1、数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称 性、范围、顶点、离心率等简单几何性质 2了解双曲线的渐近性，并能用双曲线的简
2、单几何性质 解决一些简单的问题 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1类比椭圆的简单几何性质，你知道双曲线的对称轴、 对称中心是什么？ 提示 双曲线的对称轴为x轴，y轴，对称中心是原点 2双曲线的顶点，离心率是什么？ 提示 双曲线的焦点在 x 轴上，顶点为(a,0)，(a,0)， 双曲线的焦点在 y 轴上，顶点为(0，a)，(0，a)， 离心率：ec a. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 双曲线的几何性质
3、 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 性 质 焦点 _ _ 焦距 _ 范围 _ _ 对称性 _ 顶点 _ _ 轴长 实轴长_，虚轴长_ 离心率 e_(1，) 渐近线 _ _ (c,0) (0，c) 2c xa或xa ya或ya 关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称 (a,0) (0，a) 2a 2b c a y b ax y a bx 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自
4、主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1双曲线的离心率 e 对双曲线开口大小的影响 双曲线的离心率 ec a反映了双曲线开口的大小，e 越大，双 曲线的开口就越大， 这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以 理解(以双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)为例) b a c2a2 a e21(e1)， 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 e 越大，渐近线 y b ax 斜率的绝对值越大，即 b a越大，这 时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可见，双曲线的离 心率越大，它的
5、开口就越大 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2双曲线渐近线的方程及其意义 (1)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax，双 曲线y 2 a2 x2 b21(a0， b0)的渐近线方程为 y a bx.为了避免混淆， 可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解就可得到渐近线 方程 (2)双曲线与它的渐近线可无限靠近，但永不相交 (3)对圆锥曲线来说， 渐近线是双曲线特有的性质， 利用双曲 线的渐近线来画双曲线，既方便又精确 数学数学 选修选修1-1 第二章第
6、二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m ( ) A1 4 B4 C4 D1 4 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 由 mx2y21 得 y2 x2 1 m 1， a1，b 1 m. 由题意得 b2a， 1 m2， 解得 m1 4. 答案： A 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2已知
7、双曲线 9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条 渐近线的距离为1 5，则 m( ) A1 B2 C3 D4 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方程 9y2m2x21(m0)可化为 y2 1 9 x2 1 m2 1(m0)，则 a1 3，b 1 m， 取顶点 0，1 3 ，一条渐近线为 mx3y0， 所以1 5 31 3 m29 ，则 m2925， m0，m4. 答案： D 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效
8、测评 知能提升 3双曲线的渐近线为 y 3 4 x，则双曲线的离心率是 _ 解析： 若双曲线焦点在 x 轴上，则b a 3 4. e1b 2 a2 1 9 16 25 16 5 4. 若双曲线的焦点在 y 轴上，则a b 3 4， b a 4 3. e1b 2 a2 116 9 25 9 5 3. 答案： 5 4或 5 3 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点是(4,0)，(4,0)，过点(2,0)； (2)离心率为5 4，虚半轴长为 2； (3)两顶点
9、间的距离是 6，两焦点连线被两顶点和中心四等 分 解析： (1)由焦点坐标知双曲线焦点在 x 轴上，且 c4. 由双曲线过点(2,0)知顶点坐标为(2,0)，(2,0)，即 a2， 从而 a24，b2c2a212， 故所求双曲线的标准方程为x 2 4 y2 121. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)由题意得 b2，又 ec a 5 4，令 c5k(k0)，则 a4k， 由 b2c2a29k24 得 k24 9，故 a 216k264 9 .由于焦点所在 的坐标轴不确定， 故所求双曲线标准方程
10、为 x2 64 9 y 2 4 1或 y2 64 9 x 2 4 1. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)由两顶点间的距离是 6，得 2a6，即 a3，由两焦点 连线和中心四等分可得 2c4a12，即 c6.于是有 b2c2a2 27. 由于焦点所在的坐标轴不确定， 故所求双曲线的标准方程为 x2 9 y2 271 或 y2 9 x2 271. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动
11、数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知双曲线方程求其几何性质 求双曲线9y216x2144的实半轴和虚半轴长、焦点 坐标、渐近线方程 思路点拨 双曲线方程 化简 变形 双曲线的标准方程a，b，c的值结果 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 将方程 9y216x2144 化为标准方程y 2 42 x2 321， 由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b3； c a2b2 42325，焦点的坐标是(0，5
12、)，(0,5)， 渐近线方程为 x 3 4y，即 y 4 3x. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的 步骤是： 首先将双曲线方程化为标准形式x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21， 确定 a，b 的值，进而求出 c，再根据双曲线的几何性质得到相 应的答案， 这里特别提出的是双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线为 y b a x，双曲线y 2 a2 x2 b21 的渐近线为 y a bx，应区分两双曲线的渐近 线的异同 如果要求画出几何图形
13、， 首先画出两条渐近线和顶点， 然后根据双曲线的变化趋势，便可画出双曲线的近似图形 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴 长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图 解析： 将 9y24x236 变形为x 2 9 y 2 4 1， 即x 2 32 y2 221，a3，b2，c 13， 因此顶点为 A1(3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标 F1( 13，0)，F2( 13，0)， 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程
14、自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4，离心率 ec a 13 3 ， 渐近线方程 y b ax 2 3x. 作草图： 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 由双曲线的几何性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为 8，离心率为5 4； (2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，实 轴长和虚轴长相等，且过点 P(4， 10)； (3)渐近线方程为 y 1 2x，且经过点 A(2，3) 数学数学 选修选修1-1
15、 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 思路点拨 (1)可用待定系数法求出a，b，c后求方程； (2)可以利用渐近线的方程进行假设，或者讨论焦点所在的 坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)设双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b0)，2a8. 由题意知c a 5 4且 c 2a2b2， a4，c5，b3， 标准方程为 x2 16 y2 9 1 或
16、 y2 16 x2 9 1. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)由 2a2b 得 ab， e1b 2 a2 2， 所以可设双曲线方程为 x2y2(0) 双曲线过点 P(4， 10)， 1610，即 6. 双曲线方程为 x2y26. 双曲线的标准方程为x 2 6 y 2 6 1. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)方法一：双曲线的渐近线方程为 y 1 2x， 若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标
17、准方程为 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)，则b a 1 2. A(2，3)在双曲线上， 4 a2 9 b21. 由联立，无解 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 y2 a2 x2 b2 1(a0，b0)， 则a b 1 2. A(2，3)在双曲线上， 9 a2 4 b21. 由联立，解得 a28，b232. 所求双曲线的标准方程为y 2 8 x2 321. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破
18、合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：由双曲线的渐近线方程为 y 1 2x，可设双曲线方 程为x 2 22y 2(0)，A(2，3)在双曲线上， 2 2 22(3) 2，即 8. 所求双曲线的标准方程为y 2 8 x2 321. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方 程，一般用待定系数法，其步骤为： 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)焦点位置不确定时，
19、方程可能有两种形式，此时应注意 分类讨论，防止遗漏为了避免讨论，也可设方程为 mx2ny2 1(mn0)，从而直接求解 (3)若是根据双曲线的渐近线求标准方程，设法为： 若双曲线的渐近方程为 y n mx，则双曲线方程可表示为 x2 m2 y2 n2(0)； 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)共渐近线的双曲线方程可表 示为x 2 a2 y2 b2(a0，b0，0)；与双曲线 y2 a2 x2 b21(a0，b0) 共渐近线的双曲线方程可表示为y 2
20、a2 x2 b2(a0，b0，0) 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为 16，离心率为5 4； (2)顶点间的距离为 6，渐近线为 y 3 2x. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)设双曲线的标准方程为 x2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b2 1(a0，b0)， 由题意知 2a16，c a 5 4，c 2a2b2， 解得 c1
21、0，a8，b6， 所以双曲线标准方程为 x2 64 y2 361 或 y2 64 x2 361. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)方法一：当焦点在 x 轴上时，b a 3 2，a3，b 9 2， 双曲线标准方程为x 2 9 y2 81 4 1；当焦点在 y 轴上时，a b 3 2， a3，b2.双曲线标准方程为y 2 9 x 2 4 1. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：设双曲线方程为x
22、 2 4 y 2 9 (0)， 当 0 时，a24，2a2 46，解得 9 4； 当 0， b0)的两个焦点， PQ 是经过 F1且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果PF2Q90 ， 求双曲线的离心率 思路点拨 设F1c，0，将焦点F1 的横坐标代入方程 求出P的纵 坐标及|PF1| 由PF2Q90 建立a，b，c关系 求出离心率 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 设 F1(c,0)，将 xc 代入双曲线的方程得 c2 a2 y2 b21，那么 y b2 a . 3 分 由|PF2|QF2|，PF2Q
23、90 ，知|PF1|F1F2|， b 2 a 2c，b22ac. 6 分 c22aca20， c a 22c a10. 8 分 即 e22e10，e1 2或 e1 2(舍去). 10 分 所以所求双曲线的离心率为 1 2. 12 分 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)求双曲线离心率的常见方法： 依据条件求出 a，c，利用 ec a； 利用 e1 b a 2； 依据条件，建立关于 a，b，c 的齐次关系式，消去 b 转化 为离心率 e 的方程求解 (2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于 a
24、，b，c 的不 等关系 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3(1)已知点(2,3)在双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上，C 的焦距为 4，则它的离心率为_ (2)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直 线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，求此双曲线的离心率 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)点(2,3)在双曲线上， 4 a2 9 b21. 又2c4，c2
25、a2b2， 解得 a21， ec a2. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a，b0)，不妨设一个焦点为 F(c,0)，虚轴端点为 B(0，b)，则 kFBb c. 又渐近线的斜率为 b a， 所以由直线垂直关系得b c b a1( b a显然不符合)， 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 即 b2ac，又 c2a2b2，故 c2a2ac，两边同除以 a2，
26、得方程 e2e10， 解得 e 51 2 或 e1 5 2 (负值舍去) 答案： (1)2 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知双曲线方程为 x2y21，双曲线的左支上一点 P(a，b) 到直线 yx 的距离是 2，求 ab 的值 【错解】 P(a，b)到 yx 的距离是 2，故|ab| 2 2， ab 2. 又a2b21， (ab)(ab)1，ab 1 2. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 忽略了条件P(a，b)在双曲线的左支上，若P在 双曲线的左支上，则ab0，故应有ab2. 【正解】 点 P(a，b)到 yx 的距离为 2，故|ab| 2 2， ab 2.又P 在双曲线的左支上， 故 ab0，有 ab2. 又a2b21，即(ab)(ab)1， ab1 2. 数学数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 谢谢观看！谢谢观看！
