1、 培优点五培优点五 导数的应用导数的应用 1利用导数判断单调性 例 1：求函数 32 333 e x f xxxx 的单调区间 【答案】见解析 【解析】第一步：先确定定义域， f x定义域为R， 第二步：求导： 2323 363 e333 e9e xxx fxxxxxxxx 33 e x x xx ， 第三步：令 0fx，即33 e0 x x xx ， 第四步：处理恒正恒负的因式，可得330x xx， 第五步：求解3,03,x ，列出表格 2函数的极值 例 2：求函数( )e x f xx 的极值 【答案】 f x的极大值为 1 1 e f，无极小值 【解析】 ee1e xxx fxxx 令
2、0fx 解得：1x ， f x的单调区间为： f x的极大值为 1 1 e f，无极小值 3利用导数判断函数的最值 例 3：已知函数 ln m f xxm x R在区间1,e上取得最小值 4，则m _ 【答案】3e 【解析】思路一：函数 f x的定义域为0,， 2 1m fx xx 当 0fx时， 2 1 0 m xx ， 当0m 时， 0fx， f x为增函数，所以 min ( )(1)4f xfm ，4m ，矛盾舍去； 当0m 时，若0,xm， 0fx， f x为减函数，若,xm ， 0fx， f x 为增函数， 所以ln1fmm为极小值，也是最小值； 当1m，即10m 时， f x在1,
3、e上单调递增，所以 min ( )(1)4f xfm ， 所以4m （矛盾） ； 当em，即em时， f x在1,e上单调递减， min e14 e m f xf ， 所以3em ； 当1em ，即e1m 时， f x在1,e上的最小值为ln14fmm ， 此时 3 eem （矛盾） 综上3em 思路二： 22 1mxm fx xxx ，令导数 0fxxm ，考虑最小值点只有可能在边 界点与极值点处取得，因此可假设xm，1x ，ex 分别为函数的最小值点，求出m后 再检验即可 一、单选题 1函数 lnf xxx的单调递减区间为（ ） A 0,1 B 0, C 1, D ,01, 【答案】A 【
4、解析】函数lnyxx的导数为 1 1y x ，令 1 10y x ，得1x ， 结合函数的定义域，得当0,1x时，函数为单调减函数 因此，函数lnyxx的单调递减区间是 0,1故选 A 2若1x 是函数 lnf xaxx的极值点，则（ ） A f x有极大值1 B f x有极小值1 C f x有极大值 0 D f x有极小值 0 【答案】A 【解析】因为1x 是函数 lnf xaxx的极值点，所以 10 f ， 1 0 1 a，1a ， 1 101fxx x 当1x 时， 0fx；当01x时， 0fx，因此 f x有 极大值1，故选 A 3已知函数 3 f xxax 在, 1 上单调递减，且
5、2 a g xx x 在区间1,2上既有最 大值，又有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A2a B3a C32a D32a 【答案】C 【解析】因为函数 3 f xxax 在, 1 上单调递减， 所以 2 30fxxa 对于一切, 1x 恒成立，得 2 3xa，3a ， 对点增分集训对点增分集训 又因为 2 a g xx x 在区间1,2上既有最大值，又有最小值， 所以，可知 2 2 a gx x 在1,2上有零点， 也就是极值点，即有解 2 20 a x ，在1,2上解得 2 2ax ， 可得82a ，32a ，故选 C 4函数 32 1yxxmx是R上的单调函数 ，则m的范围是（ ） A
6、 1 , 3 B 1 , 3 C 1 , 3 D 1 , 3 【答案】C 【解析】若函数 32 1yxxmx是R上的单调函数，只需 2 320yxxm恒成立， 即4120m， 1 3 m故选 C 5遇见你的那一刻，我的心电图就如函数 1 lnsin 1 x yx x 的图象大致为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】由 1 lnsin 1 x yx x ，其定义域为 1 0 1 x x ，即11x ， 1 lnsin 1 x fxx x ， 则 0fxf x函数为奇函数，故排除 C、D， 2 cos0 11 fxx xx ，则函数在定义域内单调递减，排除 B，故选 A 6函数 32 1
7、21 3 f xxaxx在1,2x内存在极值点，则（ ） A 11 22 a B 11 22 a C 1 2 a 或 1 2 a D 1 2 a 或 1 2 a 【答案】A 【解析】若函数 32 1 21 3 f xxaxx在1,2x无极值点，则 2 220fxxax或 2 220fxxax在1,2x恒成立 当 2 220fxxax在1,2x恒成立时，1a时， 1210fa，得 1 2 a ； 2a 时， 24 +20fa，得a； 当 2 220fxxax在1,2x恒成立时，则 1210fa且 24 +20fa， 得 1 2 a ； 综上，无极值时 1 2 a 或 1 2 a 在 11 22
8、a在1,2x存在极值故选 A 7已知 2 2f xaxxa，xR，若函数 32 2g xxaxf x在区间1,3上单 调递减，则实数a的取值范围是（ ） A1a 或3a B1a 或3a C9a 或3a D9a 或3a 【答案】D 【解析】因为 22 32gxxaxa，函数 32 2g xxaxf x在区间1,3上单调 递减， 所以 0g x在区间1,3上恒成立， 只需 10 30 g g ，即 2 2 230 6270 aa aa 解得9a 或3a ，故选 D 8函数 yf x在定义域 3 ,3 2 内可导，其图像如图所示记 yf x的导函数为 yfx ，则不等式 0fx 的解集为（ ） A
9、1 ,12,3 3 B 14 8 1, 23 3 C 3 1 ,1,2 2 2 D 311 44 ,3 232 33 【答案】A 【解析】由图象知 1 ,1 3 和2,3上 f x递减，因此 0fx 的解集为 1 ,12,3 3 故选 A 9设函数 1 ln0 3 f xxx x，则 yf x（ ） A在区间 1 ,1 e ，1,e内均有零点 B在区间 1 ,1 e ，1,e内均无零点 C在区间 1 ,1 e 内有零点，在区间1,e内无零点 D在区间 1 ,1 e 内无零点，在区间1,e内有零点 【答案】D 【解析】 f x的定义域为0,， f x在0,3单调递减，3,单调递增， 11 3 f
10、x x ， 当在区间 1 ,1 e 上时， f x在其上单调， 11 10 e3e f ， 1 10 3 f，故 f x在区间 1 ,1 e 上无零点， 当在区间1,e上时， f x在其上单调， e e10 3 f ， 1 10 3 f，故 f x在区间1,e 上有零点 故选 D 10若函数 32 3321f xxaxax既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为 （ ） A12a B12a C1a 或2a D1a 或2a 【答案】D 【解析】 32 3321f xxaxax， 2 3632fxxaxa， 函数 32 3321f xxaxax既有极大值又有极小值， 2 36320fxxaxa有
11、两个不等的实数根， 2 363620aa， 2 20aa，则1a 或2a ，故选 D 11 已知函数 32 23f xxaxbxc的两个极值点分别在1,0与0,1内， 则2ab的取 值范围是（ ） A 3 3 , 2 2 B 3 ,1 2 C 1 3 , 2 2 D 3 1, 2 【答案】A 【解析】由函数 32 23f xxaxbxc，求导 2 343fxxaxb， f x的两个极值点分别在区间1,0与0,1内，由 2 3430xaxb的两个根分别在 区间0,1与1,0内， 00 10 10 f f f ， 令2zab，转化为在约束条件为 30 3430 3430 b ab ab 时，求2z
12、ab的取值范围， 可行域如下阴影（不包括边界） ， 目标函数转化为2zab，由图可知，z在 3 ,0 4 A 处取得最大值 3 2 ，在 3 ,0 4 B 处 取得最小值 3 2 ， 可行域不包含边界，2zab的取值范围 3 3 , 2 2 本题选择 A 选项 12设函数 yf x在区间, a b上的导函数为 fx， fx在区间, a b上的导函数为 fx ，若在区间 , a b上 0fx ，则称函数 f x在区间, a b上为“凹函数”，已知 542 11 2 2012 f xxmxx在区间1,3上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（ ） A 31 , 9 B 31,5 9 C,5 D, 3
13、 【答案】D 【解析】 542 11 2 2012 f xxmxx， 3 4 1 4 43 mx fxxx， 32 4fxxmx， 函数在区间1,3上为“凹函数” 0fx， 32 40xmx在1,3上恒成立，即 2 4 mx x 在1,3上恒成立 2 4 yx x 在1,3上为单调增函数， 2 4 143x x ，3m ， 故选 D 二、填空题 13函数 32 22f xxx在区间1,2上的最大值是_ 【答案】8 【解析】 2 64232fxxxxx，已知1,2x ， 当 2 2 3 x或10x 时， 0fx， f x在该区间是增函数， 当 2 0 3 x时， 0fx， f x在该区间是减函数
14、， 故函数在0x 处取极大值， 00f，又 28f，故 f x的最大值是 8 14若函数 323 34f xxaxxa在, 1 ，2,上都是单调增函数，则实数a的取 值集合是_ 【答案】 15 3, 4 【解析】 323 34f xxaxxa， 2 323fxxax， 函数 323 34f xxaxxa在, 1 ，2,上都是单调增函数， 则10f ，即3230a，解得3a ， 20 f ，即1540a，解得 15 4 a ， 则实数a的取值集合是 15 3, 4 ，故答案为 15 3, 4 15 函数 2 ln1f xxa xaR在1,2内不存在极值点， 则a的取值范围是_ 【答案】2a 或8
15、a 【解析】函数 2 ln1f xxa xaR在1,2内不存在极值点 2 ln1f xxaxaR在1,2内单调函数 0fx或 0fxaR在1,2内 恒成立， 由 20 a fxx x 在1,2内恒成立 2 min 2ax，1,2x，即2a ， 同理可得8a ，故答案为2a 或8a 16已知函数 eln x f xa x， 当1a 时， f x有最大值； 对于任意的0a ，函数 f x是0,上的增函数； 对于任意的0a ，函数 f x一定存在最小值； 对于任意的0a ，都有 0f x 其中正确结论的序号是_ （写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 由函数的解析式可得： ex a fx x
16、 ， 当1a 时， 1 exfx x ， 2 1 exfx x ， fx单调递增，且 1e 10 f ， 据此可知当1x 时， 0fx ， f x单调递增，函数没有最大值，说法错误； 当0a 时，函数exy ，lnya x均为单调递增函数，则函数 f x是0 ,上的增函数， 说法正确； 当0a 时， ex a fx x 单调递增，且e10 a fa ， 且当 0 lim e0 x x a x ，据此可知存在 0 0,xa， 在区间 0 0,x上， 0fx ， f x单调递减； 在区间 0, x 上， 0fx ， f x单调递增； 函数 f x在 0 xx处取得最小值，说法正确； 当1a 时，
17、eln x f xx， 由于 5 e0,1 ，故 5 e e1,e ， 55 5e5e eelnee50f ，说法错误； 综上可得：正确结论的序号是 三、解答题 17已知函数 lnf xxax aR （1）讨论函数 f x在0,上的单调性； （2）证明： 2 ee ln0 x x恒成立 【答案】 （1）当0a 时， f x在0,上单调递增；当0a 时， f x在 1 0, a 上单调递 增， 在 1 , a 上单调递减； （2）见解析 【解析】 （1） 11ax fxa xx 0x ， 当0a 时， 0fx恒成立，所以， f x在0,上单调递增； 当0a 时，令 0fx，得到 1 x a ，所
18、以，当 1 0,x a 时， 0fx， f x单调递增， 当 1 ,x a 时， 0fx， f x单调递减 综上所述， 当0a 时， f x在0,上单调递增； 当0a 时， f x在 1 0, a 上单调递增， 在 1 , a 上单调递减 （2）证法一：由（1）可知，当0a 时， 1 lnln1f xxax a ， 特别地，取 1 e a ，有ln0 e x x ，即ln e x x ，所以 2 e lnexx（当且仅当ex 时等号成立） ， 因此，要证 2 ee ln0 x x恒成立，只要证明ee x x在0,上恒成立即可， 设 ex g x x 0x ，则 2 e1 x x gx x ，
19、当0,1x时， 0g x， g x单调递减， 当1,x时， 0g x， g x单调递增 所以，当1x 时， min 1eg xg，即ee x x在0,上恒成立 因此，有 2 eee ln x xx，又因为两个等号不能同时成立，所以有 2 ee ln0 x x恒成立 证法二：记函数 2 2 e elnln e x x xxx ，则 2 2 111 ee e xx x xx ， 可知 x在0,上单调递增，又由 10， 20知， x在0,上有唯一实 根 0 x， 且 0 12x，则 0 2 0 0 1 e0 x x x ，即 0 2 0 1 ex x （*） ， 当 0 0,xx时， 0x， x单调
20、递减；当 0, xx时， 0x， x单调递增， 所以 0 2 00 eln x xxx ，结合（*）式 0 2 0 1 ex x ，知 00 2lnxx ， 所以 2 2 0 00 00 000 121 1 20 xxx xxx xxx ， 则 2 eln0 x xx ，即 2 eln x x ，所以有 2 ee ln0 x x恒成立 18已知函数 2 e, x f xaxbx a bR，其导函数为 yfx （1）当2b 时，若函数 yfx在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围； （2） 设0a ， 点,P m nm nR是曲线 yf x上的一个定点， 是否存在实数 00 xxm 使得 0
21、 00 2 xm f xnfxm 成立？并证明你的结论 【答案】 （1） 2 2 e a 或0,a； （2）不存在，见解析 【解析】 （1）当2b 时， 2 e2 x f xaxx，aR， e22 x fxax，aR， 由题意得e220 x ax，即 22 ex x a ， 令 22 ex x h x ，则 24 0 ex x hx ，解得2x ， 当2x 时， 0h x ， h x单调递减；当2x 时， 0h x ， h x单调递增， 2 2 ( )2 e min h xh ， 当1x 时，14e0h ，当2x 时， 22 0 ex x h x ， 则 2 2 e a 或0,a时， fx在R
22、上有且只有一个零点 （2）由 2 exf xaxbx，得 e2 x fxaxb， 假设存在 0 x，则有 00 000 22 xmxm f xfxmnfxmf m ， 即 0 0 0 0 2 f xf mxm fxm xm ， 0 00 2 e2 22 xm xmxm fab ， 00 22 00 0 0 000 eeee xxmm axmb xma f xf m xmb xmxmxm ， 0 0 0 2 0 0 ee e2 2 xm xm a xm abxmb xm ， 即 0 0 2 0 ee e xm xm a a xm ，0a ， 0 0 2 0 ee e xmx m xm ， 令 0 0txm，则 2 ee e tt mm m t ， 两边同时除以em，得 2 e1 e tt t ，即 2 ee1 t t t， 令 2 ee1 t t g tt， 2222 eeeee1 22 tttt t tt g t ， 令 2 e1 2 t t h t 在0,上单调递增，且 00h， 0h t对于0,t恒成立，即 0g t 对于0,t恒成立， eg在0,上单调递增， 00g， 0g t对于0,t恒成立， 0 0 2 0 ee e xm xm a a xm 不成立， 同理， 0 0txm时，也不成立， 不存在实数 00 xxm使得 0 00 2 xm f xnfxm 成立
