1、 培优点一培优点一 函数的图象函数的图象与性质与性质 1.单调性的判断 例：（1）函数 2 1 2 log (4)f xx的单调递增区间是（ ） A(0,) B(0), C(2,) D(), 2 （2） 2 23yxx的单调递增区间为_ 【答案】（1）D；（2）(, 1 ，0,1 【解析】（1）因为 1 2 logyt，0t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间， 即求函数 2 4tx的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(), 2 （2）由题意知，当0x 时， 22 2314()yxxx；当0x 时， 22 2314()yxxx，二次函数的图象如图 由图象可知，函数 2
2、23yxx在(, 1 ，0,1上是增函数 2利用单调性求最值 例 2：函数1yxx的最小值为_ 【答案】1 【解析】易知函数1yxx在1,)上为增函数，1x 时， min 1y 3利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例 3：（1）已知函数 f x的图象向左平移 1 个单位后关于y轴对称，当 21 1xx时， 2121 ()0f xf xxx 恒成立，设 1 2 af ， 2bf， 3cf，则a，b，c 的大小关系为 （ ） Acab Bcba Cacb Dbac （2） 定义在 R 上的奇函数 yf x在(0,)上递增，且 1 0 2 f ，则满足 1 9 log0fx 的 x的集合为_ 【
3、答案】（1）D；（2） 1 |013 3 xxx 或 【解析】（1）根据已知可得函数 f x的图象关于直线=1x对称，且在(1,)上是减函数， 因为 15 22 aff ，且 5 23 2 ，所以bac （2）由题意知 1 0 2 f ， 1 0 2 f ，由 1 9 log0fx 得 1 9 1 log 2 x 或 1 9 1 log0 2 x 解得 1 0 3 x或13x 奇偶性 例：已知偶函数 f x在区间0,)上单调递增，则满足 1 (21) 3 fxf 的x的取值范 围是（ ） A 1 2 , 3 3 B 1 2 , 3 3 C 1 2 , 2 3 D 1 2 , 2 3 【答案】A
4、 【解析】因为 f x是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又 f x在0,)上单调递增， 1 (21) 3 fxf ，所以 1 |21| 3 x ，所以 12 33 x 轴对称 例：已知定义域为R的函数 yf x在0,7上只有 1 和 3 两个零点，且2yf x与 7yf x都是偶函数，则函数 yf x在0,2013上的零点个数为（ ） A404 B804 C806 D402 【答案】C 【解析】2f x，7f x为偶函数22f xfx ，77f xfx ， f x关于 2x ，7x 轴对称， f x为周期函数，且27210T ， 将0,2013划分为0,1010,202000,20102010
5、,2013 f x关于 2x ，7x 轴对称 4f xfx， 14f xfx 160ff， 814860fff， 34310fff 在0,10中只含有四个零点，而0,1010,202000,2010共 201 组 所以201 4804N ； 在2 0 1 0 , 2 0 1 3中， 含有零点 201110ff， 201330ff 共两个， 所以一共有 806 个零点 中心对称 例：函数 f x的定义域为R，若1f x与1f x都是奇函数，则（ ） A f x是偶函数 B f x是奇函数 C 2f xf x D3f x是奇函数 【答案】D 【解析】从已知条件入手可先看 f x的性质，由1f x，
6、1f x为奇函数分别可得到： 11f xfx ，11f xfx ，所以 f x关于1,0，1,0中心对称，双 对称出周期可求得2114T ，所以 C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合 A， B 对于 D 选项， 因为4T ， 所以511f xf xfx ， 进而可推出 f x关于3,0 中心对称， 所以3f x为 f x图像向左平移 3 个单位，即关于0,0对称，所以3f x为奇函数， D 正确 周期性的应用 例：已知 f x是定义在R上的偶函数， g x是定义在R上的奇函数，且 () 1g xf x， 则20172019ff的值为（ ） A1 B1 C0 D无法计算 【答案】C 【解析】
7、由题意，得() 1)gxfx ， f x是定义在R上的偶函数， g x是定义在R 上的奇函数， ()gxg x， ()fxf x，()()11f xf x ， (2)f xf x， ()4f xf x， f x的周期为 4， 20171ff （）， 20193( 1)fff， 又 1100()ffg（），201720190ff 一、选择题 1若函数 2|f xxa的单调递增区间是3,)，则a的值为（ ） A2 B2 C6 D6 【答案】C 【解析】由图象易知函数 2|f xxa的单调增区间是, 2 a ，令=3 2 a ，6a 2已知函数 2( og1)lyax在1,2上是增函数，则实数a的取
8、值范围是（ ） A0,1 B1,2 C1,) D2,) 【答案】C 【解析】要使 2( og1)lyax在1,2上是增函数，则0a 且10a ，即1a 3设函数 ()()ln 1ln 1f xxx，则 f x是（ ） A奇函数，且在(0,1)内是增函数 B奇函数，且在(0,1)内是减函数 C偶函数，且在(0,1)内是增函数 D偶函数，且在(0,1)内是减函数 【答案】A 对点增分集训对点增分集训 【解析】易知 f x的定义域为()1,1，且 ()()ln 1l (n 1)fxxxf x-，则 yf x 为奇函数， 又ln 1ln 1()()yxyx 与在(0,1)上是增函数，所以 ()()ln
9、1ln1f xxx在(0,1)上 是增函数 4已知函数 yf x的图象关于1x 对称，且在(1,)上单调递增，设 1 2 af ， 2bf， 3cf，则a，b，c的大小关系为（ ） Acba Bbac Cbca Dabc 【答案】B 【解析】函数图象关于1x 对称， 15 22 aff ，又 yf x在(1,)上单调递 增， 5 (2)(3) 2 fff ，即bac，故选 B 5已知 f x是奇函数， g x是偶函数，且 2( 11)fg， )114(fg ，则 1g 等于（ ） A4 B3 C2 D1 【答案】B 【解析】 由已知得 () 11ff， () 11gg，则有 112 114 f
10、g fg 解得 13g，故选 B 6函数 1 ( )cos(0)f xxxxx x 且的图象可能为（ ） 【答案】D 【解析】因为 11 ()cos()cos( )fxxxxxf x xx ，x 且0x ，所以 函数 f x为奇函数，排除 A，B当x 时， 1 ( )cos0f x ，排除 C，故选 D 7奇函数 f x的定义域为R，若() 1f x为偶函数，且 12f，则 45ff的值 为（ ） A2 B1 C1 D2 【答案】A 【解析】() 1f x为偶函数，1()() 1fxf x，则()2)fxf x， 又 yf x为奇函数，则 2()()fxf xf x，且 00f 从而 2()4
11、)f xf xf x， yf x的周期为 4 4501022ffff，故选 A 8函数 f x的图象向右平移 1 个单位，所得图象与曲线exy 关于y轴对称，则 f x的 解析式为（ ） A 1 exf x B 1 exf x C 1 e x f x D 1 e x f x 【答案】D 【解析】与exy 的图象关于y轴对称的函数为e x y 依题意， f x的图象向右平移一 个单位， 得e x y 的图象 f x的图象由e x y 的图象向左平移一个单位得到 1)1( ee xx f x 9使 2 )og (l1xx成立的x的取值范围是（ ） A()1,0 B)1,0 C()2,0 D)2,0
12、 【答案】A 【解析】在同一坐标系内作出 2( log)yx，1yx的图象，知满足条件的,0()1x ，故 选 A 10已知偶函数 f x对于任意Rx都有 () 1f xf x，且 f x在区间0,1上是单调 递增的， 则()65f ，1()f ， 0f的大小关系是（ ） A 06.5()() 1fff B 6.5()()01fff C ()( 60)1.5fff D 10()( 6.5)fff 【答案】A 【解析】由 () 1f xf x，得 1()2)f xf xf x，函数 f x的周期是 2 函数 f x为偶函数，6.50.5()()(0. )5fff， () 11ff f x在区间0
13、,1上是单调递增的， 00.5(1)fff，即 06.5()() 1fff 11对任意的实数x都有 ()221f xf xf，若(1)yf x的图象关于1x 对称， 且 02f， 则20152016ff（ ） A0 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】(1)yf x的图象关于1x 对称，则函数 yf x的图象关于0x 对称， 即函数 f x是偶函数，令1x ，则 121(12)()fff， 11210fff，即 10f，则 2(210)f xf xf， 即 2()f xf x，则函数的周期是 2，又 02f， 则 2015201610022ffff 12已知函数 e1 x f x ， 2 4
14、3g xxx ，若存在 f ag b，则实数b的取值 范围为（ ） A0,3 B(1,3) C22,22 D 22,22 【答案】D 【解析】由题可知 e11 x f x ， 22 4321 1()g xxxx ， 若 f ag b，则 ,1(1g b，即 2 431bb ，即 2 420bb， 解得2222b所以实数b的取值范围为(22,22)，故选 D 二、填空题 13设函数 10 00 10 x x x f x ， 2 1()g xx f x，则函数 g x的递减区间是_ 【答案】0,1) 【解析】由题意知 2 2 1 01 1 g x xx x xx ，函数的图象如图所示的实线部分，
15、根据图象， g x的减区间是0,1) 14若函数 R()f xx是周期为 4 的奇函数，且在0,2上的解析式为 101 sin12 xxx xx f x ， 则 2941 46 ff _ 【答案】 5 16 【解析】由于函数 f x是周期为 4 的奇函数，所以 2941373737 2424 46464 35 si 64 n 161666 ffffffff 15设函数 |f xxa， 1g xx，对于任意的Rx，不等式 f xg x恒成 立，则实数a的取 值范围是_ 【答案】)1, 【解析】如图作出函数 |f xxa与 1g xx的图象，观察图象可知：当且仅当 1a ，即1a 时，不等式 f
16、xg x恒成立，因此a的取值范围是)1, 16设定义在R上的函数 f x同时满足以下条件： 0()f xfx； ()2f xf x；当0 1x时， 21 x f x ，则 135 1(2) 222 fffff _ 【答案】2 【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为 2， 135 1(2) 222 fffff 111 1(0) 222 fffff 111 1(0) 222 fffff 1 10 2 1 102121212 2 fff 三、解答题 17已知函数( )ln(2) a f xx x ，其中a是大于 0 的常数 （1）求函数 f x的定义域； （2）当4()1,a时，求函数 f
17、x在2,)上的最小值； （3）若对任意,)2x恒有 0f x ，试确定a的取值范围 【答案】（1）见解析；（2）ln 2 a ；（3）(2,) 【解析】（1）由20 a x x ，得 2 2 0 xxa x ， 当1a 时， 2 20xxa恒成立，定义域为(0,)， 当1a 时，定义域为0 |1x xx且， 当01a时，定义域为 |01111xxaxa 或 （2）设( )2 a g xx x ，当4()1,a，,)2x时， 2 22 ( )10 axa g x xx 因此 g x在2,)上是增函数， f x在2,)上是增函数则 min ( )(2)ln 2 a f xf （3）对任意,)2x，
18、恒有 0f x 即21 a x x 对,)2x恒成立 2 3axx令 2 3h xxx，,)2x 由于 2 39 ( ) 24 h xx 在2,)上是减函数， max 22h xh 故2a 时，恒有 0f x 因此实数a的取值范围为(2,) 18设 f x是定义域为R的周期函数，最小正周期为 2，且()1()1fxfx，当 10x 时， f xx （1）判定 f x的奇偶性； （2）试求出函数 f x在区间1,2上的表达式 【答案】（1） f x是偶函数；（2） 1,0 0,1 21,2 xx xx xx f x 【解析】（1）()1()1fxfx，()2)fxfx 又 2()f xf x， ()fxf x又 f x的定义域为R， f x是偶函数 （2）当10,x时，1,0x ，则 ()f xfxx； 进而当12x时，120x ， 2()2()2f xf xxx 故 1,0 0,1 21,2 xx xx xx f x
