1、 培优点四培优点四 恒成立问题恒成立问题 1参变分离法 例 1：已知函数 ln a f xx x ，若 2 f xx在1,上恒成立，则a的取值范围是 _ 【答案】1a 【解析】 233 lnlnln a xxxxaxaxxx x ，其中1,x， 只需要 3 max lnaxxx 令 3 lng xxxx， 2 1ln3gxxx ， 12g ， 2 116 60 x gxx xx ， gx在1,单调递减， 10gxgg x在1,单调递减， 11g xg，1a 2数形结合法 例 2：若不等式logsin20,1 ax x aa对于任意的 0, 4 x 都成立，则实数a的取值范围 是_ 【答案】 ,
2、1 4 a 【解析】本题选择数形结合，可先作出sin2yx在 0, 4 x 的图像， a扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a，观察图像进一 步可得只需 4 x 时，logsin2 ax x， 即 logsin21 444 a a ，所以 ,1 4 a 3最值分析法 例 3：已知函数 ln10f xaxa，在区间1,e上， f xx恒成立，求a的取值范围 _ 【答案】e1a 【解析】 f xx恒成立即不等式ln10axx 恒成立，令 ln1g xaxx， 只需 min0g x即可， 10g， 1 aax gx xx ，令 00 ax gxxa x （分析 g x的单调性
3、） 当1a 时 g x在1,e单调递减，则 0 10g xg (思考：为什么以1a 作为分界点讨论？因为找到 10g，若要不等式成立，那么一定从 1x 处起 g x要增（不一定在1,e上恒增，但起码存在一小处区间是增的） ，所以1a 时 导致 g x在1x 处开始单减，那么一定不符合条件由此请体会零点对参数范围所起的作 用） 当1a 时，分xa是否在1,e中讨论（最小值点的选取） 若1ea，单调性如表所示 10 e1 e0 g a g ，e1ea （1）可以比较 1g， eg的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦由于最小值只 会在1x ，ex 处取得，所以让它们均大于 0 即可 （2）由于
4、1x ，ex 并不在1,e中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件） 若ea ，则 g x在1,e上单调递增， 10g xg，符合题意， 综上所述：e1a 一、选择题 1已知函数 2 ln1 ,0 3 ,0 xx f x xxx ，若 20f xmx，则实数m的取值范围是 （ ） A,1 B2,1 C0,3 D3, 【答案】B 【解析】 若 20f xmx，即有 2f xmx，分别作出函数 f x和直线2ymx的图 象， 由直线与曲线相切于原点时， 2 323xxx，则23m ，解得1m ， 由直线绕着原点从x轴旋转到与曲线相切，满足条件 即有023m，解得21m 故选 B 对点增分集
5、训对点增分集训 2已知函数 32 24f xxxx ，当3,3x 时， 2 14f xmm恒成立，则实数m的 取值范围是（ ） A3,11 B3,11 C3,11 D2,7 【答案】C 【解析】由题意可得： 2 344232fxxxxx ， 令 0fx 可得： 1 2x ， 2 2 3 x ， 且：33f ，28f ， 240 327 f ， 333f， 据此可知函数 f x在区间3,3上的最小值为33， 结合恒成立的条件可得： 2 1433mm ， 求解关于m的不等式可得实数m的取值范围是3,11本题选择 C 选项 3若函数 2 ln2f xxax在区间 1 ,2 2 内单调递增，则实数a的
6、取值范围是（ ） A, 2 B2, C 1 2, 8 D 1 , 8 【答案】D 【解析】 2 121 2 ax fxax xx ， 2 210ax 在 1 ,2 2 内恒成立，所以 2 max 1 2 a x ， 由于 1 ,2 2 x ，所以 2 1 ,4 4 x ， 2 11 2, 28x ，所以 1 8 a ，故选 D 4已知对任意 2 1 ,e e x 不等式 2 e x a x恒成立（其中e2.71828，是自然对数的底数） ， 则实数a的取值范围是（ ） A e 0, 2 B0,e C, 2e D 2 4 , e 【答案】A 【解析】由 2 e x a x得2ln x x a 在
7、 2 1 ,e e x 上恒成立，即 12ln x ax 在 2 1 ,e e x 上恒成立 令 2ln x f x x ， 2 1 ,e e x ，则 2 2 1ln x fx x ， 当 1 ,e e x 时， 0fx ， f x单调递增，当 2 e,ex 时， 0fx ， f x单调递减 max 2 e e f xf， 12 e e f a ， e 0 2 a 故实数a的取值范围是 e 0, 2 故选 A 5已知函数 2ex f xx，当1,1x 时，不等式 f xm恒成立，则实数m的取值范围 是（ ） A 1 , e B 1 , e Ce, De, 【答案】D 【解析】若 mf x恒成
8、立，则 maxmf x， 2 2 ee2 e xxx fxxxx x， 所以 f x在1,0单调递减，在0,1单调递增 1 1 e f ， 1ef，所以em 故选 D 6当2,1x 时，不等式 32 430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A5, 3 B 9 6, 8 C6, 2 D4, 3 【答案】C 【解析】2,0x 时，恒成立不等式等价于 2 3 43xx a x ， 2 3 min 43xx a x ， 设 2 3 43xx f x x ， 322 2 644 24343 9189 xxxxx xxxx fx xxx ， 2,0x ， f x在2, 1单调递减，在1,0单调递
9、增， min 12f xf， 当0x 时，可知无论a为何值，不等式均成立， 当0,1x时，恒成立不等式等价于 2 3 43xx a x ， 2 3 max 43xx a x ， 同理设 2 3 43xx f x x ， 4 91xx fx x ， f x在0,1单调递增， max 16f xf ，6a ，综上所述：6, 2a 故选 C 7 函数 2 e 1 x f x x ， 若存在 0 0,2x 使得 0 0mf x成立， 则实数m的范围是 （ ） A 2 1 e 5 , B1, C1, D 1 e, 2 【答案】A 【解析】若存在 0 0,2x 使得 0 0mf x成立，则在 0 0,2x
10、 内 minf xm即可， 2 e 1 x f x x ， 22 22 22 e1e2 e1 0 11 xx x xx x fx xx ， 故 f x在0,2上单调递减 2 min 1 2e 5 f xf ， 2 1 e 5 m ，故选 A 8设函数 lnf xxax，若存在 0 0,x ，使 0 0f x，则a的取值范围是（ ） A 1 ,1 e B 1 , e C1, D 1 , e 【答案】D 【解析】 f x的定义域是0,， 11ax fxa xx ， 当0a 时， 0fx，则 f x在0,上单调递增，且 10fa， 故存在 0 0,x ，使 0 0f x； 当0a 时，令 0fx，解
11、得 1 0x a ，令 0fx，解得 1 x a ， f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减， max 11 ln10f xf aa ，解得 1 e a 综上，a的取值范围是 1 , e 故选 D 9若对于任意实数0x ，函数 exf xax恒大于零，则实数a的取值范围是（ ） A,e B, e Ce, De, 【答案】D 【解析】当0x 时， e0 x f xax恒成立，若0x ，a为任意实数， e0 x f xax恒成立， 若0x 时， e0 x f xax恒成立， 即当0x 时， ex a x 恒成立，设 ex g x x ，则 22 1eee x xx xx g
12、x xx ， 当0,1x时， 0g x，则 g x在0,1上单调递增， 当1,x时， 0g x，则 g x在1,上单调递减， 当1x 时， g x取得最大值为e 则要使0x 时， e0 x f xax恒成立，a的取值范围是e, ，故选 D 10已知函数 3f xa xaxa， 22 x g x ，若对任意xR，总有 0f x 或 0g x 成立，则实数a的取值范围是（ ） A, 4 B4,0 C4,0 D4, 【答案】B 【解析】由 220 x g x ，得1x ，故对1x 时， 0g x 不成立， 从而对任意1x ， 0f x 恒成立， 因为 30axaxa，对任意1x 恒成立， 如图所示，
13、则必有 0 1 31 a a a ，计算得出40a 故选 B 11已知函数 ex f xax x ，0,x，当 21 xx时，不等式 12 21 0 f xf x xx 恒成立， 则实数a的取值范围为（ ） A,e B,e C e , 2 D e , 2 【答案】D 【解析】不等式 12 21 0 f xf x xx ，即 1122 12 0 x f xx f x x x ， 结合 21 0xx可得 1122 0x f xx f x恒成立，即 2211 x f xx f x恒成立， 构造函数 2 exg xxf xax，由题意可知函数 g x在定义域内单调递增， 故 e20 x gxax恒成立
14、，即 e 2 x a x 恒成立， 令 e 0 2 x h xx x ，则 2 e1 2 x x h x x ， 当01x时， 0h x ， h x单调递减；当1x 时， 0h x ， h x单调递增； 则 h x的最小值为 1 ee 1 2 12 h ，据此可得实数a的取值范围为 e , 2 本题选择 D 选 项 12设函数 e31 x f xxaxa，其中1a ，若有且只有一个整数 0 x使得 0 0f x， 则a的取值范围是（ ） A 2 3 , e 4 B 2 3 , e 4 C 2 ,1 e D 2 ,1 e 【答案】C 【解析】设 e31 x g xx， h xaxa，则 e3 +
15、2 x gxx， 当 2 , 3 x 时， 0g x ， g x单调递减； 当 2 , 3 x 时， 0g x， g x单调递增， 当 2 3 x 时， g x取得最小值 2 3 2 3e 3 g 如下图所示 又 112e0gh，故 11gh； 0010gha ，故 00gh 故当 0 0x 时，满足 0g在直线 h xaxa的下方 直线 h xaxa恒过定点1,0且斜率为a，要使得有且只有一个整数 0 x使得 0 0f x， 只需 1 114e20gha ， 2 e a ， 又1a ，实数a的取值范围 2 ,1 e 故选 C 二、填空题 13设函数 f xxa， 1g xx，对于任意的xR，
16、不等式 f xg x恒成立， 则实数a的取值范围是_ 【答案】1, 【解析】法一：如图， 因为 f xg x恒成立，则 yf x的图像在 yg x的上方（可以有公共点） ， 所以1a即1a ，填1, 法 2：由题设有1xax 当1x 时，aR； 当1x 时，有1xax恒成立或1xax 恒成立， 故1a 或a即1a ，填1, 14函数 ln1f xx xax，其中aR，若对任意正数x都有 0f x ，则实数a的取值 范围为_ 【答案】(,1 【解析】对任意正数x都有 0f x ，即不等式 1 lnax x 对于0,x恒成立 设 1 lng xx x ，则 22 111 x gx xxx 故 g
17、x在0,1上是减函数，在1,上是增函数， 所以 g x的最小值是 11g，所以a的取值范围是(,1 15已知函数 2 1 ln2 2 f xxaxx，若函数 f x在 1 ,2 2 上单调递增，则实数a的取值范 围是_ 【答案】, 1 【解析】根据函数 f x在 1 ,2 2 上单调递增，则 1 20fxax x 在 1 ,2 2 上恒成立， 即 2 12 0 axx x 在 1 ,2 2 上恒成立，所以 2 120axx恒成立， 即 2 2 121 11a xxx 在 1 ,2 2 上恒成立，所以1a ， 故实数a的取值范围是, 1 16已知关于x的不等式 2 1 log0 2 m mxx
18、在 1,2上恒成立，则实数m的取值范围为 _ 【答案】 1 53 , 2 82 【解析】当01m时，函数 2 1 log 2 m f xmxx 外层单调递减， 内层二次函数： 当 1 1 2m ，即 1 1 2 m时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减， min 3 2log40 2 m f xfm ，解得 15 28 m； 当 1 1 2m ，即 1 2 m 时， 1f无意义； 当 1 12 2m ，即 11 42 m时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减， 则需 10f， 20f，无解； 当 1 2 2m ，即 1 0 4 m时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增， m
19、in 1 1log0 2 m f xfm ，无解 当1m 时，函数 2 1 log 2 m f xmxx 外层单调递增， 11 22m ，二次函数单调递增，函数单调递增， 所以 min 1 1log0 2 m f xfm ，解得： 3 2 m 综上所述： 15 28 m或 3 2 m 三、解答题 17设函数 2 ln1f xxa xx，其中aR， （1）讨论函数 f x极值点的个数，并说明理由； （2）若0x ， 0f x 成立，求a的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）01a 【解析】 （1） 2 ln1f xxa xx，定义域为1, ， 2 2111121 21 111 axxaxa
20、xa fxax xxx ， 设 2 21g xaxaxa ， 当0a 时， 1g x ， 1 0 1 fx x ，函数 f x在1, 为增函数，无极值点 当0a 时， 22 8198aaaaa， 若 8 0 9 a时0 ， 0g x ， 0fx，函数 f x在1, 为增函数，无极值点 若 8 9 a 时0 ，设 0g x 的两个不相等的实数根 1 x， 2 x，且 12 xx， 且 12 1 2 xx ，而110g ，则 12 1 1 4 xx ， 所以当 1 1,xx ， 0g x ， 0fx， f x单调递增； 当 12 ,xx x， 0g x ， 0fx， f x单调递减； 当 2, x
21、x， 0g x ， 0fx， f x单调递增 因此此时函数 f x有两个极值点； 当0a 时0 ，但110g ， 1 1x ， 所以当 2 1,xx ， 0g x ， 0fx， f x单调递增； 当 2, xx， 0g x ， 0fx， f x单调递减 所以函数只有一个极值点 综上可知，当0a 时 f x有一个极值点；当 8 0 9 a时 f x的无极值点；当 8 9 a 时， f x的有两个极值点 （2）由（1）可知当 8 0 9 a时 f x在0,单调递增，而 00f， 则当0,x时， 0f x ，符合题意； 当 8 1 9 a时， 00g， 2 0x ， f x在0,单调递增，而 00f
22、 ， 则当0,x时， 0f x ，符合题意； 当1a 时， 00g， 2 0x ，所以函数 f x在 2 0,x单调递减，而 00f ， 则当 2 0,xx时， 0f x ，不符合题意； 当0a 时，设 ln1h xxx，当0,x时 1 10 11 x h x xx ， h x在0,单调递增，因此当0,x时 00h xh ，ln1xx， 于是 22 1f xxa xxaxa x，当 1 1x a 时 2 10axa x， 此时 0f x ，不符合题意 综上所述，a的取值范围是01a 18设函数 2 emxf xxmx， （1）证明： f x在,0单调递减，在0,单调递增； （2）若对于任意 1
23、 x， 2 1,1x ，都有 12 e1f xf x，求m的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）1,1m 【解析】 e2 mx fxmxm，注意到 00f，于是再求导得， 2e 2 mx fxm，由 于 0fx，于是 fx为单调递增函数， ,0x 时， 0fx ，0,x时， 0fx ， f x在,0单调递减，在0,单调递增 （2）若不等式 12 e1f xf x恒成立， 则 12 max e1f xf x， f x在1,1连续， f x在1,1有最大最小值， 12 maxmin max f xf xf xf x， 由（1）可知 f x在1,0单调递减，在0,1单调递增， min 01f xf， max 1 ,1e1,e1 mm f xffmm ， 10e1 ee1 10e1ee1 m m ff m ffm ， 设 ee1 x h xx ， e1 x h x ， h x在,0单调递减，在0,单调递增 10h， 1 12e0 e h ，故当1,1x 时， 0h x ， 当1,1m 时， 0h m ，0hm，则上式 ee1 ee1 m m m m 成立 当1m 时，由 h x的单调性， 0h m ，即ee1 m m， 当1m 时，0hm，即ee 1 m m ， 综上，m的取值范围为1,1
