1、数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3.3.2 函数的极值与导数 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数 的极值与导数的关系，并会灵活应用 2结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要 条件和充分条件 3会用导数求最高次幂不
2、超过三次的多项式函数的极大 值、极小值 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 横看成岭侧成峰，远近高低各不同 不识庐山真面目，只缘身在此山中 在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最 高处，但它却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定 是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，群山中的最低处 是所有谷底的最低者的底部每个山峰附近
3、的走势如何？与导 数有什么关系？ 提示 在山峰左侧f(x)0，上升趋势；右侧f(x)0 f(x)f(x1) (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能 成为极值点 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1已知函数f(x)在(a，b)上可导，且x0(a，b)，以下结论 中，正确的是( ) A导数为零的点一定是极值点 B如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，所以 x2 为 f(x) 的极小值点 答案： D 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自
4、主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3函数 ye x x (x0)的极小值为_ 解析： ye x xex x2 e xx1 x2 ，令 y0，得 x1，当 00，所以当 x1 时，函数取 得极小值 e.故填 e. 答案： e 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4求函数f(x)x4x3的极值 解析： f(x)x4x3，f(x)4x33x2. 令 f(x)0，即 4x33x20，得 x2(4x3)0. x0 或 x3 4. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 数学数学
5、 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 x (，0) 0 0，3 4 3 4 3 4， f(x) 0 0 f(x) 不是极值 27 256 由上表可知，函数 f(x)在区间(，0)上是减函数，在区间 0，3 4 上还是减函数，因此 x0 不是函数的极值点；而函数 f(x) 在区间 0，3 4 上是减函数，在区间 3 4， 上是增函数，因此在 x3 4处取得极小值，其值为 27 256. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探
6、究 课堂互动 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求函数的极值 求下列函数的极值： (1)f(x)x33x29x5；(2)f(x)ln x x . 思路点拨 按照求极值的基本方法，首先从方程 f(x)0 入手，求出在函数 f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照 函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数 f(x)x33x29x5 的定义域为 R，且 f(x)3x26x9.
7、解方程 3x26x90，得 x11，x23. 当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (，1) 1 (1,3) 3 (3，) f(x) 0 0 f(x) 单调递增 10 单调递减 22 单调递增 因此，x1 是函数的极大值点，极大值为 f(1)10；x 3 是函数的极小值点，极小值为 f(3)22. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)函数 f(x)ln x x 的定义域为(0，)，且 f(x)1ln x x2 . 令 f(x)0，解得 xe. 当 x 变化时，f(x)与 f(x
8、)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，) f(x) 0 f(x) 单调递增 1 e 单调递减 因此，xe 是函数的极大值点，极大值为 f(e)1 e，没有极 小值 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 求函数极值的方法： (1)求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的全部实根； (3)列表，检查f(x)在方程f(x)0的根左、右的值的符号； (4)判断单调性，确定极值 特别提醒：最好列表判断，避免出错 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究
9、 课堂互动 高效测评 知能提升 1求函数 f(x) 2x x212 的极值 解析： 函数的定义域为 R. f(x)2x 214x2 x212 2x1x1 x212 . 令 f(x)0，得 x1 或 x1. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 x (，1) 1 (1,1) 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 由表可以看出： 当 x1 时，函数有极小值，且 f(1)2 2 23； 当 x1 时，函数有极大值，且 f(1)2 221.
10、数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知极值求参数 已知 f(x)x3ax2bxc 在 x1 与 x2 3时都取 得极值 (1)求 a，b 的值； (2)若 f(1)3 2，求 f(x)的单调区间和极值 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 思路点拨 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方 法进行，其重点是列表检查导数为零的点的左、右两侧的导数 值是不是异号的，若异号，则导数为零的点对应的函数值是极 值；否则，导数为零
11、的点对应的函数值不是极值 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)f(x)3x22axb， 令 f(x)0，由题设知 x1 与 x2 3为 f(x)0 的解 12 3 2 3a， 1 2 3 b 3. a1 2，b2. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)由(1)知 f(x)x31 2x 22xc， 由 f(1)11 22c 3 2， 得 c1. f(x)x31 2x 22x1. f(x)3x2x2.
12、 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 x ，2 3 2 3 2 3，1 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 49 27 1 2 f(x)的递增区间为 ，2 3 和(1，)，递减区间为 2 3，1 . 当 x2 3时，f(x)有极大值为 f 2 3 49 27； 当 x1 时，f(x)有极小值为 f(1)1 2. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知函数极
13、值情况，逆向应用确定函数的解 析式，进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利 用待定系数法求解 (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以 利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2若例题为已知 f(x)x3ax2bxc 在 x1 与 x2 3时 都取得极值，且函数的极小值为1 2，求 f(1) 解析： f(x)3x22axb，令 f(x)0，由题设知 x 1 与 x2 3为 f(x)0 的解 12 3 2 3a
14、， 1 2 3 b 3. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 a1 2，b2. f(x)x31 2x 22xc， f(x)3x2x2. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 x ，2 3 2 3 2 3，1 1 (1， ) f(x) 0 0 f(x) 22 27c 3 2c f(x)的递增区间为 ，2 3 和(1，)，递减区间为 2 3，1 . 数学数学 选修选修1
15、-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当 x1 时， f(x)有极小值为 f(1)3 2c. 3 2c 1 2，即 c1. f(x)x31 2x 22x1. f(1)11 221 3 2. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数极值的应用 试确定函数 f(x)1 3x 3xa 的零点个数 思路点拨 函数 f(x)1 3x 3xa 的零点个数，即函数 f(x) 与 x 轴的交点个数，也可视为 g(x)1 3x 3x 与 ya 这两个函数
16、图象的交点个数，可由 g(x)的单调性和极值作出草图，数形结合 求解 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 函数 f(x)1 3x 3xa 零点个数即为方程1 3x 3 xa 解的个数，可转化为函数 g(x)1 3x 3x 与函数 ya 图象交 点个数函数 ya 的图象为平行于 x 轴的直线，下面研究 g(x) 1 3x 3x 的图象. 2 分 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 由题意知，g(x)x21， 令 g(x
17、)x210， 解得 x1 或 x1. 4 分 当 x1 或 x0； 当1x1 时，g(x)2 3或 a 2 3时，图象有 1 个交点； 9 分 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当 a2 3或 a 2 3时，图象有 2 个交点； 10 分 当2 3a2 3或 a 2 3时，函数有 1 个零点； 当 a2 3或 a 2 3时，函数有 2 个零点； 当2 3a 2或 x0； 当 2x 2时，f(x)0. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动
18、 高效测评 知能提升 所以 f(x)的单调递增区间为(， 2)和( 2，)；单 调递减区间为( 2， 2) 当 x 2时，f(x)有极大值 54 2； 当 x 2时，f(x)有极小值 54 2. (2)由(1)的分析知 yf(x)的图象的大致形状及走向如图所 示所以，当 54 2a54 2时，直线 ya 与 yf(x)的图象 有三个不同交点，即方程 f(x)a 有三个不同的解 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数 a，b的值 数学数学 选修选修1-1
19、 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错解】 因为 f(x)在 x1 时有极值 0， 且 f(x)3x26axb， 所以 f10， f10， 即 36ab0， 13aba20. 解之得 a1， b3 或 a2， b9. 因此常数 a1 时 b3；a2 时 b9. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函 数先增后减为极大值，此题未验证x1两侧函数的单调性， 故求错 【正解】 因为 f(x)在 x
20、1 时有极值 0， 且 f(x)3x26axb， 所以 f10， f10， 即 36ab0， 13aba20， 解得 a1， b3 或 a2， b9. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20， 所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去 当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3) 当 x(，3)时，f(x)为增函数； 当 x(3，1)时，f(x)为减函数； 当 x(1，)时，f(x)为增函数 所以 f(x)在 x1 时取得极小值， 因此 a2，b9. 数学数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 谢谢观看！谢谢观看！
