AC上，点上，点B在在AE上，上，BC和和DE相相交于点交于点O，AE=AC，E=C。试问：试问：BE与与DC相等相等吗？请说明理由。吗？请说明理由。例例4-2.BEDCA解解：在：在ABC和和ADE中中 A=A（公共角）（公共角）AC=AE（已知）（已知）C=E（已知）（已知）ABC ADE（ASA）AB=AD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又AE=AC（已知）（已知）BE=DC（等式性质）（等式性质）OABCDEABCDEABCDE12例例4-3已知：已知：1 2，E=C,AC=AE试说明试说明AB=
8、AD，B D的理由。的理由。解：解：1 2 1 EAC=2+EAC BAC=DAE在在BAC和和 DAE中中 BAC=DAE AC=AE（已知）（已知）C=E（已知）（已知）BAC DAE （ASA）AB=AD(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）BD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)ABCDEBACDEBADCE例例4-4已知：已知：1 2，E=C,AC=AE，D、A、B在一条直线上；试说明点在一条直线上；试说明点A的位置，并说明理由。的位置，并说明理由。123解：解：1 2 1 3=2+3 DAE=BAC在在DAE和和BAC中中 DAE=BAC AE=AC E=C
9、 DAE BAC(ASA)AD=AB点点A为线段为线段DB中点中点方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边）：已知两边-找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角(AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(A
10、SA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)练习ABCDE课堂练习课堂练习1、已知：、已知：ABAD，BCDE；要想要想 ABC ADE，应添加什么条件？，应添加什么条件？2、已知：、已知：BDAC,CEAB,1=2试说明试说明BE=CD的理由。的理由。AEBOCD213、已知已知:如图，已知如图，已知1=2，3=4，BD=CE；试说明；试说明AB=AC的理由。的理由。65解：解：3=4（已知）（已知）5=6（等角的补角相等）（等角的补角相等）在在ABD和和ACE中中 1=2 5=6 BD=CE ABD ACE(AAS)AB=AC (全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)CBDEA21
11、43例例5：如图，三点在同一直线上，：如图，三点在同一直线上，分别以，为边在同侧作等边分别以，为边在同侧作等边AB和等边和等边B，交于点，交，交于点，交B于点，于点，（）（）求证：求证：CBAEDGHF证证:ABD和和BCE是正三角形是正三角形ABE DBCAB=BD，BC=BE，ABD=CBE=600ABD+DBE =CBE+DBE 即即ABE=DBCAE=DC例例：如图，三点在同一直线上，：如图，三点在同一直线上，分别以，为边在同侧作等边分别以，为边在同侧作等边AB和等边和等边B，交于点，交，交于点，交于点，于点，求证：求证：CBAEDGHF证证:ABE DBC 又又ABD=DBE=600
12、 AB=DBBAE=BDCAFB DGBBF=BG例例：如图，三点在同一直线上，：如图，三点在同一直线上，分别以，为边在同侧作等边分别以，为边在同侧作等边AB和等边和等边B，交于点，交于点，交于点，交于点，求求的度数的度数CBAEDGHF解解:BAE=BDC而而AHC=DAH+ADH=DAH+ADB+BDCAHC=DAH+ADB+BAEAHC=ADB+DABAHC=1200例例：如图，三点在同一直线上，分别以：如图，三点在同一直线上，分别以AB，为边在同侧作等边为边在同侧作等边AB和等边和等边B，交于点，交于点，交于点，交于点，若取的若取的中点，中点，的中点，求证：的中点，求证：B是等边三角形
13、。是等边三角形。CBAEDGHFNM BM=BN,ABM=DBNMBN=MBD+DBN =MBD+ABM =ABD=600BMN是正角形是正角形证证:CD=AE,M，N分别是分别是AE和和DC的中点的中点AM=DN ABE DBC BAM=BDN AB=BD ABM DBN三角形中常见辅助线的作法1.延长中线构造全等三角形例1 如图1，已知ABC中，AD是ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围提示：延长AD至A，使ADAD，连结BA根据“SAS”易证ABD ACD，得ACAB这样将AC转移到ABA中，根据三角形三边关系定理可解2、引平行线构造全等三角形例2 如图2，已知ABC中，A
14、BAC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BDCE，DE与BC交于点F求证：DF=EF提示：此题辅助线作法较多，如：作DGAE交BC于G；作EHBA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DFEF3、作连线构造等腰三角形，全等三角形例3 如图3，已知RTACB中，C=90，AC=BC，AD=AC，DEAB，垂足为D，交BC于E求证：BD=DE=CE提示：连结DC，证ECD是等腰三角形B BA AE ED DC CF F4 4、如图，已知、如图，已知ABABAEAE，BCBCEDED，B BE E，BAFBAFEAFEAF，试说明，试说明AFCDAFCD。解答：连结解答：连结ACAC、ADAD
15、在在ABCABC与与AEDAED中中ABABAEAEBBE EBCBCEDED(SAS)(SAS)ABCABCAEDAEDACACADADBACBACEADEAD又又BAFBAFEAFEAFBAFBAFBACBACEAFEAFEADEAD即：即：CAFCAFDAFDAFAFCDAFCDACACADAD4、利用翻折，构造全等三角形5、如图4，已知ABC中，B2C，AD平分BAC交BC于D求证：ACABBD提示：将ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B处，再证BD=BDBC，易得ADB ADB，BDC是等腰三角形，于是结论可证练习练习1：如图，已知，：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再
16、选出两，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：已知：EGAF 求证：求证：GFEDCBA；11.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.12.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：ADG 为等腰直角三角形
17、。G H F E D C B A拓展题拓展题9.如图如图,已知已知ACBD，EA、EB分别平分分别平分CAB和和DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证
18、明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）E5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2，3=4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS)BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS)AC=AD练习练习6：如图，已知，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABC DEF证明：
19、ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF （SAS）练习练习7：如图，已知，：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：已知：EGAF 求证：求证：GFEDCBA高高4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条在一条直线上求证：直线上求
20、证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C旋转一定角度旋转一定角度（大于零度而小于六十度），（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？以上的结论海成立吗？证明证明：ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS)BE=AD例例5 已知，如图，已知，如图，1=2，C=D 试说明试说明AC=AD的理由。的理由。解：解：ABD=180。1 DABC=180。2 C而而1=
21、2，C=D ABD=ABC在在ABD和和ABC中中1=2 （已知）（已知）AB=AB（公共边）（公共边）ABD=ABC（已知）（已知）ABD ABC（ASA）AC=AD （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）12CADBBEDCA1、已知：、已知：AEAC，要想要想ABC ADE，应添加什么条件？，应添加什么条件？BACDE3、已知：、已知：BD，CE；要想要想ABC ADE，应添加什么条件？，应添加什么条件？C ACBDA B D 例例6 已知已知:ABCABCA A B B C C ，ADAD、A A D D 分别是分别是ABC,ABC,A A B B C C 的高；试说明的高；
22、试说明 AD=AD=A A D D 的理由。的理由。证明证明：ABCABC A A B B C C AB=A AB=A B B ，B=B B=B （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）又又ADBC ADBC ，A A D D B B C C ADB=A ADB=A D D B B =90=90在在ABDABD和和A A B B D D 中中 B=B B=B （公共角）（公共角）ADB=A ADB=A D D B B AB=A AB=A B B ABDABDA A B B D D （AASAAS）AD=A AD=A D D （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）二课堂
23、练习二课堂练习(一）一）1.边角边公理（边角边公理（SAS）：）：AB=ABB=B（BC=BC)ABC ABC2、角边角公理（、角边角公理（ASA）：）：B=B(BC=BC )C=CABC ABC.1、如图，已知、如图，已知ABC ABD，BC和和BD是对应边，那是对应边，那么么AC=，C=。2、如图，、如图，ABC ADE，BAC=100，C=35，那么，那么EAD，E=。DABCEDABC二课堂练习（二）二课堂练习（二）ADDCABC3、ABC和和ABC的边角条件如图所示，那么这两个的边角条件如图所示，那么这两个三角形（三角形（）ABC23ABC32A、全等；、全等；B、不全等；、不全等；
24、C、不一定全等；、不一定全等；D、无法判定、无法判定4、如图，已知、如图，已知BE=CF且，且，B=DEF,A=D，那，那么么ABC和和DEF是（是（）A、全等；、全等；B、不全等；、不全等；C、无法判定。、无法判定。BFACDECA二课堂练习二课堂练习(三三)5.测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木，视线树木，视线 与河岸垂直，然后该人沿河岸步与河岸垂直，然后该人沿河岸步行步（每步约行步（每步约0.75M）到）到O处，进行标记，再向处，进行标记，再向前步行前步行10步到步到D处，最后背对河岸向前步行处，最后背对河岸向前步行20步，此步，此时树木时树木A，标记，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度，恰好在同一视线上，则河的宽度为为 米。米。15ABODC
