1、理科数学试题 第 1 页（共 11 页） 丹东市 2020 年高三线上教学质量监测 理科数学 命题：宋润生 宫伟东 杨晓东 审核：宋润生 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴 在条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持
2、卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设全集 U0，1，2，3，4，若 A0，2，3，B2，3，4，则(UA)(UB) A B1 C0，2 D1，4 2已知 i 是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3若 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线，AB (2，4)，AC (1，3)，则AD A(3，7) B(3，7) C(1，1) D(1，1)
3、 4设 alog2e，bln2，clog1 2 1 3，则 Aabc Bbac Cbca Dcba 5如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何 体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 A4 B7 C16 D28 2 2 3 3 3 理科数学试题 第 2 页（共 11 页） 6中国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打 结来记录数量，即“结绳计数” 如图，一位古人在从右到左依次 排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知， 这位古人共捕鱼 A89 条 B113 条 C324 条 D445 条 7同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次，设 2 枚硬币均正面
4、向上的次数为 X，则 X 的数学 方差是 A1 2 B3 4 C1 D3 2 8已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 A若 m，n，则 mn B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，mn，则 n 9已知 tan( 4) 1 7，则 cos2 A 7 25 B 7 25 C24 25 D24 25 10将函数 ycos(2x)( 2 2)的图象向右平移 3 8 个单位长度单位后得函数 f (x)图 象，若 f (x)为偶函数，则 Af (x)在区间 4， 2上单调递减 Bf (x)在区间 4， 2上单调递增 Cf (x)在区间 4， 2上单调递减 Df
5、(x)在区间 4， 2上单调递增 11已知直线 l：xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，过点 A（4，a） 作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB| A4 B4 2 C6 D6 2 12定义在 R 上的奇函数 f (x)又是周期为 4 的周期函数，已知在区间2，0)(0，2上， f (x) axb，2x0， ax1， 0x2 则 f (2019)f (2020) A1 2 B1 2 C3 2 D3 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的 概率是 0.3，摸出白球的概
6、率是 0.2，那么摸出黑球的概率是_ 14已知ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(ab)(sinAsinB)(cb)sinC， 则 A_ 15设函数 f (x)x3ax2(32a)x1，若 f (x)在 x1 处取得极大值，那么实数 a 的取 值范围为_ 理科数学试题 第 3 页（共 11 页） 16在平面直角坐标系 xOy 中，设双曲线 C 与椭圆 D 的中心都是坐标原点 O，焦点都在 x 轴上，已知 C 的两条渐近线与 D 相交于 M，N，P，Q 四点，F1，F2是 D 的两个焦 点， 若 M， N， P， Q， F1， F2恰好是一个正六边形的顶点， 则的 C 离心率
7、为_； D 离心率为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD，点 E 在 PD 上 （1）若 E 为 PD 的中点，证明：PB平面 AEC； （2）若 PA1，PD2，AB3 2，三棱锥 EACD 的体积为 3 8 ，求二面角 DAEC 的正弦值 18 （12 分） 2014 年，中央和国务院办公厅印发关于
8、引导农村土地经营权有序流转发展农业适 度规模经营的意见 ，要求大力发展土地流转和适度规模经营某种粮大户 2015 年开始 承包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机 随着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5 年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 养护费用 y（万元） 1.1 1.6 2 2.5 2.8 （1）从这 5 年中随机抽取 2 年，求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有 1 年 多于 2 万元的概率； （2）求
9、y 关于 x 的线性回归方程； （3）若该水稻收割机的购买价格是每台 16 万元，由（2）中的回归方程，从每台水 稻收割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满 5 年就淘汰，还是继续 使用到满 8 年再淘汰？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b i1 n xiyin - x - y i1 n xi2n - x2 ，a-yb-x A B P E C D 理科数学试题 第 4 页（共 11 页） 19 （12 分） 设an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的自然数 n，an与 2 的等 差中项等于 Sn与 2 的等比中项 （1）求数列an的通项
10、公式； （2）设 bn 8 anan+1，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明： 2 3Tn1 20 （12 分） 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线 C：y22px(p0)上的两点 （1）若 y1y2p2，证明：直线 AB 经过 C 的焦点 F （2）经过点 A，B 分别作 C 的两条切线 l1，l2，若 l1与 l2的交点 M 在 C 的准线 l 上， 证明： （i）直线 AB 经过 C 的焦点 F； （ii）l1l2 21 （12 分） 已知函数 f (x)lnxaxa （1）讨论 f (x)的单调性； （2）证明：exsinxxlnx1 （二）选考题：共 10 分。请考生
11、在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 xm 2t， y 5 2t （其中 t 为参数， m0）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 2 5sin，l 被 C 截得的弦长为 2 （1）求实数 m 的值； （2）设 l 与 C 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(m， 5)，求|PA|PB|的值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设函数 f (x)1 3|xa| （1）若 a2，解关于 x 的|x1 3|f
12、(x)1 不等式； （2）当1 3x 1 2时，|x 1 3|f (x)x，求实数 a 的取值范围 理科数学答案 第 5 页（共 11 页） 丹东市 2020 年高三线上教学质量监测 理科数学答案与评分参考理科数学答案与评分参考 一、选择题 1B 2A 3D 4B 5C 6A 7B 8C 9A 10D 11C 12A 二、填空题 130.5 142 3 15(，3) 162； 31 题目详解 1解： 因为全集 U0，1，2，3，4，A0，2，3，B2，3，4，所以UA1，4， UB0，1，因此(UA)(UB)1，选 B 2解： 当 ab1 时，(abi)2(1i)22i，反之，若(abi)22
13、i，则有 ab1 或 ab 1，因此选 A 3解： 由题意可得AD BC AC AB (1，3)(2，4)(1，1)，选 D 4解： 设 alog2e1，bln21，clog1 2 1 3log23log2e，所以 bac，选 B 5解： 该空间几何体是底面边长为 3，高为 2 的正三棱柱，它的底面外接圆半径 r 3，球心 到底面距离 d1，由球截面性质有 R2r2d24，这个球的表面积是 4R216，选 C 6解： 该图示为五进制数为 324， 依题意满五进一， 化为十进制数为 42535289， 选 A 7解： 一次同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币，恰好出现 2 枚正面向上的概率为1 2 1
14、 2 1 4 X 服从二项分布 B(4，1 4)，DX4 1 4(1 1 4) 3 4，选 B 8解： 对于选项 A，若 m，n，则 m 与 n 可能相交、平行或异面，A 错误 对于选项 B，若 m，mn，则“n”或“n”或“n 与 相交（含垂直） ”都有 可能，B 错误 对于选项 C，根据线面垂直定义，C 正确 对于选项 D，若 m，mn，则 n 或 n，D 错误 理科数学答案 第 6 页（共 11 页） 综上答案选 C 9解： 由题设 tantan 4 1tantan 4 1 7，因为 tan 41，所以 tan 4 3 cos2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1ta
15、n2 1tan2 7 25，选 A 10解： 由题设 f (x)cos(2x3 4 ) 因为 f (x)为偶函数，所以 f (0)1，cos(3 4 )1，所以3 4 k，整理得 k3 4 (kZ) 因为 2 2，所以 4从而 f (x)cos(2x)cos2x f (x)最小正周期为 ，区间 4， 2长度为 3 4 ，大于半个周期，所以 AB 错误 如果 x 4， 2，那么 2x 2，cos2x 单调递减，cos2x 单调递增，C 错误，D 正 确 综上答案选 D 11解： 由于直线 xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，所以圆心 C（2，1） 在直线 xay10 上，所以
16、2a10，所以 a1，所以 A（4，1） 所以|AC|236440又 r2，所以|AB|240436所以|AB|6，选 C 12解： 因为 f (x)的周期为 4，所以 f (4x)f (x)，所以 f (42)f (2)，即 f (2)f (2)因 为 f (x)是奇函数，所以 f (2)f (2)，f (2)0，从而 f (2)0 所以 2a10， 2ab0 解得 a1 2，b1 因为 f (x)的周期为 4，所以 f (2019)f (1)1 2 因为 f (x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f (0)f (0 )，故 f (0)0因为 f (x)的周期 为 4，所以 f (2020)
17、f (0)0 于是 f (2019)f (2020)1 2，选 A 13解 在口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的 概率是 0.3，摸出白球的概率是 0.2，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸 理科数学答案 第 7 页（共 11 页） 出黑球的概率是 10.30.20.5 14解： 因为(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理(ab)( ab)(cb)c，化简得 b2c2a2bc由余弦定理 cosAb 2c2a2 2bc 1 2 因为 0A，所以 A2 3 15解： f (x)3x22ax(32a)，f (1)0 f (x)一
18、个零点为 x11，由韦达定理，f (x)另一个零点为 x212a 3 因为 f (x)在 x1 处取得极大值，所以 x1 时，f (x)0，x1 时，f (x)0 因为二次函数 f (x)图象是开口向上的抛物线，所以 x1x2，即 112a 3 ，得 a3， 选 A 【注】 （1）应该熟练一元三次函数的图象特点，上面的小题一元三次函数解析式的最高 次项系数为正，可以直接由小根是极大值点即可，因此 112a 3 ，得 a3，选 A这 个方法仅仅适用于不要解题过程的小题！ （2）如果知道“可导函数的极大值点的二阶导数小于零，极小值的二阶导数大于零” ， 小题也可用， f (x)6x2a， f (1
19、)62a， 因为 f (x)在 x1 处取得极大值， 所以 f (1)0， 得 a3，选 A这个方法超纲！ 16解： 双曲线 C 与椭圆 D 中心都是坐标原点 O，焦点都在 x 轴上， 由题设，如图可知 C 的一条渐近线倾斜角为 60 ，斜率为 3，所以 的 C 离心率为1( 3)22 椭圆 D 的长半轴为 a，半焦距为 b，|F1F2|c，易知|NF2|c， |NF1| 3c，由|NF1|NF2|2a，得( 31)c2a，于是 D 离心率 为c a 2 31 31 17解法 1： （1）连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO，因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又 E 为
20、 PD 的中点，所以 EOPB，EO平面 AEC，PB面 AEC，所以 PB平面 AEC （6 分） （2）由题设 AD 3，CD3 2，所以ADC 的面积为3 3 4 ，因为棱锥 EACD 的体积为 3 8 ， 所以 E 到平面 ABCD 的距离为1 2 因为 PA平面 ABCD， PA1， 所以 E 为 PD 的中点 O A B P E C D F 理科数学答案 第 8 页（共 11 页） 因为 CDAD，CDPA，所以 CD平面 PAD，在平面 PAD 内过 D 作 DFAE，垂足 是 F，连结 CF，由三垂线定理 CFAE，所以CFD 是二面角 DAEC 的平面角 在直角AFD 中，F
21、D 3 2 ，因为 CD3 2，所以在直角CFD 中，CFD60，于是 二面角 DAEC 的正弦值为 3 2 （12 分） 解法 2： （1）同解法 1 （2）因为 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB， AD，AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点，AB 的方向 为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Axyz 由题设 AD 3，CD3 2，所以ADC 的面积为 3 3 4 ， 因为棱锥 EACD 的体积为 3 8 ， 所以 E 到平面 ABCD 的距 离为1 2因为 PA平面 ABCD，PA1，所以 E 为 PD 的中 点 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(3 2，
22、3，0)，D(0， 3，0)，P(0，0，1)， E(0， 3 2 ，1 2)， AC (3 2， 3，0)， AE (0， 3 2 ，1 2) 设 n(x0，y0，z0)为平面 ACE 的法向量， 则 nAC 0， nAE 0 即 3 2x0 3y00， 3 2 y01 2z00 可取 n(2 3 3 ，1， 3) 平面 DAE 的法向量是AB (1，0，0) 于是 cosn，AB 12 3 3 (2 3 3 )2(1)2( 3)2 (1)20202 1 2，所以二面角 D AEC 的正弦值为 3 2 （12 分） 18解： （1）用 A 表示“抽取的 2 年中平均每台水稻收割机每年的养护费
23、用至少有 1 年多于 2 万元”，基本事件的出现是等可能的，由古典概型公式得 P(A)C 2 2C 1 2C 1 3 C2 5 7 10 （4 分） A B P E C D x y z 理科数学答案 第 9 页（共 11 页） （2）由题设-x3，-y2， i1 5 xiyi34.3， i1 5 xi255，所以b34.35 3 2 555 32 0.43， a20.43 30.71 y 关于 x 的线性回归方程为y0.43x0.71 （8 分） （3）若满 5 年就淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为1016 5 5.2（万元） 若满 8 年就淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为 10160
24、.43(678) 30.71 8 37.16 8 4.645（万元） 所以使用到满 8 年的年平均费用低于使用到满 5 年的年平均费， 因此建议继续使用到满 8 年再淘汰 （12 分） 19解： （1）由题意an2 2 2Sn 两边平方整理得 an24an48Sn，可知 an124an148Sn1，可得 an12an24(an1an)8an1，整理得(an1an)(an1an4)0 由 an0 可得 an1an4 又a12 2 2a1，得 a12 所以an是首项为 2，公差为 4 的等差数列，通项公式为 an4n2 （6 分） （2）由（1）得 bn 8 anan+1 2 (2n1)(2n1)
25、 1 2n1 1 2n1，则 Tnb1b2b3bn (11 3)( 1 3 1 5)( 1 2n1 1 2n1) (11 3 1 2n1)( 1 3 1 5 1 2n1) 1 1 2n1 因为 nN*，所以 0 1 2n1 1 3， 2 31 1 2n11 于是2 3Tn1 （12 分） 20解： （1）由题设 y1y2，可设 AB：xmya，代入 y22px 得 y22pmy2pa0，当 4m2p28pa0 时，有 y1y22pa 理科数学答案 第 10 页（共 11 页） 因为 y1y2p2，所以2pap2，ap 2 于是直线 AB：xmyp 2经过 C 的焦点 F( p 2，0) （6
26、分） （2） （i）由题设 l1，l2的斜率存在，分别设为 k1，k2 则 l1方程为 yy1k1(xy1 2 2p)，将 x y2 2p代入得 k1 2py 2yk1y1 2 2p y10 由0 得(1k1y1 p )20，k1p y1，同理 k2 p y2 所以 l1方程可化为 y p y1x y1 2，同理 l2 方程为 y p y2x y2 2，两方程联立得 p(y2y1) y2y1 xy2y1 2 ，由题设 y1y2，所以 xy1y2 2p 因为 M 在 C 的准线 l：xp 2上，所以 y1y2 2p p 2，y1y2p 2 由（1）可知直线 AB 经过 C 的焦点 F （ii）因
27、为 k1k2 p2 y1y21，所以 l1l2 （12 分） 21解法 1： （1）f (x)的定义域为 x0，f (x)1ax x 当 a0 时，f (x)0，f (x)在(0，)单调递增 当 a0 时，若 0x1 a，f (x)0，若 x 1 a，f (x)0，所以 f (x)在(0， 1 a)单调递增，在 (1 a，)单调递减 （6 分） （2）当 a1 时，由（1）可知 f (x)f (1)0，得 lnxx1 所以 xlnx1x2x1，下面我们证明 exsinxx2x1 设 g (x)exsinxx2x1，那么 g(x)excosx2x1 由 lnxx1 得 ex 1x，从而 exex
28、 所以 g(x)(e2)x(cosx1)0，g (x)在(0，)单调递增，所以 g (x)g (0)0，于 是 exsinxx2x1，因此 exsinxxlnx1 （12 分） 解法 2： （1）同解法 1 （2） 当 a1 时， 由 （1） 可知 f (x)f (1)0， 得 lnxx1 所以 xlnx1x2x1 设 g (x)exx21，则 g(x)ex2x，g(x)ex2当 0xln2 时，g(x)0，当 x ln2 时， g(x)0， 所以 g(x)在(0， ln2)单调递减， 在(ln2， )单调递增， 所以 g(x)g(ln2) 2(1ln2)0，g (x)在(0，)单调递增，所以
29、 g (x)g (0)0，于是 exx21 设 h (x)sinxx，则 h(x)cosx10，h (x)在(0，)单调递增，所以 h (x)h (0) 0，故 sinxx 理科数学答案 第 11 页（共 11 页） 所以 exsinxx2x1 由可得因此 exsinxxlnx1 （12 分） 22解： （1）在 xm 2t， y 5 2t 中消去 t，得 l 的普通方程为 xym 50 由 2 5sin 得 x2y22 5y0 即 x2(y 5)25，表示为(0， 5)圆心， 5为半径 的圆 因为 l 被 C 截得的弦长为 2，由垂径定理得圆心到直线距离为3 2 2 所以3 2 2 |0 5
30、m 5| 2 ，因为 m0，所以 m3 （5 分） （2）直线 l 的参数方程化为 x3 2 2 t， y 5 2 2 t t 为参数代入 x2y22 5y0 得 t2 3 2t40 因为20，P(3， 5)，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t23 20， t1t240 所以|PA|PB|t1t23 2 （10 分） 23解： （1）当时 a2，不等式|x1 3| 1 3|x2|1 的解集是以下三个不等式组解集的并集： x2， x1 3 1 3x 2 31 或 1 3x2， x1 3 1 3x 2 31 或 x1 3， 1 3x 1 3x 2 31 解得不等式|x1 3|f (x)1 的解集为(，01，) （5 分） （2）当1 3x 1 2时，|x 1 3|x 1 3，不等式|x 1 3|f (x)x 可化为|xa|1 不等式|xa|1 解集为a1， a1， 由题设得1 3， 1 2a1， a1， 所以 a11 3， a11 2 解得实数 a 的取值范围为1 2， 4 3 （10 分）
