1、 18.1.2 平行四边形的判定（平行四边形的判定（1） 一、教学目标一、教学目标 1在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的 方法 2会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题 3培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题 二、重点、难点二、重点、难点 重点：平行四边形的判定方法及应用 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用 3难点的突破方法： 平行四边形的判别方法是本节课的核心内容 同时它又是后面进一步研究矩 形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材本节 课的教学重点为平行四边形的判别方法在本课中，可以探索活动为载体，并
2、将 论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融 合，达到突出重点、分散难点的目的 （1）平行四边形的判定方法 1、2、3 都是平行四边形性质的逆命题，它们 的证明都可利用定义或前一个方法来证明 （2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、角、对角线三方 面进行记忆 （3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效 的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行 四边形的直觉认识 并复习平行四边形的定义， 建立新旧知识间的相互联系 接 着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制 一个平行四边形框架
3、，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、 勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握 “平行四边形的判别”的方法 然后利用学生手中的学具硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索 构成平行四边形的条件 在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方 法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握， 并发展了学生说理及简单推理的能力 （4） 从本节开始， 就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问 题， 凡是可以用平行四边形知识证明的问题， 不要再回到用三角形全等证明 应 该对学生提出这个要求 （5）平行四边形知识的运用
4、包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某 些问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是 平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平 行四边形的性质去解决某些问题 （6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识 是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识 三、例题的意图分析三、例题的意图分析 本节课安排了3个例题，例1是教科书的例3，它是平行四边形的性质与判定 的综合运用， 此题最好先让学生说出证明的思路， 然后老师总结并指出其最佳方 法例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地
5、运用平行四 边形的判定方法和性质来解决问题例3是一道拼图 题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理， 即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可 以提高学生的学习兴趣如让学生再用四个不等边三 角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由 四、课堂引入四、课堂引入 1欣赏图片、提出问题 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是 怎样判断的？ 2 【探究】【探究】 ：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉 制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？ 让学生利用手中的学具硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索 构成平行
6、四边形的条件，思考并探讨： . 你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？ . 你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？ . 你能说出你的做法及其道理吗？ . 能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语 言表述出来吗？ （5）你还能找出其他方法吗？ 从探究中得到： 平行四边形判定方法平行四边形判定方法 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法平行四边形判定方法 2 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 五、例习题分析五、例习题分析 例例 1（教科书例 3）已知：如图，ABCD 的对
7、角 线 AC、 BD 交于点 O， E、 F 是 AC 上的两点， 并且 AE=CF 求证：四边形 BFDE 是平行四边形 分析分析：欲证四边形 BFDE 是平行四边形可以根据判定方法 2 来证明 （证明过程参看教材） 问：你还有其他的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单 例例 2（补充） 已知：如图，ABBA，BCCB， CAAC 求证：(1) ABCB，CABA，BCAC； (2) ABC 的顶点分别是 BCA各边的中点 证明：(1) ABBA，CBBC， 四边形 ABCB是平行四边形 ABCB(平行四边形的对角相等) 同理CABA，BCAC (2) 由(1)证得四边形 ABCB是平行四
8、边形同理，四边形 ABAC 是平行四 边形 ABBC， ABAC(平行四边形的对边相等) BCAC 同理，BACA， ABCB ABC 的顶点 A、B、C 分别是BCA的边 BC、CA、AB的中点 例例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏 时， 拼成一个六边形 你能在图中找出所有的平行四边形吗？ 并说说你的理由 解：有 6 个平行四边形，分别是ABOF，ABCO， BCDO，CDEO，DEFO，EFAO 理由是：因为正ABO正AOF，所以 AB=BO，OF=FA根据 “两组对 边分别相等的四边形是平行四边形” ，可知四边形 ABCD 是平行四边形其他五 个同理 六、六、随堂练习随堂
9、练习 1如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， （1） 若AD=8 cm， AB=4 cm， 那么当BC=_cm， CD=_cm 时，四边形ABCD为平行四边形； （2）若AC=10 cm，BD=8 cm，那么当AO=_cm， DO=_cm时，四边形ABCD为平行四边形 2已知： 如图， ABCD 中， 点 E， F 分别在 CD， AB 上， DFBE， EF 交 BD 于点 O 求证： EO=OF 3如图，由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通 过观察，分析发现： 第4个图形中平行四边形的个数为_ _ （6个） 第8个图形中平行四边形的个数为_ _ （
10、20个） 七、课后练习七、课后练习 1下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ） A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相垂直且相等 D对角线互相平分 2已知：如图，ABC，BD平分ABC，DEBC， EFBC，求证：BE=CF. 18.1.2 平行四边形的判平行四边形的判定（定（2） 一、教学目标一、教学目标 1掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法 2会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题 3通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力 二、重点、难点二、重点、难点 1重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确 地选择判
11、定方法 2难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用 3难点的突破方法： 本节课是平行四边形判定的第二节课， 本节课在上节课的基础上， 学习平行 四边形的判定方法， 使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明， 并且通过本 节课的学习，继续培养学生的分析问题、寻找最佳解题途径的能力 本节课的知识点不难，但学生灵活运用判定定理去解决相关问题并不容易， 在以后的教学中还应加强一题多解和寻找最佳解题方法的训练 （1）平行四边形的判定方法 4 不是性质的逆命题它可以用平行四边形定义或平行四 边形判定方法 1 或 3 来证明，可以看作是巩固前面两个判定方法的一个很好的练习题教 学中可引导学生用不同的方
12、法进行证明，以活跃学生的思维 （2）注意强调：判定方法是“一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形” ，而“一组对边平行另一组对边相等 的四边形不一定是平行四边形” 例如：如图，ADBC， ABDC，但四边形 ABCD 不是平行四边形 （3）学过本节后，应使学生掌握平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方 法是： 从边看从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线看从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （从角看（从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ） （4）让学生了解平行四边
13、形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性 质去解决某些问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一 个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后 再用平行四边形的性质去解决某些问题 （5）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识 是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识 三、例题的意图分析三、例题的意图分析 本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第 三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题学生程 度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这
14、些方法 进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能 力 四、课堂引入四、课堂引入 1. 平行四边形的性质； 2. 平行四边形的判定方法； 3. 【探究】取两根等长的木条AB、CD，将它们平行 放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是 平行四边形吗？ 结论结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 五、例习题分析五、例习题分析 例例1（补充）已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、 BC的中点，求证：BE=DF 分析分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可 以证明 四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单 证明证明：
15、四边形ABCD是平行四边形， ADCB，AD=CD E、F分别是AD、BC的中点， DEBF，且DE= 2 1 AD，BF= 2 1 BC DE=BF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边 形） BE=DF 此题综合运用了平行四边形的性质和判定， 先运用平行四边形的性质得到判 定另一个四边形是平行四边形的条件， 再应用平行四边形的性质得出结论； 题目 虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路 例例2（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是 AC上两点，且BEAC于E，DFAC于F求证：四边形 BEDF是平行四边形 分析分析：因为BEAC
16、于E，DFAC于F，所以BEDF需再证明BE=DF，这 需要证明ABE与CDF全等，由角角边即可 证明证明： 四边形ABCD是平行四边形， AB=CD，且ABCD BAE=DCF BEAC于E，DFAC于F， BEDF，且BEA=DFC=90 ABECDF （AAS） BE=DF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边 形） 六、课堂练习六、课堂练习 1在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） AABCD，AD=BC BA=B，C=D CAB=CD，AD=BC DAB=AD，CB=CD 2 已知： 如图， ACED， 点B在AC上， 且AB=ED=
17、BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由 3 已知： 如图， 在ABCD 中， AE、 CF 分别是DAB、 BCD 的平分线 求证：四边形 AFCE 是平行四边形 七、课后练习七、课后练习 1判断题： (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( ) (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( ) (3)一组对边平行， 另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( ) (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( ) (5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( ) (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形 ( ) 2延长ABC 的中线 AD 至 E，使 DE=AD求证：四边形
18、ABEC 是平行四边形 3在四边形 ABCD 中，(1)ABCD；(2)ADBC；(3)ADBC；(4)AOOC；(5)DOBO； (6)ABCD选择两个条件，能判定四边形 ABCD 是平行四边形的共有_对 （共有 9 对） 18.1.2 平行四边形的判定（平行四边形的判定（3） 三角形的中位线三角形的中位线 一、教学目标：一、教学目标： 1. 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质 2. 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算 3经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力 4能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论理解在证明过程中所 运用的归纳、类比、转化等思想方法 二
19、、重点、难点二、重点、难点 1重点：掌握和运用三角形中位线的性质 2难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法） 3难点的突破方法： （1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的， 新教材与老教材在这个知识的讲解顺序安排上是不同的， 它这种安排是要降低难 度，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线的练习很少，因此无论讲解顺序怎 么安排，证明三角形中位线的性质时，题中辅助线的添加都是一大难点，因此教 师一定要重点分析辅助线的作法的思考过程 让学生理解： 所证明的结论既有平 行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可添加辅助线构造平行四边形，利 用平行四边形的对边平行且相等来
20、证明结论成立的思路与方法 （2）强调三角形的中位线与中线的区别： 中位线：中点与中点的连线； 中线：顶点与对边中点的连线 （3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚： 特点：在同一个题设下，有两个结论一个结论表明位置关系，另一个结论 表明数量关系； 条件（题设） ：连接两边中点得到中位线； 结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与 第三边的数量关系（在应用时，可根据需要选用其中的结论） ； 作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系 （4）可通过题组练习，让学生掌握其性质 三、例题的意图分析三、例题的意图分析 例 1 是教科书的探
21、究，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证 明后引出概念与性质的方法， 它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定， 二是 为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度 建议讲完例 1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩 固三角形中位线的性质，然后再讲例 2 例 2 是一道补充题， 选自老教材的一个例题， 它是三角形中位线性质与平行 四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也 会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例 2教学中，要把辅助线的添加方法 讲清楚，可以借助与多媒体或教具 四、课堂引入四、课堂引入 1. 平行四边形的性质；平行四边形的判定；
22、它们之间有什么联系？ 2. 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？ 答： 平行四边形知识的运用包括三个方面： 一是直接运用平行四边形的性质去解决某些 问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平 行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行 四边形的性质去解决某些问题 3创设情境 实验： 请同学们思考： 将任意一个三角形分成四个 全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图） 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 五、例习题分析五、例习题分析 例例1（教科书的探究） 如图，点D，E 分别为ABC 边 AB， AC 的中点，求证
23、：DEBC 且 DE= 2 1 BC 分析分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想 已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形 中， 利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立， 从而使问题得到 解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形 方法 1：如图（1） ，延长 DE 到 F，使 EF=DE，连 接 CF，由ADECFE，可得 ADFC，且 AD=FC， 因此有 BDFC，BD=FC，所以四边形 BCFD 是平行四 边形所以 DFBC，DF=BC，因为 DE= 2 1 DF，所以 DE BC 且 DE= 2 1 BC （也可以过点 C 作 CFAB 交 D
24、E 的延长线于 F 点，证明方法与上面大体相同） 方法2：如图（2） ，延长 DE 到 F，使 EF=DE，连接 CF、CD 和 AF，又 AE=EC，所以四边形 ADCF 是平行 四边形所以 ADFC，且 AD=FC因为 AD=BD，所 以 BDFC， 且 BD=FC 所以四边形 ADCF 是平行四边 形所以 DFBC，且 DF=BC，因为 DE= 2 1 DF，所以 DEBC 且 DE= 2 1 BC 定义定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 【思考】 ： （1）想一想：一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线 有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
25、答： （1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要 是线段的端点不同中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连 线 （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且 等于第三边的一半 三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一 半半 拓展利用这一定理，你能证明出在设情境中分 割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由） 例例 2（补充）已知：如图（1） ，在四边形 ABCD 中， E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点 求证：四边形 EFGH 是
26、平行四边形 分析分析：因为已知点 E，F，G，H 分别是线段的中点， 可以设法应用三角形中位线性质找到四边形 EFGH 的边之间的关系 由于四边形 的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接 AC 或 BD，构 造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证 证明证明：连接 AC（图（2） ） ，DAG 中， AH=HD，CG=GD， HGAC，HG= 2 1 AC（三角形中位线性质） 同理 EFAC，EF= 2 1 AC HGEF，且 HG=EF 四边形 EFGH 是平行四边形 此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形 六、课堂练习六、课堂练习 1如图，
27、A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C， 连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N，如果 测得 MN=20 m，那么 A，B 两点的距离是 m，理由 是 2已知：三角形的各边分别为 8cm 、10cm 和 12cm ， 求连接各边中点所成三角形的周长 3如图，ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中 点， （1）若 EF=5cm，则 AB= cm；若 BC=9cm，则 DE= cm； （2）中线 AF 与 DE 中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想 七、课后练习七、课后练习 1一个三角形的周长是 135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三 条平行线所组成的三角形的周长是 cm 2已知：ABC 中，点 D，E，F 分别是ABC 三边的中点，如果DEF 的 周长是 12cm，那么ABC 的周长是 cm 3已知：如图，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD， DA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形
