1、人大附中 20192020 学年度高三 3 月质量检测试题 数数 学学 命题人：李岩 审卷人：梁丽平 于金华 2020 年 3 月 9 日 说明：本试卷共三道大题、22 道小题，共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生 务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。 第一部分第一部分 （选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、 选择题 （本大题共一、 选择题 （本大题共 10 个小题， 每小题个小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分分 在每道小题给出的四个备选答案中，在每道小题给出的四个备选答案中， 只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。
2、）只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。 ） （1）若集合|320Axx=+R， 2 |230Bxxx=R，则AB = （A）|1xx R （B） 2 | 1 3 xx R （C） 2 |3 3 xxR （D）|3xxR （2）向量, ,a b c在正方形网格中的位置如图所示若向量+ab与c 共线，则实数= （A）2 （B）1 （C）1 （D）2 （3）设曲线C是双曲线，则“C的方程为2 2 4 = 1”是“C的渐近线方程为 = 2”的 （A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采
3、用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其 他选手各比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分若冠军获得者得分 比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为 （A）4 （B） 5 （C）6 （D）7 （5）若抛物线 2 2(0)ypx p=上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则p的取值范围是 （A） 1p （B） 1p （C） 2p （D） 2p （6）已知函数( )cos(2)f xx=+（为常数）为奇函数，那么cos= （A） 2 2 （B） 0 （C） 2 2 （D） 1 （7）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为 （A）4 （B）
4、2 2 （C） 7 （D）2 （8）已知函数 21,0, ( ) (1),0. x x f x f xx = 若方程( )f xxa=+有且只有两个不相等的实数根，则实 数a的取值范围是 （A）(),1 （B）(,1 （C）()0,1 （D）)0,+ （9）定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个 1212 ,()x x xx,均有 1212 ()()f xf xk xx 成立,则称函数( )f x在定义域D上满足利普希茨条件.若函数( )(1)f xx x=满足利普希茨条 件,则常数k的最小值为 （A）4 （B）3 （C）1 （D） 1 2 （10）在边长为 1 的正方体中，,E F
5、G H分别为 1111 ,AB C D AB CD的中点，点P从G出发，沿 折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速 度相等，记, ,E F P Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0 2 时，V与x的图像应为 （A） （B） （C） （D） (Q) (P) H G F E D C B A D1 C1 B1 A1 第二部分第二部分 （非选择题（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） （11）代数式 5 )1)(1 (xx+的展开式中
6、3 x的系数为 （12）在复平面内，复数1 2iz = 对应的点到原点的距离是 （13）已知函数 4 2 log,04, ( ) 1025,4. xx f x xxx = + 若a,b,c,d是互不相同的正数，且 ( )( )( )( )f af bf cf d=，则abcd的取值范围是 （14）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab =的一条渐近线的倾斜角为60，且与椭圆 2 2 1 5 x y+=有相等焦距,则 C的方程为 （15）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a =，公差2d =， 2 36 nn SS + =，则n = （16） 如果对于函数( )f x定义域
7、内任意的两个自变量的值 12 ,x x， 当 12 xx时,都有 12 ( )()f xf x， 且存在两个不相等的自变量值 12 ,y y ,使得 12 ()()f yf y= ,就称( )f x为定义域上的不严格的增函 数。 则 ,1 ( )0,11, ,1 xx f xx xx = 1, 2 ( ), sin , 22 x f x xx = = 1,1 ( )0,11, 1,1 x f xx x = ,1 ( ), 1,1 xx f x xx = + 四个函数中为不严格增函数的是 ，若已知函数( )g x的定义域、值域分别为A、B， 1,2,3A=,BA, 且( )g x为定义域A上的不
8、严格的增函数， 那么这样的( )g x有 个 三三、解答解答题（本大题共题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） （17） 已知 n a是各项为正数的等差数列， n S为其前n项和，且 2 4(1) nn Sa=+. （）求 12 ,a a的值及的通项公式； （）求数列 7 2 nn Sa的最小值. n a （18） （本小题满分 14 分） 如图， 在四棱锥ABCDE 中， 底面ABCD为矩形， 平面ABCD平面ABE，=90AEB， BCBE =，F为CE的中点， （）求证：/AE平面BDF； （）
9、求证：平面BDF平面ACE； （）EBAE =2， 在线段AE上找一点P， 使得二面角FDBP的余弦值为 10 10 ， 求AP 的长 （19） （本小题满分 13 分） 某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景点的交通、 安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分每项评分最低分 0 分，最高分 100 分每个景点总 分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分 散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题 （）若从交通得分排名前 5 名的景点中任取 1 个，求其安全得分大于 90 分的概率； （） 若从景点总分排名
10、前 6 名的景点中任取 3 个， 记安全得分不大于 90 分的景点个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望； （） 记该市 26 个景点的交通平均得分为 1， 安全平均得分为 2， 写出 1 与 2 的大小 关系（只写出结果） B A D C F E （20） （本题满分 14 分） 已知函数 f（x）= 1 x x+alnx （）求 f（x）在（1，f(1)）处的切线方程（用含 a 的式子表示） （）讨论 f（x）的单调性； （）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明： 12 12 ()() 2 f xf x a xx （21） （本题满分 13 分） 已知椭圆 22 22 :1(0)
11、 xy Cab ab +=的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的 圆与直线60xy+=相切. （）求椭圆方程； （）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S） ，直 线PS，QS分别交直线4x =于A，B两点. 求证：A，B两点的纵坐标之积为定值. （22） （本题满分 13 分） 给定一个 n 项的实数列 a1，a2，an(nN*)，任意选取一个实数 c，变换 T(c)将数列 a1， a2，an变换为数列|a1c|，|a2c|，|anc|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变 换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数 c 可以不相同
12、，第 k（kN*）次变换记为 Tk(ck)，其中 ck为第 k 次变换时选择的实数 如果通过 k 次变换后， 数列中的各项均为 0， 则称 T1(c1)， T2(c2)， ， Tk(ck)为“k 次归零变换” （）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中 k4； （）证明：对任意 n 项数列，都存在“n 次归零变换”； （）对于数列 1，22，33，nn，是否存在“n1 次归零变换”？请说明理由 人大附中 20192020 学年度高三 3 月质量检测试题 数学数学参考答案参考答案及评分标准及评分标准 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题
13、4 分，共分，共 40 分分 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C D B B A D C 二二、填空填空题（本大题共题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 0 5 （24，25） 2 2 1 3 y x = 8 10 (注：16 第一个空 3 分，第二个 2 分) 二二、填空填空题（本大题共题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分） 17. （本小题满分 13 分） 解： （）因为 2 4(1) nn Sa=+， 所以，当1n =时，
14、 2 11 4(1)aa=+，解得 1 1a =， 1 分 所以，当2n =时， 2 22 4(1)(1)aa+=+，解得 2 1a = 或 2 3a =， 3 分 因为 n a是各项为正数的等差数列，所以 2 3a =， 4 分 所以 n a的公差 21 2daa=， 5 分 所以 n a的通项公式 1 (1)21 n aandn=+=. 6 分 （）因为 2 4(1) nn Sa=+，所以 2 2 (21 1) 4 n n Sn + =， 8 分 所以 2 77 (21) 22 nn Sann= 2 7 7 2 nn=+ 2 735 () 24 n= 11 分 所以，当3n =或4n =时
15、， 7 2 nn Sa取得最小值 17 2 . 13 分 18. （本小题满分 14 分） （1）设,连接，易知是的中点， 是中点在中， 2 分 平面，平面， 平面 4 分 （2）平面平面 , 平面平面平面,又平面, 又，,平面, 6 分 在中，为的中点， , 平面， 又平面， 平面平面 8 分 (3)如图建立坐标系，设 AE=1，则 B（2，0，0） ，D（0，1，2） ，C（2,0,2） ，F（1,0,1） ，设 P（0， a ，0） ，)2 , 1 , 2(=BD，) 1 , 0 , 1(=BF，)0 , 2(aPB= 设 1 n面 BDF，且),( 1111 zyxn =，则 由 1
16、nBD得022 111 =+zyx 由 1 nBF得0 11 =+zx 令1 1 =z得0, 1 11 =yx，从而) 1 , 0 , 1 ( 1 =n 10 分 设 2 n面 BDP，且),( 2222 zyxn =，则 由 2 nBD得022 222 =+zyx 由 2 nPB得02 22 = ayx 令2 2 =y得1, 22 =azax，从而) 1, 2 ,( 2 =aan 12 分 10 10 ) 1(42 |1| | | cos 22 21 21 = + + = = aa aa nn nn ，解得0=a或1=a（舍）13 分 即 P 在 E 处 AP=AE=1 14 分 ACBDG
17、=FGGAC FECACEFGAE AEBFDFGBFD AEBFD ABCD ABEBCAB ABCDABEAB=BCABEAE,ABEBCAE AEBEBCBEB=AE,BCEAEBF BCE,BECB F=CE BFCEAECEE= BFACE BF BDF BDF ACE G B A D C F E x y z P 19. （本小题满分 13 分） （1）记从交通得分前 5 名的景点中任取 1 个，其安全得分大于 90 分为事件 A 1 分 由图可知，交通得分前 5 名的景点中安全得分大于 90 分的景点有 3 个 2 分 已知从五个景点中任取一个是等可能性的 3 分 所以 p（A）=
18、 3 5 故从交通得分前 5 名的景点中任取 1 个，其安全得分大于 90 分的概率为 3 5 4 分 （2） 由图可知，景点总分前 6 名的安全得分不大于 90 分的景点有 2 个 5 分 设从景点总分前 6 名的景点中任取 3 个，安全得分不大于 90 分的个数为 ， 则 的取值为 0，1，2 6 分 所以 ( = 0) = C4 3 C6 3= 1 5，( = 1) = C4 2C21 C6 3 = 3 5，( = 2) = C4 1C22 C6 3 = 1 5， 9 分 故 的分布列为： 0 1 2 1 5 3 5 1 5 10 分 所以 () = 0 1 5 + 1 3 5 + 2
19、1 5 = 1 11 分 （3） 1 2 13 分 20. （本小题满分 14 分） （1）函数的定义域为（0，+） ， 2 2 1 ( ) xax fx x + = 1 分 当 x=1 时，f（1）=0 f(1)= 2 + 3 分 设切线方程为 = (2 + ) + ，代入(1,0)，得 = 2 f（x）在（1，f(1)）处的切线方程为 = + 2 4 分 （2）函数的定义域为（0，+） ， 2 2 1 ( ) xax fx x + = 设 2 ( )1g xxax= +，注意到(0)1g= ， 当 a0 时，g（x）2 时，0, 由( )0fx 得 22 44 22 aaaa x + ,
20、所以，当 a2 时，f(x)在 22 44 0,+ 22 aaaa+ （ ，） （， ）上是减函数， 在 22 44 (,) 22 aaaa+ 上是增函数 9 分 (3)由（1）知 a2，0x11x1x2， 即证11 1 1 2ln xx x 在(0,1)上恒成立， 12 分 设 h(x)=2lnxx+， （0x0，对任意的(0,1)x恒成立， h（x）=1=0， 13 分 则 h（x）在（0，1）上单调递减， h（x）h（1） ，即 2lnxx+0， 故 2lnxx，即 12 12 ( )() 2 f xf x a xx 成立 14 分 21. （本小题满分 13 分） （）因为以原点为圆心
21、，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60xy+=相切， 所以半径b等于原点到直线的距离d， 006 1 1 bd + = + ，即3=b. 2 分 由离心率 1 2 e =，可知 1 2 c a =，且 222 abc=+，得2a =. 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy +=. 4 分 （）由椭圆C的方程可知(2 0)S,. 若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x =， 所以 33 (1)(1) 22 PQ, ,. 则直线PS的方程为3 260xy+= ，直线QS的方程为3 260xy+= . 令4=x，得(43)A,-，(4 3)B,. 所以AB，两点的纵坐标之积为9. 6 分 若直线l
22、的斜率存在，设直线l的方程为)0)(1(=kxky, 由 22 (1) 34120 yk x xy = += 得 2222 (34)84120kxk xk+=， 8 分 依题意0恒成立. 9 分 设 112212 ()()(0)P x yQ x yx x ,， 则 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk += + , 10 分 设(4) A Ay,(4) B By,， 由题意PSA， ，三点共线可知 1 1 422 A yy x = ， 所以点A的纵坐标为 1 1 2 2 A y y x = . 同理得点B的纵坐标为 2 2 2 2 B y y x = . 11 分
23、所以 12 12 22 22 AB yy y y xx = . 2 1212 1212 222 2 222 2 2 ()1 4 2()4 412843 4 4122 84(43) 9 4 4 9 x xxx k x xxx kkk k kkk k k + = + + = + = = 综上，AB，两点的纵坐标之积为定值 13 分 22. （本小题满分 13 分） （）方法1： 1(4) T：3,1,1,3； 2(2) T：1,1,1,1； 3(1) T：0,0,0,0 方法2： 1(2) T：1,1,3,5； 2(2) T：1,1,1,3； 3(2) T：1,1,1,1； 4(1) T：0,0,
24、0,0 4 分 （）经过k次变换后，数列记为 ( )( )( ) 12 , kkk n aaa，1,2,k = 取 112 1 ) 2 caa=(+,则 (1)(1) 1212 1 | 2 aaaa=，即经 11 ( )T c后，前两项相等； 取 (1)(1) 223 1 () 2 caa=+,则 (2)(2)(2)(1)(1) 12332 1 | 2 aaaaa=,即经 22 ()T c后,前3项相等； 设进行变换() kk T c时，其中 (1)(1) 1 1 () 2 kk kkk caa + =+，变换后数列变为 ( )( )( )( )( )( ) 12312 , kkkkkk kk
25、n aaaaaa + ，则 ( )( )( )( ) 1231 kkkk k aaaa + =； 那么，进行第1k +次变换时，取 ( )( ) 112 1 () 2 kk kkk caa + =+， 则变换后数列变为 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 123123 , kkkkkkk kkkn aaaaaaa + + ， 显然有 (1)(1)(1)(1)(1) 12312 kkkkk kk aaaaa + + =； 经过1n次变换后，显然有 (1)(1)(1)(1)(1) 1231 nnnnn nn aaaaa =； 最后，取 (1)n nn ca =，经过变换() nn T c后
26、，数列各项均为0. 所以对任意数列，都存在 “n次归零变换” 9 分 （）不存在“1n次归零变换”. 10 分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换() jj T c时， ()()11(1) 12 min, jjj jn caaa ，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的 一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行() jj T c后，再进行 11 () jj Tc + ，由 ()()11 11 | |()| jj ijjijj accacc + =+，即等价于一次变换 1 () jjj T cc + +，同理，进行某一步 () jj T c时， j c
27、()()11(1) 12 max, jjj n aaa ；此变换步数也不是最小 由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的 i c满足 ()()11(1) 12 min, iii n aaa i c ()()11(1) 12 max, iii n aaa 不妨设 ()()11(1) 12 iii n aaa ，根据 ( )()1ii kki aac =，则 ( )( )( ) 12 max, iii n aaa= ()() 11 1 max, ii ini caac ， 由于 ()()()()1111 1 c; iiii iinnin caaaca ，所以 ( )(
28、)( ) 12 max, iii n aaa ()()11(1) 12 max, iii n aaa ， 所以， i c 12 max, n a aa 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n次归零变换” （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立 （由（）可知，存在 “两次归零变换”变换： 12 53 ( ),( ) 22 TT） （2）假设nk=时成立，即 23 1,2 ,3 , k k不存在“1k 次归零变换” 当1nk=+时，假设 231 1,2 ,3 ,(1) kk kk + +存在“k次归零变换” 此时，对 23 1,2 ,3 , k k也显然是“k次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知 23 1,2 ,3 , k k不存在“1k 次归零变换”，则k是最少的变换次数，每一次变换 i c一定满足 k i ck，1,2,ik= 所以 11 1212 |(1)| (1)() kk kk kccckccc + +=+ 1 (1)0 kk kk k + + 所以， 1 (1)kk + +绝不可能变换为 0，与归纳假设矛盾 所以，当1nk=+时不存在“k次归零变换” 由（1）（2）命题得证 13 分
