1、长方体公式解决外接球问题大全一.直接法1已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）ABCD2体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_3（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段的最小值为，则下列说法正确的是（）A正方体的外接球的表面积为B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2D线段的最大值为二.直棱柱.棱锥转化4我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，璧如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱
2、锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥，现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中若，当“阳马”即四棱锥的体积最大时，“堑堵”即三棱柱的外接球的表面积为（）ABCD5九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，则鳖臑外接球的表面积是（）ABCD6已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面ABC，若该棱锥的体积为，则此球的表面积等于（）ABCD7已知三棱锥中，平面，若，则该三棱锥的外接球的表面积为_.三.面面垂直转化8已知三棱锥的顶点都在球上，平面平面，且，则球的体积为_9已知四棱锥的顶点都在球O上，平面平面，且，则球O的体积为_10在平面四边形ABCD中，ADCD，A
3、CBC，DACBAC30，现将ACD沿AC折起，并连接BD，使得平面ACD平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为_四.对棱相等对角线转化11在四面体中，则该四面体外接球的体积为_12四面体ABCD中，ABCD5，则四面体ABCD外接球的表面积为_五.升级版综合类13在正三棱锥中，分别是棱，的中点，且，设三棱锥外接球的体积和表面积分别是和若，则（）ABCD14已知在四棱锥中，平面，底面为矩形，当最大时，该四棱锥外接球的表面积为_.长方体公式解决外接球问题大全1已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）ABCD【答案】A【分析】先求
4、得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】设正方体的边长为，则，正方体的对角线长为，所以球的直径，半径，所以球的体积为.故选：A2体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】【分析】根据正方体的体积公式，求得棱长，结合球与正方体的对称性，求正方体的体对角线，可得球的半径，利用球的表面积公式，可得答案.【详解】设正方体的棱长为，则体积，即，易知正方体的体对角线为外接球的直径，设外接球的半径为，则，即，故该球的表面积.故答案为：.3（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段的最小值为，则下列说法正确的是（）A正方体的外
5、接球的表面积为B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2D线段的最大值为【答案】ABC【分析】设正方体的棱长为，即可求出正方体的内切球与外接球半径，进而求出的最小值，由此求出的值，然后对应各选项一一判断即可得出答案.【详解】设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，解得，正方体的棱长为2，C正确正方体的外接球的表面积为，A正确正方体的内切球的体积为，B正确，线段的最大值为，D错误故选：ABC4我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，璧如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧
6、棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥，现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中若，当“阳马”即四棱锥的体积最大时，“堑堵”即三棱柱的外接球的表面积为（）ABCD【答案】B【分析】设出，表达出四棱锥的体积，并用基本不等式求出体积最大值，从而确定，根据墙角模型求出三棱柱的外接球的半径，求出表面积.【详解】设，因为，则，四棱锥的体积为，当且仅当时，等号成立，此时三棱柱的外接球的半径为，则三棱柱的外接球的表面积为.故选：B5九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，则鳖臑外接球的表面积是（）ABCD【
7、答案】A【分析】判段出补全后为长方体，再利用长方体外接圆半径的计算公式得出半径，即可直接得出答案.【详解】由题意可知，如图，将鳖臑补全成长方体，则鳖臑外接球的半径，故鳖臑外接球的表面积为.故选：A.6已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面ABC，若该棱锥的体积为，则此球的表面积等于（）ABCD【答案】D【分析】由线面垂直的性质定理证明，取PB中点O，连接OA，OC，则有，即是该棱锥外接球的球心，是球的直径，求出其长得球半径，从而得球表面积【详解】平面，平面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，取PB中点O，连接OA，OC，则有，所以外接球球半径为，表面积为故选：D7已知三棱锥中，平面，若
8、，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【分析】由题意可得为外接球的直径，求出半径，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】解：由已知为外接球的直径，所以外接圆半径为，外接球表面积为.故答案为：.二、多选题(共0分)三、填空题(共0分)8已知三棱锥的顶点都在球上，平面平面，且，则球的体积为_【答案】【解析】分别取AB，AC的中点，根据又，得到分别为截面PAB，截面ABC外接圆的圆心，再由平面平面，得到平面，从而为球心求解.【详解】如图所示：分别取AB，AC的中点，因为，所以又，所以分别为截面PAB，截面ABC外接圆的圆心，又平面平面，,所以平面，所以为球心，所以球的半径为，所以球的体积为故答案
9、为：9已知四棱锥的顶点都在球O上，平面平面，且，则球O的体积为_【答案】【分析】取AC中点O，AD中点H，连接OH，OB，OD，PH，根据题中边长，可得，根据面面垂直的性质定理，可得平面，根据题意，可得O为四棱锥外接球的球心，利用勾股定理，求得，代入公式，即可得答案.【详解】取AC中点O，AD中点H，连接OH，OB，OD，PH，如图所示：因为，所以，即，即，又O为AC中点，所以O到A，B，C，D的距离相等.因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为O，H，分别为AC，AD中点，所以，即平面，又，所以O到P，A，D的距离相等，所以O为四棱锥外接球的球心，在中，,所以球O的体积.故答案为：【点睛】解
10、题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，勾股定理，并灵活应用，直角三角形斜边中点，即为三角形的外心，以此作为突破口求解，属中档题.10在平面四边形ABCD中，ADCD，ACBC，DACBAC30，现将ACD沿AC折起，并连接BD，使得平面ACD平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为_【答案】【分析】由题意，找到底面和侧面的外接圆圆心，通过面面垂直性质定理，作出线面垂直，确定球心，进而求得棱长，可得答案.【详解】ADCACB90，ADC的外接圆圆心为AC中点，ABC的外接圆圆心为AB中点，如图所示：过作平面ADC的垂线，过作平面ABC的垂线，平面ADC平面ABC，两垂线交于点
11、，可得为三棱锥DABC外接球的球心，由三棱锥DABC外接球的表面积为4，可得外接球的半径r1，AB2，在中，在中，平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BCAC，BC平面ABC，平面ADC，则为三棱锥的高，则三棱锥DABC的体积为故答案为：.11在四面体中，则该四面体外接球的体积为_【答案】【分析】如图所示：将四面体放入长方体中，利用勾股定理得到，计算得到答案.【详解】如图所示：将四面体放入长方体中：设长方体的边长分别为，则相加得到体积为：故答案为【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入长方体是解题的关键.12四面体ABCD中，ABCD5，则四面体ABCD外接球的表面积为
12、_【答案】50【分析】把四面体补成一个长方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此可求得外接球半径，从而得表面积【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，且分别以a，b，c为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，并且a2+b225，a2+c234，b2+c241，设球半径为R，则有(2R)2a2+b2+c250，4R250，球的表面积为故答案为：13在正三棱锥中，分别是棱，的中点，且，设三棱锥外接球的体积和表面积分别是和若，则（）ABCD【答案】C【分析】如图，根据题意，利用
13、线面垂直的判定定理和性质证明，将三棱锥补成以为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出外接球的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解.【详解】如图，取AC的中点D，连接PD、BD，则，由，得，因为三棱锥为正三棱锥，所以，而D是AC的中点，所以，又平面，所以平面，由平面，得，又，平面，所以平面，由平面，所以，根据正三棱锥的特点可得，故可将三棱锥补成以为棱的正方体，如图，所以正方体的外接球即为三棱锥的外接球.由，可得正方体的棱长为，所以，即正方体的外接球的半径为，即三棱锥的外接球半径为，所以外接球的体积为，表面积为.故选：C14已知在四棱锥中，平面，底面为矩形，当最大时，该四棱锥外接球的表面积为_.【答案】【分析】由题意可得，结合均值不等式可得，从而可得外接球的直径，即可求得四棱锥外接球的表面积.【详解】设外接球的半径为，由题可知，所以.因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以.故答案为：14
