1、5.3 5.3 诱导公式诱导公式人教人教A A版版2019 2019 必修第一册必修第一册第五章第五章 三角函数三角函数平顶山市第一高级中学平顶山市第一高级中学 米召奎米召奎精进至中精进至中明德至善明德至善平顶山市第一高级中学平顶山市第一高级中学 一一、新课程标准解读新课程标准解读二二、教学内容的分析教学内容的分析三三、教学目标的确定教学目标的确定四四、教学方法的选择教学方法的选择五、教学过程的设计五、教学过程的设计一一、新课程标准解读新课程标准解读理解诱导公式，知道诱导公式是圆的对称性的代数化，它反映的是三角函数理解诱导公式，知道诱导公式是圆的对称性的代数化，它反映的是三角函数的对称性；能的
2、对称性；能借助单位圆的对称性，推导出诱导公式借助单位圆的对称性，推导出诱导公式，并能运用诱导公式进，并能运用诱导公式进行化简、求值和证明。行化简、求值和证明。重要的数学结论往往都是重要的数学结论往往都是“看看”出来的，会出来的，会“看看”需要直观想象素养，诱导公需要直观想象素养，诱导公式的教学内容提供了发展学生直观想象素养的平台。式的教学内容提供了发展学生直观想象素养的平台。诱导公式的诱导公式的教学设计的情教学设计的情境，能够通过数学绪论的直观背景和数学语言的清晰表达，揭示数学结论的本境，能够通过数学绪论的直观背景和数学语言的清晰表达，揭示数学结论的本质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养。质，
3、提升学生的直观想象和逻辑推理素养。普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）一一、新课程标准解读课程标准解读二二、教学内容的分析教学内容的分析三角函数的诱导公式是选自普通高中数学教科书（人教三角函数的诱导公式是选自普通高中数学教科书（人教A A版）版）必修第一册必修第一册第第五五章的第三小节。在此之前，学生已学习了任意角的三角函数章的第三小节。在此之前，学生已学习了任意角的三角函数,初步掌握了初步掌握了三角函数定义、三角函数定义、象限角的三角函数符号问题、象限角的三角函数符号问题、以及同角三角函数的基本关系以及同角三角函数的基本关系等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作等内容，这为过渡
4、到本节的学习起着铺垫作用。用。本节课的学习为下面学习三角函数的化简、求值、证明打下基础，起到承上本节课的学习为下面学习三角函数的化简、求值、证明打下基础，起到承上启下的作用。启下的作用。诱导公式的推导及应用体现了高中数学诱导公式的推导及应用体现了高中数学的的数形结合思想和化归与转化的思想。数形结合思想和化归与转化的思想。二二、教学内容分析新旧教材对比新新教材探究以单位圆为载体，探教材探究以单位圆为载体，探究设置有着示范性，它承载着建究设置有着示范性，它承载着建立研究方法、培养用联系的观点立研究方法、培养用联系的观点看问题的习惯的重任。研究思路看问题的习惯的重任。研究思路为：圆的对称性为：圆的对
5、称性-角与角的关系角与角的关系-坐标间关系坐标间关系-三角函数关系三角函数关系旧旧教材探究直接教材探究直接思考角与角的关系，思考角与角的关系，然后借助定义探究。然后借助定义探究。二二、教学内容的分析教学内容的分析二二、教学内容分析 本阶段通过研究有关例子，本阶段通过研究有关例子，使学生体会到数学来源于生活。使学生体会到数学来源于生活。从而让学生得知研究函数单调从而让学生得知研究函数单调性的必要性，并能同时激发学性的必要性，并能同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精生的学习兴趣和主动探究的精神神 新新教材探究教材探究3与前两个探究与前两个探究采用一样的研究方法，保持采用一样的研究方法，保持了推导的
6、一致性；其次利用了推导的一致性；其次利用对称使推导变得简单易行，对称使推导变得简单易行，体现数学的简洁美。体现数学的简洁美。旧旧教材证明方教材证明方法突兀，不容法突兀，不容易想到。易想到。二二、教学内容的分析教学内容的分析二二、教学内容分析新增例题新增例题本例题设置意本例题设置意图旨在引导学图旨在引导学生形成代数问生形成代数问题的程序化思题的程序化思维，体现了转维，体现了转化的数学思想化的数学思想方法方法二二、教学内容的分析教学内容的分析二二、教学内容分析二二、教学内容的分析教学内容的分析二二、教学内容分析本章知识结构图及课时安排本章知识结构图及课时安排二二、教学内容的分析教学内容的分析二二、
7、教学内容分析本章知识结构图及课时安排本章知识结构图及课时安排二二、教学内容的分析教学内容的分析本章知识结构图及课时安排本章知识结构图及课时安排二二、教学内容分析二二、教学内容的分析教学内容的分析 利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进 行简单三角函数式求值、化简、与恒等式的证明行简单三角函数式求值、化简、与恒等式的证明重点重点 发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系 难点难点二二、教学内容分析三三、教学目标的确定教学目标的确定知识目标知识目标：借助单位圆中推导三角函数的诱导公借助单位圆中推导三角函数
8、的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题和恒等式证明问题能力目标：能力目标：借助图形让学生观察，发现，探究诱借助图形让学生观察，发现，探究诱导公式，让学生体会高中数学数形结合思想和化归导公式，让学生体会高中数学数形结合思想和化归与转化的思想。通过公式的应用，培养学生逻辑思与转化的思想。通过公式的应用，培养学生逻辑思维能力和运算能力。维能力和运算能力。三三、教学目标的确定教学目标的确定四四、教学方法的选择教学方法的选择启发式教学法启发式教
9、学法合作学习法合作学习法探究学习法探究学习法多媒体投影多媒体投影计算机辅助计算机辅助快捷、形象、快捷、形象、生动生动生本教育生本教育四四、教学方法的选择教学方法的选择四四、前置作业的设计前置作业的设计以生本教育的方法论以生本教育的方法论“先做后学、先会后学、先做后学、先会后学、先学后教先学后教”为指导，实现为发动学生自主学为指导，实现为发动学生自主学习及为学生好学而设计的课堂教育学习。整习及为学生好学而设计的课堂教育学习。整个设计过程贯穿在自主学习，合作学习，探个设计过程贯穿在自主学习，合作学习，探究学习中，内容将在教学过程中展现。究学习中，内容将在教学过程中展现。五五、教学过程的设计教学过程
10、的设计小组合作小组合作实践应用实践应用反思总结反思总结提高认识提高认识探究新知探究新知推导公式推导公式典例分析典例分析巩固练习巩固练习激发兴趣激发兴趣感知概念感知概念约约20分钟分钟约约18分钟分钟约约4分钟分钟约约3分钟分钟复习回顾复习回顾发现问题发现问题总结反思总结反思布置作业布置作业合作探究合作探究推导公式推导公式五五、教学过程的设计教学过程的设计4.4.计算下列三角函数的值：计算下列三角函数的值：（1 1）sin750sin750 （2 2）sin930sin9303.3.终边相同的角的三角函数值之间的关系终边相同的角的三角函数值之间的关系5.3 5.3 诱导公式诱导公式 第一课时第一
11、课时 1 1、三角函数的定义是什么？、三角函数的定义是什么？2 2、三角函数在各个象限的符号是什么？、三角函数在各个象限的符号是什么？复习回顾、发现问题复习回顾、发现问题五五、教学过程的设计教学过程的设计 3 3、公式一的作用是什么？、公式一的作用是什么？设计意图：设计意图：复习旧知，为新知识学习打下基础，三角函数的定义，为推复习旧知，为新知识学习打下基础，三角函数的定义，为推导诱导公式准备，象限角的三角函数符号问题对记忆诱导公式起关键作用，导诱导公式准备，象限角的三角函数符号问题对记忆诱导公式起关键作用，提出问题，调动学生探索问题的积极性。提出问题，调动学生探索问题的积极性。3.3.终边相同
12、的角的三角函数值之间的关系终边相同的角的三角函数值之间的关系探究新知、师生合作探究新知、师生合作设计意图：设计意图：引导学生充分利用单引导学生充分利用单位圆的对称作为研究三角函数问位圆的对称作为研究三角函数问题的一种方法使用，让学生形成题的一种方法使用，让学生形成 “对称关系对称关系-角间关系角间关系-坐标关坐标关系系-三角函数值间关系三角函数值间关系”的研究的研究线路。线路。3.3.终边相同的角的三角函数值之间的关系终边相同的角的三角函数值之间的关系探究新知、师生合作探究新知、师生合作tan)tan(cos)cos(sin)sin(诱导公式二诱导公式二设计意图：公式二的的推导起着示范作用，老
13、师引导，设计意图：公式二的的推导起着示范作用，老师引导，让学生参与让学生参与作图，体会从特殊到一般地认知规律，引导学生一步步发现结论。作图，体会从特殊到一般地认知规律，引导学生一步步发现结论。3.3.终边相同的角的三角函数值之间的关系终边相同的角的三角函数值之间的关系合作探究、生生合作合作探究、生生合作如图 5.3-3，作关于轴的对称点，以为终边的角都是与角终边相同的角，即 1Px3P3OPb2 kb()Z()k3.3.终边相同的角的三角函数值之间的关系终边相同的角的三角函数值之间的关系合作探究、生生合作合作探究、生生合作如图 5.3-4，作关于轴的对称点，以为终边的角都是与角终边相同的角，即
14、 1Py4P4OPb2 kb()Z()k设计意图：设计意图：学生合作探究交流，让学生经历发现结论的过程，加深他们对公式的学生合作探究交流，让学生经历发现结论的过程，加深他们对公式的理解与认识。充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，理解与认识。充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生参与教学活动让他们既动脑又动手，让学生参与教学活动.让学生体验数与形的关系，尝试自主探让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣。究的乐趣。五五、教学过程的设计教学过程的设计设计意图：初步熟悉诱导公式的使用，使学生感悟在解决问题的过程中，如何合理的使
15、设计意图：初步熟悉诱导公式的使用，使学生感悟在解决问题的过程中，如何合理的使用这几组公式；同时引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，用这几组公式；同时引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体数学方法的灵活性。在例题的选取与设计上，启发学生这些公式的内在关系和联系，体数学方法的灵活性。在例题的选取与设计上，主要体现主要体现“由易到难，由简单到复杂，层层推进由易到难，由简单到复杂，层层推进”的想法，例的想法，例1 1体现在求值上，例体现在求值上，例2 2主要主要体现在化简上，使学生明白公式的应用所在。体现在化简上，使学生
16、明白公式的应用所在。合作探究、简单应用合作探究、简单应用例 2化简：cos(180+)sin(+360)tan(180)cos(180)你能说说诱导公式的作用以及把任意角的三角函数转化为锐角函数你能说说诱导公式的作用以及把任意角的三角函数转化为锐角函数的的一般思路吗？一般思路吗？任意负角的三角函数任意正角的三角函数用公式三或一用公式三或一锐角三角函数用公式二或四用公式二或四02的角的三角函数用公式一用公式一负化正负化正大化小大化小角化锐角化锐设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确归纳用设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确归纳用诱导公式诱导公式把任意角的三角函数转化为锐
17、角三角函数的一般思路。把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般思路。合作探究、概括归纳合作探究、概括归纳五五、教学过程的设计教学过程的设计课堂小结课堂小结思想层面思想层面数学思想：数形结合，数学思想：数形结合，由特殊到一般，化归由特殊到一般，化归与转化思想。与转化思想。方法层面方法层面求任意角的三角函数值求任意角的三角函数值的步骤为：负化正，大的步骤为：负化正，大化小，最终变锐角。化小，最终变锐角。知识层面知识层面三个诱导公式及其记忆：三个诱导公式及其记忆：函数名不变；函数名不变；a暂作锐角，暂作锐角，符号看象限符号看象限。设计意图：开放式小结，从知识、方法与思想上让学生回顾与总结，设计意图
18、：开放式小结，从知识、方法与思想上让学生回顾与总结，相互补充，完善本节所学内容，使得不同的学生有不同的学习体验相互补充，完善本节所学内容，使得不同的学生有不同的学习体验和收获。和收获。五五、教学过程的设计教学过程的设计课堂作业课堂作业设计意图：为了尊重学生的个体差异，满足学生多样化设计意图：为了尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我分别在作业中设计了作业题和探究题的学习需要，我分别在作业中设计了作业题和探究题1.1.课本课本P P195 195 习题习题5.3 5.3 第第2 2，3 3题题4.4.计算下列三角函数的值：计算下列三角函数的值：（1 1）sin750sin750 （2
19、2）sin930sin9303.3.终边相同的角的三角函数值之间的关系终边相同的角的三角函数值之间的关系5.3 5.3 诱导公式诱导公式 第二课时第二课时锐角的锐角的三角函数三角函数0 0 22的角的角的三角函数的三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数任意负角的任意负角的三角函数三角函数用公式一或公式三用公式一或公式三用公式二或公式四用公式二或公式四用公式一用公式一复习回顾、发现问题复习回顾、发现问题设计意图：复习回顾，温故而知新设计意图：复习回顾，温故而知新 作作P1关于直线关于直线y=x的对称点的对称点P5，以，以OP5为终边的角为终边的角与角与角有什么关系？角有什么关系？角与角与角
20、的三角函数值之间有什么关系？的三角函数值之间有什么关系？探究探究，则设点1515555,),(xyyxyxP根据三角函数的定义，得：根据三角函数的定义，得：2以以OP5为终边的角为终边的角都是与角都是与角 终边相同的角，即终边相同的角，即 ，)2(2k；，1111tancossinxyxy55sin()cos()22yx，；，sin)2cos(cos)2sin(合作探究、生生合作合作探究、生生合作以以OP6为终边的角为为终边的角为 ，2)2(，则设点156156666,),(xyyyxxyxP；，1111tancossinxyxy根据三角函数的定义，得：根据三角函数的定义，得：；，1616)2
21、cos()2sin(yxxy从而得从而得；，sin)2cos(cos)2sin(作作P5关于关于y轴的对称点轴的对称点P6，又能得到什么结论？，又能得到什么结论？探究探究设计意图：展示公式五与六的探究，进一步强化将单位圆的对称性代数化设计意图：展示公式五与六的探究，进一步强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路。这种研究思路。合作探究、生生合作合作探究、生生合作【4】这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立【1】诱导公式都是的三角函数与 的三角函数之间的转化，记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限【2】“奇变偶不变”：角前面的是 ，如果 是奇数，那么得到的三角函数名要发生变化，即 正弦变余弦
22、，余弦变正弦；如果 是偶数，那么得到的三角函数名不变化【3】“符号看象限”：将角看成一个锐角(为了判断符号，实际可以不是锐角)，此时判断 所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号是正还是负.探究总结)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(4化简：例tancossin设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养。素养。例题讲解例3.证明你 的 证明吗？.)6cos(31)3sin，则（【练习】若)3(2cos)6cos(【解析】31)3sin(
23、小试身手设计意图：灵活使用公式，注意角与角的相对关系。设计意图：灵活使用公式，注意角与角的相对关系。尝试由尝试由公式二公式二，公式公式五五，证明以下，证明以下结论结论.例题讲解设计意图：引导学生形成代数问题的程序化思维，体现了转化的数学思想设计意图：引导学生形成代数问题的程序化思维，体现了转化的数学思想方法。方法。课堂小结学生反思（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？学生反思 知识总结设计意图：学生小结，让学生回顾与总结，相互补充，完善本节所设计意图：学生小结，让学生回顾与总结，相互补充，完善本节所学内容，使得不同的学生有不同的学习体验和收获。学内容，使得不同的学生有不同的学习体验和收获。P195 P195 习题习题5.3 5.3 第第6 6，8 8题题必做题：P195 习题5.3 第6，8题课堂作业设计意图：针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础设计意图：针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负减负”的的目的。目的。
