1、二 极坐标系 第1课时 极坐标系的概念 【自主预习自主预习】 1.1.极坐标系极坐标系 (1)(1)取极点取极点: :平面内取一个平面内取一个_._. (2)(2)作极轴作极轴: :自极点引一条射线自极点引一条射线Ox.Ox. (3)(3)定单位定单位: :选定一个长度单位选定一个长度单位, ,一个角度单位一个角度单位( (通常取通常取 弧度弧度) )及其正方向及其正方向( (通常取逆时针方向通常取逆时针方向).). 定点定点O O 2.2.点的极坐标点的极坐标 (1)(1)定义定义: :有序数对有序数对( ( , , ) )叫做点叫做点M M的极坐标的极坐标, ,记为记为 _._. (2)(
2、2)意义意义: : =_,=_,即极点即极点O O与点与点M M的距离的距离( ( 0).0). =_,=_,即以极轴即以极轴OxOx为始边为始边, ,射线射线OMOM为终边的角为终边的角. . M(M( , , ) ) |OM|OM| xOMxOM 【即时小测即时小测】 1.1.极坐标系中极坐标系中, ,下列与点下列与点(1,(1, ) )相同的点为相同的点为 ( ( ) ) A.(1,0)A.(1,0) B.(2,B.(2, ) ) C.(1,2016C.(1,2016 ) ) D.(1,2017D.(1,2017 ) ) 【解析解析】选选D.D.点点(1,(1, ) )的极径为的极径为1
3、,1,极角为极角为 , ,由终边相由终边相 同的角的概念得同的角的概念得, ,点点(1,(1, ) )与点与点(1,2017(1,2017 ) )相同相同. . 2.2.点点M M的直角坐标是的直角坐标是( (- -1, ),1, ),则点则点M M的极点坐标为的极点坐标为 ( ( ) ) 3 A.(2) B.(2,) 33 2 C.(2,) D.(2,2k)(kZ) 33 ， 【解析解析】选选C.C.由由2 2=x=x2 2+y+y2 2, ,得得2 2=4,=2,=4,=2, 则则cos=xcos=x得得:cos=:cos=- - , , 结合点在第二象限得结合点在第二象限得:= ,:=
4、, 则点则点M M的极坐标为的极坐标为 1 2 2 3 2 (2). 3 ， 【知识探究知识探究】 探究点探究点 极坐标系极坐标系 1.1.平面直角坐标系与极坐标系有什么不同平面直角坐标系与极坐标系有什么不同? ? 提示提示: :(1)(1)两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原两种坐标系形式上的区别是直角坐标系有原 点点,x,x轴轴,y,y轴轴, ,极坐标系有极点、极轴极坐标系有极点、极轴. . (2)(2)点的直角坐标是有序实数对点的直角坐标是有序实数对(x,y),(x,y),点的极坐标是点的极坐标是 (,).(,). 2.2.极坐标系中极坐标系中, ,点的极坐标唯一吗点的极坐标唯一吗?
5、? 提示提示: :(1)(1)由于极坐标系中由于极坐标系中, ,对于给定的有序数对对于给定的有序数对(,)(,) 都有唯一确定的点与之对应都有唯一确定的点与之对应, ,但是但是, ,对于给定一点对于给定一点M,M,可可 以有无数个有序数对以有无数个有序数对(,+2k)(kZ)(,+2k)(kZ)与之对应与之对应, ,所所 以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系. . (2)(2)如果规定如果规定0,00,02,那么除极点外的任意一那么除极点外的任意一 点都有唯一的极坐标点都有唯一的极坐标(,)(,)与之对应与之对应, ,反之亦然反之亦然. .
6、【归纳总结归纳总结】 1.1.极坐标系的四要素极坐标系的四要素 极点极点; ;极轴极轴; ;长度单位长度单位; ;角度单位和它的正方向角度单位和它的正方向. . 四者缺一不可四者缺一不可. . 2.2.在极坐标系中找点的位置在极坐标系中找点的位置, ,应先确定极角应先确定极角, ,再确定极再确定极 径径, ,最终确定点的位置最终确定点的位置. . 特别提醒特别提醒: :若已知点的极坐标若已知点的极坐标( ( , , ),),则点是确定的则点是确定的, , 反之反之, ,若已知点若已知点, ,则其极坐标不确定则其极坐标不确定. . 类型一类型一 极坐标系与点的极坐标极坐标系与点的极坐标 【典例典
7、例】在极坐标系中在极坐标系中, ,点点P P 到极点的距离为到极点的距离为 _,_,点点P P 到极轴的距离为到极轴的距离为_._. (2) 6 ， (2) 6 ， 【解题探究解题探究】怎样求点到极点和极轴的距离怎样求点到极点和极轴的距离? ? 提示提示: :点到极点的距离等于极径点到极点的距离等于极径, ,点到极轴的距离转化点到极轴的距离转化 为三角函数计算为三角函数计算. . 【解析解析】因为在极坐标系中因为在极坐标系中, ,点点P ,P , =2,=2, = ,= ,所所 以点以点P P到极点的距离为到极点的距离为2,2,点点P P到极轴的距离为到极轴的距离为2sin =1.2sin =
8、1. 答案答案: :2 2 1 1 (2) 6 ， 6 6 【方法技巧方法技巧】确定点的极坐标的方法确定点的极坐标的方法 点点P P的极坐标的一般形式为的极坐标的一般形式为( ( , , +2k+2k ),kZ,),kZ,则则 (1)(1) 为点为点P P到极点的距离到极点的距离, ,是个定值是个定值. . (2)(2)极角为满足极角为满足 +2k+2k ,kZ,kZ的任意角的任意角, ,不唯一不唯一, ,其中其中 是始边在极轴上是始边在极轴上, ,终边过终边过OPOP的任意一个角的任意一个角, ,一般取绝对一般取绝对 值较小的角值较小的角. . 【变式训练变式训练】1.1.在极坐标系中在极坐
9、标系中, ,极轴的反向延长线上一极轴的反向延长线上一 点点M M与极点的距离为与极点的距离为2,2,则点则点M M的极坐标的下列表示的极坐标的下列表示: : (2,0);(2,0);(2,(2, ););(2,(2,- - ););(2,2k(2,2k )(kZ).)(kZ). 其中其中, ,正确表示的序号为正确表示的序号为_._. 【解析解析】由于极轴的反向延长线上一点由于极轴的反向延长线上一点M M与极点的距离与极点的距离 为为2,2,极角的始边为极角的始边为Ox,Ox,终边与平角的终边相同终边与平角的终边相同, ,故点故点M M的的 极坐标为极坐标为(2,(2, +2k+2k )(kZ)
10、,)(kZ),故正确故正确. . 答案答案: : 2.2.如图如图, ,在极坐标系中在极坐标系中, , (1)(1)作出以下各点作出以下各点: : (2)(2)求点求点E,FE,F的极坐标的极坐标( ( , , )()( 0,0, R). R). 33 A(5 0)B(3)C(4)D(2). 622 ， ， ， 【解析解析】(1)(1)如图如图, ,在极坐标系中在极坐标系中, ,点点A,B,C,DA,B,C,D的位置是的位置是 确定的确定的. . (2)(2)由于点由于点E E的极径为的极径为4,4, 在在0,2)0,2)内内, ,极角极角 又因为点的极坐标为又因为点的极坐标为(,)(0,R)
11、,(,)(0,R), 7 6 ， 所以点所以点E E的极坐标为的极坐标为 同理同理, ,点点F F的极坐标为的极坐标为 7 (4 2k) kZ . 6 ， 2 (3 2k) kZ . 3 ， 类型二类型二 极坐标系中两点间的距离极坐标系中两点间的距离 【典例典例】在极坐标系中在极坐标系中, ,点点O O为极点为极点, ,已知点已知点 求求|AB|AB|的值的值. . A(6) 6 ， ， 2 B(6) 3 ， 【解题探究解题探究】根据点根据点A,BA,B在极坐标系中的位置关系在极坐标系中的位置关系, ,可可 得得AOBAOB为多少度为多少度? ? 提示提示: :AOB=90AOB=90. .
12、【解析解析】因为因为 故故AOB=90AOB=90, ,故故 2 362 ， 22 AB666 2. 【延伸探究延伸探究】 1.1.本例已知条件不变本例已知条件不变, ,试求试求AOBAOB的面积的面积. . 【解析解析】因为因为 故故AOB=90AOB=90, , 所以所以S S AOBAOB= = 2 362 ， 1 6 618. 2 2.2.本例已知条件不变本例已知条件不变, ,试求线段试求线段ABAB中点的极坐标中点的极坐标. . 【解析解析】设线段设线段ABAB中点中点M M的极坐标为的极坐标为(,),(,), 则则 故线段故线段ABAB中点中点M M的极坐标为的极坐标为 2 5 6
13、3 212 ， 2 36 6 cos()3 2 2 ， 5 (3 2). 12 ， 【方法技巧方法技巧】点与极坐标的对应关系以及两点间的距点与极坐标的对应关系以及两点间的距 离公式离公式 (1)(1)在极坐标系中在极坐标系中, ,点的极坐标不唯一点的极坐标不唯一, ,这是由于与角这是由于与角 1 1的终边相同的角的集合为 的终边相同的角的集合为 | | = = 1 1+2k +2k ,kZ.,kZ. 如果限定如果限定 0,0, 0,20,2 ),),那么那么, ,除极点外除极点外, ,点与有点与有 序数对序数对( ( , , ) )可以建立一一对应关系可以建立一一对应关系. . (2)(2)在
14、极坐标系中在极坐标系中, ,如果如果P P1 1( ( 1 1, ,1 1),P ),P2 2( ( 2 2, ,2 2), ),那么那么 两点间的距离公式两点间的距离公式 的两种的两种 特殊情形为特殊情形为: : 当当 1 1= =2 2+2k +2k ,kZ,kZ时时,|P,|P1 1P P2 2|=|=| 1 1- -2 2|; |; 当当 1 1= =2 2+ + +2k +2k ,kZ,kZ时时,|P,|P1 1P P2 2|=|=| 1 1+ +2 2|. |. 22 1 2121212 |PP |2cos() 【变式训练变式训练】1.(20161.(2016南昌高二检测南昌高二检
15、测) )在极坐标系中在极坐标系中, , 两点两点 间的距离是间的距离是 ( ( ) ) A.A. B.B. C.6C.6 D. 4D. 4 57 A( 5,)B(7,) 412 ， 4139 【解析解析】选选B.|AB|= B.|AB|= 22 121212 2cos()39. 2.2.在极坐标系中在极坐标系中, ,若若ABCABC的三个顶点为的三个顶点为 判断三角形的形状判断三角形的形状. . 55 A(5)B(8) 26 ， 7 C(3) 6 ， 【解析解析】 所以所以ABCABC是等边三角形是等边三角形. . 2 22 55 AB582 5 8 cos()49 26 ， 2 22 2 2
16、2 57 AC532 5 3 cos()49 26 57 BC832 8 3 cos()49 66 ， ， 自我纠错自我纠错 已知距离求点的极坐标已知距离求点的极坐标 【典例典例】已知在极坐标系中已知在极坐标系中,O,O为极点为极点, B(, B( , , ),OAOB,|AB|=5,),OAOB,|AB|=5, 0,0, 0,20,2 ),),求点求点B B的极坐的极坐 标标. . A(3) 6 ， ， 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全出错的根本原因是对题目中的垂直条件理解不全 面面, ,导致确定极角时漏掉一种情况导致确定极角时漏掉一种情况. . 正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【解析解析】由由OAOB,OAOB,得得 kZ,kZ, 即即 kZ,kZ,由由0,2),0,2),得得 由由 得得 故故=4.=4. 所以点所以点B B的极坐标为的极坐标为 2k 62 ， 2k 62 ， 25 33 或， 22 22 OBABOA534 ， 25 (44. 33 ， ）或（ ， ） |AB| 5 ，
