1、 . 2018 届河北省衡水中学高三第十七次模拟考试数学（理）试届河北省衡水中学高三第十七次模拟考试数学（理）试 题题 一、单选题一、单选题 1设集合,集合,则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析： 解指数不等式可得集合 A， 求出函数的定义域可得集合 B， 然后再求出即可 详解：由题意得， ， ， 故选 C 点睛：本题考查指数函数单调性的应用，对数函数的定义域及集合的运算，考查学生的 运算能力及应用所学知识解决问题的能力，属基础题 2已知复数 (为虚数单位),若复数 的共轭复数的虚部为, 则复数 在 复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C.
2、第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】分析：先化简复数 ，根据 的共轭复数的虚部为求出复数 ，再根据复数的 几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置 详解：由题意得， ， 又复数 的共轭复数的虚部为， . ，解得 ， 复数 在复平面内对应的点位于第一象限 故选 A 点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键 是根据复数 的共轭复数的虚部为求得实数，由此得到复数 ，然后再根据复数对 应的点的坐标确定其所在的象限 3 若 ,，的平均数为 3， 方差为 4,且,， 则新数据, 的平均数和标准差分别为（ ） A. -4 -4 B. -4 16 C. 2 8 D
3、. -2 4 【答案】D 【解析】分析：根据样本的平均数、方差的定义计算即可 详解： ,，的平均数为 3，方差为 4， ， 又， ， ， 新数据, 的平均数和标准差分别为 故选 D . 点睛：与平均数和方差有关的结论 （1）若 x1，x2，xn的平均数为 ，那么 mx1a，mx2a，mxna 的平均数为 ； （2）数据 x1，x2，xn与数据 x1x1a，x2x2a，xnxna 的方差相等， 即数据经过平移后方差不变； （3）若 x1，x2，xn的方差为 s2，那么 ax1b，ax2b，axnb的方差为 a2s2 4已知双曲线的左焦点为抛物线的焦点，双曲线的渐近线 方程为,则实数（ ） A.
4、3 B. C. D. 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为，则双曲线中， 由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为，则： ，求解关于实数 a,b 的方程可得：. 本题选择 C选项. 5运行如图所示程序，则输出的 的值为（ ） A. B. C. 45 D. 【答案】B 【解析】程序是计算,记 . , 两 式 相 加 得 .故,故选 . 6已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根据同角三角函数关系由求得，于是可得 ，然后再根据两角和的余弦公式求解即可 详解：， ， ， 故选 A 点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公 式的运用，
5、考查学生的计算能力和公式变形能力 7如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B . 【解析】 由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体， 下部的三棱柱,底面面积为： 1 4 36 2 ，高为 1，体积为：6； 上部的三棱柱,底面面积为： 1 2 2 3=3，高为 1，体积为：3； 故组合体的体积 V=6+3=9， 故选：B. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属 于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并 将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但
6、要注意三视图的三要素“高平齐，长对正， 宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 8 已知,点 在线段上,且的最小值为 1,则 ()的最小值 为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】分析：由可得点 O在线段的垂直平分线上，由结合题意可得当 C是的中点时最小，由此可得与的夹角为，故的夹角为然后 根据数量积可求得，于是可得所求 详解：， 点 O在线段的垂直平分线上 点 在线段上,且的最小值为 1， 当 C是的中点时最小，此时， 与的夹角为， 的夹角为 又 . ，当且仅当时等号成立 的最小值为 3， 的最小值为 故选 B 点睛：求解平面向量最值或
7、范围问题的常见方法 (1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式 (2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数 思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值 (3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几 何意义，从图形上观察分析出模的最值 9函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先判断函数为奇函数，可排除选项 C；然后求导可得函数在上单调 递增，可排除 B和 D，从而可得答案 详解：由题意可得， ， 函数为奇函数，其图象关于原点对称， 排除选项 C 又， . 当时，单调递增， 排除选项 B
8、 和 D 故选 A 点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从 函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象 10若抛物线的焦点是 ,准线是 ,点是抛物线上一点，则经过点 、且 与 相切的圆共（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】分析：由于圆经过点 、且与 相切，故圆心在线段的垂直平分线上，且圆 心到点 和准线 的距离相等，故
9、圆心在抛物线上结合条件可得满足条件的点有两个， 且每条线段的垂直平分线与抛物线都有两个交点，故可得圆心有 4 个 详解：因为点在抛物线上， 所以可求得 由于圆经过焦点 且与准线 l相切， 所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上 又圆经过抛物线上的点 M， 所以圆心在线段 FM 的垂直平分线上， 故圆心是线段 FM的垂直平分线与抛物线的交点 结合图形知对于点 M(4,4)和(4,4)，线段 FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点 所以满足条件的圆有 4个 故选 D 点睛：解答本题要抓住两点：一是圆心在线段 FM的垂直平分线上，二是圆心到焦点和 准线的距离相等，结合抛物线的定义可得圆心应在抛物线上，故
10、可得圆心的个数取决于 点 M 的个数，且每条线段 FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点 11设函数.若,且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B . 【解析】分析：采用取特殊值的方法求解，画出函数的图象，根据图象 找到使得且的的值，并由此得到所求的范围 详解： （特殊值法）画出的图象如图所示 结合图象可得，当时，；当时， ，满 足 由此可得当,且时， 故选 B 点睛：本题考查三角函数图象的画法和图象的应用，考查学生运用数形结合解决问题的 能力，有一定难度解题的关键值确定满足条件的临界位置，并在此基础上得到满足条 件的最小值，然后将此结论推广可得所求的范围 12对于函数 f
11、 x和 g x，设 0x f x， 0x g x，若存在, ， 使得1， 则称 f x与 g x互为 “零点相邻函数” 若函数 1 2 x f xex 与 2 3g xxaxa互为“零点相邻函数” ，则实数a的取值范围是（ ） A2,4 B 7 2, 3 C 7 ,3 3 D2,3 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，1，满足 f x与 g x互为“零点相邻函数” ， 02，又因为函数 2 3g xxaxa图像恒过定点( 1,4)，要想函数在区间 0,2上有零点，需 22 (0)30 ( )30 242 ga aaa ga ，解得23a，故选 D 【考点】新定义，函数零点问题 二、填空题二
12、、填空题 . 13若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列.类 比上述性质,若数列是各项都为正数的等比数列,对于时， 数列也是等比数 列，则 【答案】 【解析】 试题分析： 等差数列中的和类别为等比数列中的乘积， 是各项的算术平均数， 类比等比数列中是各项的几何平均数，因此 【考点】归纳类比 点评：类比题目要通过比较给定的已知条件与所要类比的结论之间的相似点，通过相似 点找到其满足的性质 14 函 数 yfx的 图 象 在 点 2,2Mf处 的 切 线 方 程 是28yx， 则 2 2 f f _ 【答案】 1 2 【解析】 由导数的几何意义可知 22 f ，又 22284f ，所以 1 2
13、 fx fx . 15已知 是区间上的任意实数,直线与不等式组表示的平 面区域总有公共点， 则直线的倾斜角 的取值范围为_ 【答案】 【解析】分析：先画出当和时不等式组表示的平面区域，根据 题意可知只要该区域包含在不等式组表示的平面区域内即可满足条件，由此 可得 的取值范围，进而得到直线 的倾斜角的范围 详解：由题意直线直线 的方程即为， 直线 的斜率为 ，且过定点 . 画出不等式组表示的可行域如图所示 由解得，故点，此时 当时，直线 的方程为，即， 由解得，故点，如图所示 结合图形可得要使直线 与不等式组表示的平面区域总有公共点，只需满足 直线 的斜率 直线 的倾斜角 的取值范围为 点睛：本
14、题考查不等式组表示的平面区域的画法，考查数形结合在解题中的应用以及学 生运用所学知识解决问题的能力解答本题的关键是对题意的正确理解和准确画出图 形 16 设 锐 角三 个 内 角所 对 的 边 分 别 为, 若 ,则 的取值范围为_ 【答案】 【解析】分析：由题意得，然后根据正弦定理得，结合为锐角 三角形可得，于是可得 的取值范围 详解： 由及余弦定理得， ， . 又为锐角三角形， 由正弦定理得， 由得， ， 的取值范围为 点睛：解答本题时容易出现的错误是忽视“为锐角三角形”这一条件，导致角 的 取值范围增大而出现错误的结果 三、解答题三、解答题 17已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列
15、， 2 3a ，且 21 log a， 23 log a， 27 log a 成等差数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】(1) =1 n an；(2) 22 n n S n . 【解析】试题分析： (1)由题意可得数列的公差为1d ，则数列 n a的通项公式是=1 n an； (2) 结 合 (1) 中 求 得 的 通 项 公 式 裂 项 求 和 可 得 数 列 n b的 前n项 和 . 22 n n S n . 试题解析： （1）设数列 n a的公差为d 由 2 3a ，且 21 lo
16、g a， 23 log a， 27 log a成等差数列，得 232 127 2logloglogaaa， 即 222 2log3log3log3 5ddd， 得 2 22 2log3log335ddd， 得 2 3335ddd，解得1d 或0d （舍去）. 所以数列 n a的通项公式为 2 =232 11 n aandnn . （2）因为 1 1111 = 1212 n nn b a annnn ， 所以 111111111111 2334451112 n S nnnnnn 11 2222 n nn . 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些 项，切不可漏写未被消
17、去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造 成正负相消是此法的根源与目的 18在测试中,客观题难题的计算公式为,其中 为第 题的难度， 为答对该题的人 数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试， 共 5 道客观题. 测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考 前 预 估 难 度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，从中随机抽取了 10 名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示 (“”表示答对,“”表示答错)： 学生 编 号 题号 1 2 3 4 5 1 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （
18、1）根据题中数据，将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入 下表，并估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数； 题号 1 2 3 4 5 实测答对人 数 实测难度 （2）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率； （3）定义统计量，其中为第 题的实测难度， 为第 题的预估难度().规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则 为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析. 【解析】分析： （1）根据统计表中的数据，可得每道题实测的答对人数及相应的实测难 度表，由表可知估计 1
19、20人中有人答对第 题； （2）这 人中随机抽取 2人， 不同的抽取方法有 10种，其中恰好有 1人答对第 题共 6种，由古典概型概率公式可得 结果； （3）根据方差公式可得,从而可得该次测试的难度预估是合理的. 详解： （1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人8 8 7 7 2 . 数 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 所以,估计 120 人中有人答对第 5 题. （2）记编号为 的学生为，从这 5 人中随机抽取 2 人，不同的抽取方法有 10种 . 其 中 恰 好 有1人 答 对 第5题 的 抽 取 方 法 为 ，共 6 种.
20、 所以，从抽样的 10 名学生中随机抽取 2 名答对至少 4 道题的学生，恰好有 1 人答对第 5 题的概率为. （3）为抽样的10名学生中第 题的实测难度， 用 作为这120名学生第 题的实测难度. 因为,所以,该次测试的难度预估是合理的. 点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难中档题，利用古典概型概率公式 求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合 给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中 的基本亊件的探求.在找基本事件个数时， 一定要按顺序逐个写出： 先，. ， 再，依次 . 这样才能避免多写、 漏写现
21、象的发生； （3）利用组合知识解答. 19四棱锥中，面，底面是菱形，且， 过点 作直线， 为直线 上一动点. （1）求证：； （2）当面面时，求三棱锥的体积. . 【答案】 （1）证明见解析； （2）. 【解析】 分析： （1） 由平面得， 又在菱形中有， 故得 平 面， 于 是 得 到（ 2 ） 结 合 题 意 可 得平 面， 故 根据面面得到，然后根据几何图形的计算 得到，于是，又，由此可得所求的三棱锥的体积 详解：（1）， 直线确定一平面. 平面，平面， 由题意知直线在面上的射影为， 又在菱形中有， 平面， 平面， . （2）由题意得和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为 ， 连接、，则
22、， 又, 平面 又平面面，平面 面， 面， . . 在菱形中， . 在中， 在中，设，则 在中， 又在直角梯形中， 故， 解得，即. ， . 点睛： （1）用空间中的线面关系的有关定理证明时，要注意解题的规范性，对于定理中 的关键词语在证题过程中要体现出来 （2）在求解一些不规则的几何体的体积时，常常需要用到分割法，将不规则的几何体 的体积转化为规则的几何体的体积来求解 20设点 、 的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是. （1）求点的轨迹 的方程； （2）直线与曲线 相交于两点，若是否存在实数 ，使得的面积 为 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）； （
23、2）不存在. 【解析】 试题分析：（1） 根据题意， 得， 整理得的轨迹 为； （ 2 ） 联 立， 化 为 ：， 得 到 韦 达 定 理 . ，求出弦长，再求出 到直线 的距离 ，写出面积方程 ，解出，但此时直线方程过、，这两点由（1）知是取不到 的，所以不存在。 试题解析： （1） 设点的坐标为， 因为点 的坐标是， 所以直线的斜率 同理，直线的斜率 所以化简得点的轨迹方程 为 （2）设联立，化为：， ， 点到 直 线 的 距 离 ，解得：，解得，因为当时直线 过点，当 时直线 过点，因此不存在实数 ，使得的面积为 . 21已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，函数的图象恒不在
24、 轴的上方，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）当时，增区间为，当时，递增区间为，减区间为 . ； （2）. 【解析】分析： （1）求导可得，分和两种情况讨论可得函数 的单调区间 （2）由题意得，且在上恒 成立，令，则，然后再根据 的 范围分类讨论可得所求范围 详解： （1）， 当时，则，所以在上单调递增； 当时，则由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意得， 当时，函数的图象恒不在 轴的上方， 在上恒成立 设， 则. 令， 则， 若，则，故在上单调递增， . ， 在上单调递增， ， 从而，不符合题意
25、 若，当时，在上单调递增， ， 在上单调递增， , 从而在上，不符合题意； 若，则在上恒成立， 在上单调递减， ， 在上单调递减， ， 从而恒成立 综上可得实数 的取值范围是. 点睛： （1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，要弄清参数对导数在某一区间 内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论 （2）利用函数的导数研究不等式的恒成立问题是一类重要的题型，其实质是求函数的 最值问题，它体现了导数的工具性作用将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解 决问题的能力，多为高考中较难的题目 22 在平面直角坐标系中， 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数，). （1）当时，若曲线 上存在两点关于点成中心
26、对称，求直线的斜率； . （2） 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中， 极坐标方程为 的直线 与曲线 相交于两点,若，求实数 的值. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】分析： （1）将参数方程消去参数得到曲线 的普通方程为， 由曲线 上存在两点关于点成中心对称可得，求得，于是得 （2）将曲线 C 的参数方程消去参数可得，根据圆的弦长 公式可得，即为所求 详解： （1）当时，曲线 的参数方程为( 为参数)， 消去参数得， 圆心 的坐标为 曲线 上存在两点关于点成中心对称， ， 又， 直线的斜率 （2）由 (为参数，)消去参数得曲线的普通方程为 ， 圆心 的坐标为，半径为 又直线 的极
27、坐标方程可化为， 故其直角坐标方程为， 又， ， . 解得 实数 的值为 点睛：本题考查参数方程与普通方程间的转化，并在此基础上考查圆中的对称问题和根 据圆的弦长求参数等问题，主要考查学生用所学知识解决问题的能力和转化能力 23已知函数，. （1）解不等式； （2）设，求证：. 【答案】 （1）； （2）证明见解析. 【解析】分析： （1）由题意得原不等式即为，然后利用分类讨论解不等 式即可 （2）根据绝对值的三角不等式证明即可 详解： （1）由题意得原不等式为，等价于 或或， 解得或或， 综上可得 原不等式的解集为 （2） ， 当且仅当时等号成立 点睛：解绝对值不等式的关键是去掉绝对值，要注意分类讨论思想的运用对于含有一 个绝对值号的不等式，可根据绝对值的几何意义求解；含有两个绝对值号的不等式，一 般利用分类讨论求解
