1、三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线 【自主预习自主预习】 1.1.直线的参数方程直线的参数方程 已知直线已知直线l经过点经过点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0),),倾斜角为倾斜角为 点点M(x,y)M(x,y) 为直线为直线l上任意一点上任意一点, ,则直线则直线l的普通方程和参数方程分的普通方程和参数方程分 别为别为 () 2 ， 普通方程普通方程 参数方程参数方程 _ _ (t_ (t为参数为参数) ) y y- -y y0 0=tan=tan (x(x- -x x0 0) ) 0 0 xxtcos yytsin ， 其中其中, ,直线的参数方程中参数直线的参数方程中参数t t
2、的绝对值的绝对值|t|=_.|t|=_. 0 M M. 2.2.圆的渐开线及其参数方程圆的渐开线及其参数方程 (1)(1)定义定义. . 把线绕在圆周上把线绕在圆周上, ,假设线的粗细可以忽略假设线的粗细可以忽略, ,拉着线头拉着线头 _,_,保持线与圆相切保持线与圆相切,_,_的轨迹就叫做圆的的轨迹就叫做圆的 渐开线渐开线, ,相应的相应的_叫做渐开线的基圆叫做渐开线的基圆. . 离开圆周离开圆周 线头线头 定圆定圆 (2)(2)参数方程参数方程. . 设基圆的半径为设基圆的半径为r,r,圆的渐开线的参数方程是圆的渐开线的参数方程是 _ xrcossin yrsincos. （）， （ 是参
3、数） （） 3.3.摆线及其参数方程摆线及其参数方程 (1)(1)定义定义. . 当一个圆沿着一条定直线当一个圆沿着一条定直线_滚动时滚动时, ,圆周上的圆周上的 _的轨迹叫做平摆线的轨迹叫做平摆线, ,简称摆线简称摆线, ,又叫做又叫做 _._. 无滑动地无滑动地 一个定点运动一个定点运动 旋轮线旋轮线 (2)(2)参数方程参数方程. . 设圆的半径为设圆的半径为r,r,圆滚动的角为圆滚动的角为, ,那么摆线的参数方程那么摆线的参数方程 是是_ (_ (是参数是参数) ) xrsin yr 1 cos. （）， （） 【即时小测即时小测】 1.1.下列点在直线下列点在直线 (t(t为参数为参
4、数) )上的是上的是 ( ( ) ) A.(2,A.(2,- -3)3) B.(B.(- -2,3)2,3) C.(3,C.(3,- -2)2) D.(D.(- -3,2)3,2) 【解析解析】选选D.D.直线经过点直线经过点( (- -3,2),3,2),倾斜角为倾斜角为 . . x3 tcos y2tsin ， 2.2.经过点经过点M(1,M(1,- -3)3)且倾斜角为且倾斜角为 的直线的直线, ,以定点以定点M M到动到动 点点P P的位移的位移t t为参数的参数方程是为参数的参数方程是_._. 3 【解析解析】经过点经过点M(1,M(1,- -3)3)且倾斜角为且倾斜角为 的直线的直
5、线, ,以定点以定点 M M到动点到动点P P的位移的位移t t为参数的参数方程是为参数的参数方程是 (t(t为参数为参数) )即为即为 (t(t为参数为参数) ) 答案答案: : (t(t为参数为参数) ) 3 x1 tcos 3 y3 tsin 3 ， ， 1 x1t 2 3 y3t. 2 ， 1 x1t 2 3 y3t. 2 ， 【知识探究知识探究】 探究点探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线直线的参数方程、渐近线与摆线 1.1.直线的参数方程中直线的参数方程中, ,参数的几何意义是什么参数的几何意义是什么? ? 提示提示: :设设e表示直线向上方向上的单位向量表示直线向上方向上的单位向
6、量, , 当当 参数参数t0t0时时, , 与与e同向同向; ; 当参数当参数t0t0时时, , 与与e反向反向; ; 0 M Mt，e 0 M M 0 M M 当参数当参数t=0t=0时时, ,点点M M0 0,M,M重合重合. . 故总有故总有 所以参数所以参数t t为点为点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直线上点到直线上点 M(x,y)M(x,y)的有向线段的有向线段 的数量的数量( (即长度即长度+ +方向方向),),这就是这就是 参数参数t t的几何意义的几何意义. . 0 M Mt ， 0 M M 2.2.直线的参数方程形式唯一吗直线的参数方程形式唯一吗? ?如果不
7、唯一如果不唯一, ,同一直线同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗吗? ? 提示提示: :直线的参数方程形式不唯一直线的参数方程形式不唯一, ,同一直线不同形式同一直线不同形式 的参数方程中的参数具有不同的意义的参数方程中的参数具有不同的意义, ,甚至不具有明显甚至不具有明显 的几何意义的几何意义, ,如直线如直线x x- -y=0y=0的参数方程的参数方程 (t(t为参数为参数) ) 中的参数中的参数t t就不具有明显的几何意义就不具有明显的几何意义. . x2t y2t ， 【归纳总结归纳总结】 由直线的参数方程中由直线的
8、参数方程中t t的几何意义得出的两个结论的几何意义得出的两个结论 (1)(1)设设A,BA,B是直线上任意两点是直线上任意两点, ,它们对应的参数分别为它们对应的参数分别为t tA A 和和t tB B, ,则则 (2)(2)线段线段ABAB的中点所对应的参数值等于的中点所对应的参数值等于 2 BABAAB ABtttt4tt . AB tt . 2 类型一类型一 直线的参数方程的形式直线的参数方程的形式 【典例典例】1.1.化直线化直线l1 1的普通方程的普通方程x+ yx+ y- -1=01=0为参数方为参数方 程程, ,并说明参数的几何意义并说明参数的几何意义, ,说明说明|t|t|的几
9、何意义的几何意义. . 2.2.化直线化直线l2 2的参数方程的参数方程 (t(t为参数为参数) )为普通为普通 方程方程, ,并求倾斜角并求倾斜角, ,说明说明|t|t|的几何意义的几何意义. . 3 x3t y13t ， 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中直线的斜率和倾斜角分别是什中直线的斜率和倾斜角分别是什 么么? ? 提示提示: :直线的斜率为直线的斜率为 倾斜角为倾斜角为 2.2.典例典例2 2中直线的参数方程是标准形式吗中直线的参数方程是标准形式吗? ? 提示提示: :不是直线的参数方程的标准形式不是直线的参数方程的标准形式. . 3 k 3 ， 5 . 6 【解析解析】
10、1.1.令令y=0,y=0,得得x=1,x=1,所以直线所以直线l1 1过定点过定点(1,0).(1,0). 设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为, , 所以直线所以直线l1 1的参数方程为的参数方程为 13 k 33 ， 35 tan, 36 31 cos,sin , 22 3 x1t 2 t 1 yt. 2 ， （ 为参数） t t是直线是直线l1 1上的定点上的定点M M0 0(1,0)(1,0)到到t t对应的点对应的点M(x,y)M(x,y)的有向的有向 线段线段 的数量的数量. . 由由 , ,两式平方相加两式平方相加, ,得得(x(x- -1)1)2 2+y+y2 2=t=t2 2.
11、 . |t|t|是定点是定点M M0 0(1,0)(1,0)到到t t对应的点对应的点M(x,y)M(x,y)的的 有向线段有向线段 的长的长. . 0 M M 3 x 1t 2 1 yt 2 ， ， 2 2 tx 1y， 0 M M 2.2.方程组变形为方程组变形为 代入消去参数代入消去参数t,t,得直线的点斜式方程得直线的点斜式方程 可得可得 倾斜角倾斜角 普通方程为普通方程为 x3t, y 13t, y 13 x3 ， k3,tan 3, , 3 3xy 3 3 10. 两式平方相加两式平方相加, ,得得(x+3)(x+3)2 2+(y+(y- -1)1)2 2=4t=4t2 2, ,
12、所以所以 |t|t|是定点是定点M M0 0(3,1)(3,1)到到t t对应对应 的点的点M(x,y)M(x,y)的有向线段的有向线段 的长的一半的长的一半. . 22 x3y 1 t, 2 0 M M 【方法技巧方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧直线参数方程的标准形式应用技巧 (1)(1)已知直线已知直线l经过点经过点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0),),倾斜角为倾斜角为 , ,点点M(x,y)M(x,y) 为直线为直线l上任意一点上任意一点, ,则直线则直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) ) 0 0 xxtcos , yytsin . 参数参数t t的
13、几何意义是有向线段的几何意义是有向线段 的数量的数量, , 其中其中e=(cos=(cos ,sin,sin ).). 我们把称为直线我们把称为直线l的参数方程的标准形式的参数方程的标准形式. . 令令a=cosa=cos ,b=sin,b=sin , ,则直线参数方程的标准形式可以则直线参数方程的标准形式可以 是是 (t(t为参数为参数,b0,a,b0,a2 2+b+b2 2=1) =1) 0 M M 0 M Mt，e 0 0 xxat, yybt. (2)(2)如果直线的参数方程的一般形式为如果直线的参数方程的一般形式为 可以通过转换可以通过转换 0 0 xxct, tc,dR yydt,
14、 （ 为参数，） 22 0 22 22 0 22 c xx( cdt), cd d yy( cdt). cd 当当d0d0时时, ,令令 当当d0d0时时, ,令令 就可以把直线的参数方程化为标准形式就可以把直线的参数方程化为标准形式. . 22 2222 cd tcdt,a,b cdcd ； 22 2222 cd tcdt,a,b, cdcd 【变式训练变式训练】1.(20161.(2016成都高二检测成都高二检测) )将曲线的参数将曲线的参数 方程方程 (t(t为参数为参数) )化为普通方程为化为普通方程为_._. 1 x3t 2 3 yt 2 ， 【解析解析】由参数方程由参数方程 消去参
15、数消去参数t,t,得得 答案答案: : 1 x3t 2 3 yt 2 ， 1 2 x3y3xy 3 30. 23 ，即 3xy 3 30 2.2.下列参数方程中下列参数方程中, ,哪些是直线的参数方程的标准形式哪些是直线的参数方程的标准形式? ? 若是若是, ,求出直线经过的起点坐标和倾斜角求出直线经过的起点坐标和倾斜角, ,若不是参数若不是参数 方程的标准形式方程的标准形式, ,转化为标准形式转化为标准形式( (其中其中,t,t为参数为参数).). 11 x1t,x1t, 22 12 33 y2t.y2t. 22 （ ）（ ） 【解析解析】 是直线参数方程的标准形式是直线参数方程的标准形式,
16、 ,其其 中中, ,起点坐标为起点坐标为( (- -1,2), 1,2), 倾斜角倾斜角 1 x1t, 2 1 3 y2t 2 （） 13 cos ,sin 22 ， 2 . 3 (2) (2) 不是直线参数方程的标准形式不是直线参数方程的标准形式, , 令令t=t=- -t,t,得到标准形式的参数方程为得到标准形式的参数方程为 (t(t为参数为参数) ) 1 x1t, 2 3 y2t 2 1 x1t , 2 3 y2t . 2 3.3.已知直线已知直线l过点过点P(3,4),P(3,4),且它的倾斜角且它的倾斜角 =120=120. . (1)(1)写出直线写出直线l的参数方程的参数方程.
17、. (2)(2)求直线求直线l与直线与直线x x- -y+1=0y+1=0的交点的交点. . 【解析解析】(1)(1)因为直线因为直线l过点过点P(3,4),P(3,4),且它的倾斜角且它的倾斜角 =120=120, , 故直线故直线l的参数方程为的参数方程为 即即 x3tcos 120 t y4tsin 120 , ， （ 为参数） 1 x3t 2 t 3 y4t. 2 ， （ 为参数） (2)(2)方法一方法一: :由由(1)(1)得得 代入代入x x- -y+1=0,y+1=0, 得得 解得解得t=0.t=0. 故故 即交点坐标为即交点坐标为(3,4).(3,4). 1 x3t 2 3
18、y4t 2 ， ， 13 3t4t 10 22 ， x3 y4 ， ， 方法二方法二: :由由(1)(1)中直线的参数方程中直线的参数方程 化为普通方程为化为普通方程为 由由 解得解得 故两直线的交点为故两直线的交点为(3,4).(3,4). 1 x3t 2 t 3 y4t 2 ， （ 为参数） 3xy3 340 ， 3xy 3 340 xy 10 ， ， x3 y4 ， ， 类型二类型二 直线的参数方程的综合题直线的参数方程的综合题 【典例典例】(2016(2016合肥高二检测合肥高二检测) )已知曲线已知曲线C C1 1: : (t(t为参数为参数),C),C2 2: (: ( 为参数为参
19、数).). (1)(1)化化C C1 1,C,C2 2的方程为普通方程的方程为普通方程, ,并说明它们分别表示什并说明它们分别表示什 么曲线么曲线. . (2)(2)若曲线若曲线C C1 1和和C C2 2相交于相交于A,BA,B两点两点, ,求求|AB|.|AB|. 2 x4t 2 2 yt 2 ， x2 cos y1 sin ， 【解题探究解题探究】(1)(1)如何将参数方程化为普通方程如何将参数方程化为普通方程? ? 提示提示: :消去参数即得曲线的普通方程消去参数即得曲线的普通方程. . (2)(2)如何求线段的长度如何求线段的长度? ? 提示提示: :利用直线参数方程的几何意义计算线
20、段长度利用直线参数方程的几何意义计算线段长度. . 【解析解析】(1)(1)由曲线由曲线C C1 1: : 消去参数消去参数t,t,得得y=x+4,y=x+4, 所以曲线所以曲线C C1 1表示一条直线表示一条直线. . 由曲线由曲线C C2 2: : 消去参数消去参数得得(x+2)(x+2)2 2+(y+(y- -1)1)2 2=1,=1, 所以曲线所以曲线C C2 2表示以表示以( (- -2,1)2,1)为圆心为圆心,1,1为半径的圆为半径的圆. . 2 x4t 2 2 yt 2 ， x2 cos y1 sin ， (2)(2)方法一方法一: :圆心圆心C C2 2( (- -2,1)2
21、,1)到直线到直线x x- -y+4=0y+4=0的距离为的距离为 所以所以 | 2 1 4|2 d 22 ， 22 1 |AB|2 rd2 12. 2 方法二方法二: :将直线的参数方程将直线的参数方程C C1 1: (t: (t为参数为参数) ) 代入曲线代入曲线C C2 2:(x+2):(x+2)2 2+(y+(y- -1)1)2 2=1,=1, 整理得整理得:t:t2 2- -3 t+4=0,3 t+4=0,设设A,BA,B对应的参数分别为对应的参数分别为t t1 1,t,t2 2, , 则则t t1 1+t+t2 2=3 ,t=3 ,t1 1t t2 2=4,=4, 所以所以 2 x
22、4t 2 2 yt 2 ， 2 2 2 12121 2 AB |tt |tt4t t2 【延伸探究延伸探究】 1.1.若本例条件不变若本例条件不变,P,P在曲线在曲线C C2 2上上, ,如何求如何求ABPABP面积的面积的 最大值最大值? ? 【解析解析】方法一方法一: :由上述得由上述得, ,曲线曲线C C2 2上的点上的点P P到直线距离到直线距离 的最大值为的最大值为 +1,+1, 所以所以ABPABP面积的最大值为面积的最大值为S= S= 2 2 1212 |AB|121 2222 ()() 2 1. 2 方法二方法二: :设曲线设曲线C C2 2上的点上的点P P的坐标为的坐标为(
23、 (- -2+cos,1+ 2+cos,1+ sin),sin),点点P P到直线的距离为到直线的距离为 所以所以ABPABP面积的最大值为面积的最大值为 max | 2sin1| | 2 cos1 sin4| 4 d 22 2 122 d 22 () ， ， 1221 S|AB|12 222 () 222 1. 22 () 2.2.若本例条件变为直线若本例条件变为直线C C1 1: (t: (t为参数为参数, , 0,0, )与曲线与曲线C C2 2: (: ( 为参数为参数) )交于交于 A,BA,B两点两点, ,如何求如何求|AB|AB|的最大值的最大值? ?此时直线此时直线C C2 2
24、的普通方程的普通方程 是什么是什么? ? x1 tcos ytsin ， x2 cos y1 sin ， 【解析解析】方法一方法一: :直线直线C C1 1: (t: (t为参数为参数, , 0,0, )的普通方程为的普通方程为y=k(x+1),y=k(x+1),其中其中k=tank=tan , , , , 直线经过定点直线经过定点( (- -1,0),1,0),由直线与圆由直线与圆C C2 2:(x+2):(x+2)2 2+(y+(y- -1)1)2 2=1=1 的位置关系可知的位置关系可知, ,直线经过圆心直线经过圆心( (- -2,1)2,1)时时,|AB|,|AB|的最大的最大 值为直
25、径值为直径, ,即即|AB|AB|max max=2, =2,此时直线的斜率此时直线的斜率k=k=- -1,1, = ,= , 直线的普通方程为直线的普通方程为x+y+1=0.x+y+1=0. x1 tcos , ytsin 2 3 4 方法二方法二: :将直线将直线C C1 1: (t: (t为参数为参数,0,),0,) 的参数方程代入的参数方程代入(x+2)(x+2)2 2+(y+(y- -1)1)2 2=1,=1,整理整理, ,得得 (1+tcos)(1+tcos)2 2+(tsin+(tsin- -1)1)2 2=1,=1, t t2 2+2(cos+2(cos- -sin)t+1=0
26、,sin)t+1=0, 设设A,BA,B对应的参数分别为对应的参数分别为t t1 1,t,t2 2, , x1 tcos ytsin ， 则则t t1 1+t+t2 2= =- -2(cos2(cos- -sin),tsin),t1 1t t2 2=1,=1, 所以所以 当当= = 时时,|AB|,|AB|max max=2, =2, 此时直线的斜率此时直线的斜率k=k=- -1,1,直线的普通方程为直线的普通方程为x+y+1=0.x+y+1=0. 2 12121 2 |AB| |tt |tt4t t 2 4(cossin )44sin 22 ， 3 4 【方法技巧方法技巧】 1.1.利用直线
27、的参数方程判断两直线的位置关系利用直线的参数方程判断两直线的位置关系 直线直线l1 1: : 直线直线l2 2: : (1)(1)l1 1l2 2a a1 1b b2 2- -a a2 2b b1 1=0(=0(l1 1与与l2 2不重合不重合).). (2)(2)l1 1l2 2a a1 1a a2 2+b+b1 1b b2 2=0.=0. 11 11 xxa t t yyb t ， （ 为参数） ， 22 22 xxa t t yyb t . ， （ 为参数） 2.2.标准形式的参数方程中参数的应用标准形式的参数方程中参数的应用 经过点经过点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0),),
28、倾斜角为倾斜角为 的直线的直线l的参数方程为的参数方程为 0 0 xxtcos t yytsin ， （ 为参数） ， (1)(1)若若P P1 1,P,P2 2是直线是直线l上的两个点上的两个点, ,对应的参数分别为对应的参数分别为 t t1 1,t,t2 2, ,则向量则向量 的数量为的数量为t t2 2- -t t1 1, ,所以所以 =|t=|t2 2- -t t1 1|,|, 若若P P1 1,P,P2 2是直线是直线l与某圆锥曲线的两个交点与某圆锥曲线的两个交点, ,则弦长则弦长|P|P1 1P P2 2| | =|t=|t2 2- -t t1 1|.|. 1 2 PP 1 2 P
29、P (2)(2)若若P P1 1P P2 2的中点为的中点为P P3 3, ,且且P P1 1,P,P2 2,P,P3 3对应的参数分别为对应的参数分别为 t t1 1,t,t2 2,t,t3 3, ,则则 特别地特别地, ,若直线若直线l上的两个点上的两个点 P P1 1,P,P2 2的中点为的中点为M M0 0(x(x0 0,y,y0 0),),则则t t1 1+t+t2 2=0,t=0,t1 1t t2 20.0. 12 3 tt t 2 ， 【变式训练变式训练】1.(20161.(2016南昌高二检测南昌高二检测) )直线直线l (t(t是参数是参数) )被圆被圆(x(x- -3)3)
30、2 2+(y+1)+(y+1)2 2=25=25所截得的弦长为所截得的弦长为 _._. x2t y1 t ， 【解析解析】将直线将直线l的参数方程的参数方程 (t(t是参数是参数) )化为化为 普通方程普通方程, ,得得x+y+1=0,x+y+1=0, 圆心圆心(3,(3,- -1)1)到直线的距离到直线的距离 直线被圆直线被圆(x(x- -3)3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=25=25所截得的弦长为所截得的弦长为 答案答案: : x2t y1 t ， 33 2 d 22 ， 9 2 2582. 2 82 2.(20162.(2016江苏高考江苏高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐
31、标系xOyxOy中中, ,已知直已知直 线线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数),),椭圆椭圆C C的参数的参数 方程为方程为 ( ( 为参数为参数),),设直线设直线l与椭圆与椭圆C C相交于相交于A,A, B B两点两点, ,求线段求线段ABAB的长的长. . 1 x1t 2 3 yt 2 ， xcos y2sin 【解题指南解题指南】将参数方程化为普通方程将参数方程化为普通方程, ,联立求出点联立求出点 A,BA,B的坐标的坐标. . 【解析解析】直线直线l方程化为普通方程为方程化为普通方程为 椭圆椭圆C C方程化为普通方程为方程化为普通方程为 联立得联立得 因此因此|AB
32、|= |AB|= 3xy30 ， 2 2 y x1 4 ， 2 2 1 x 3xy30 x1 7 y y0 8 3 x1 y 4 7 ， ， ， 或 ， 22 18 316 10 777 ()() 类型三类型三 圆的渐开线与摆线圆的渐开线与摆线 【典例典例3 3】1.1.已知圆的渐开线方程为已知圆的渐开线方程为 ( (为参数为参数) )则该基圆半径则该基圆半径 为为_._.当圆心角当圆心角= = 时时, ,曲线上点曲线上点A A的直角坐标的直角坐标 为为_._. xcos sin 30sin sin 30 ysin cos 60cos cos 60 ， ， 2.2.已知一个圆的参数方程为已知一
33、个圆的参数方程为 ( ( 为参数为参数) )那么那么 圆的摆线方程中与参数圆的摆线方程中与参数 对应的点对应的点A A与点与点 之间的距离为之间的距离为_._. x3cos y3sin ， ， 2 3 B(2) 2 ， 【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中怎样求基圆半径及渐开线上一个中怎样求基圆半径及渐开线上一个 点的坐标点的坐标? ? 提示提示: :将渐开线的方程化为将渐开线的方程化为 ( (为为 参数参数) )的形式的形式, ,通过观察即可得出基圆半径通过观察即可得出基圆半径, ,将参数将参数值值 代入方程求点的坐标代入方程求点的坐标. . xr(cossin ) yr(sincos
34、) ， ， 2.2.题题2 2中怎样求摆线上两个点间的距离中怎样求摆线上两个点间的距离? ? 提示提示: :利用已知参数的值求出点的直角坐标利用已知参数的值求出点的直角坐标, ,利用两点利用两点 间的距离公式求距离间的距离公式求距离. . 【解析解析】1.1.圆的渐开线方程变为圆的渐开线方程变为 ( (为参数为参数) ) 即即 则基圆的半径为则基圆的半径为 将将=代入上式得代入上式得 xsin 30 cos sin ycos 60 sin cos （）， （）， 1 xcos sin 2 1 ysin cos 2 （）， （ 为参数） （）， 1 . 2 得得 则点则点A A的坐标为的坐标为
35、答案答案: : 1 xcos sin 2 1 ysin cos 2 （）， （）， 1 x 2 y 2 ， ， 1 (). 2 2 ， 11 () 22 2 ， 2.2.根据圆的参数方程可知根据圆的参数方程可知, ,圆的半径为圆的半径为3,3,那么它的摆线那么它的摆线 的参数方程为的参数方程为 把把 代入代入 参数方程中可得参数方程中可得 即即 所以所以 答案答案: : x3sin y31 cos （）， （ 为参数） （）， 2 x3(1) 2 y3 ， ， A31) 3) 2 （ （， 22 3 AB3(1)3 210. 22 （） 10 【方法技巧方法技巧】 1.1.圆的渐开线的参数方程
36、圆的渐开线的参数方程 (1)(1)圆的渐开线的参数方程为圆的渐开线的参数方程为 ( ( 为参数为参数) ) 其中其中r:r:基圆半径基圆半径. .: :绳子外端运动时绳绳子外端运动时绳 子上的定点子上的定点M M相对于圆心的张角相对于圆心的张角AOB.AOB. xrcossin yrsincos. （）， （） (2)(2)圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程, ,一是普一是普 通方程比较复杂不易理解通方程比较复杂不易理解, ,二是看不出曲线的坐标所满二是看不出曲线的坐标所满 足条件的含义足条件的含义. . 2.2.摆线的参数方程摆线的参数方程 摆线的参数方
37、程为摆线的参数方程为 ( (为参数为参数) ) 其中其中r:r:生成圆的半径生成圆的半径, ,: :圆在直线上滚动时圆在直线上滚动时, ,点点M M绕圆绕圆 心作圆周运动转过的弧度心作圆周运动转过的弧度ABO.ABO. xrsin yr 1 cos. （）， （） 3.3.将参数将参数的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确 定对应点的坐标定对应点的坐标, ,进而可求渐开线或摆线上两点间的距进而可求渐开线或摆线上两点间的距 离离. . 【变式训练变式训练】1.1.已知圆的渐开线的参数方程为已知圆的渐开线的参数方程为 则此渐开线对应基圆的面则此渐开线对应基圆的面
38、积为积为_,_,当当= = 时对应的曲线上的点的坐标为时对应的曲线上的点的坐标为 _._. x3cos3 sin y3sin3 cos ， （ 为参数） ， 2 【解析解析】将圆的渐开线的参数方程变为将圆的渐开线的参数方程变为 ( (为参数为参数) )则基圆的半径为则基圆的半径为3,3,故面积为故面积为3 32 2=9.=9. 当当 时时, , 得得 故故 时对应点的坐标为时对应点的坐标为 答案答案: : 2 x3(cossin ) 222 y3(sincos ) 222 ， ， 3 x 2 y3. ， 2 3 (3). 2 ， 3 9 (3) 2 ， x3cos3 sin y3sin3 co
39、s ， ， 2.2.当当 时时, ,求圆的摆线求圆的摆线 上对应的点的坐标上对应的点的坐标. . 2 x44sin y44cos ， （ 为参数） 【解析解析】将将 代入代入 得得 故故 时摆线上点的坐标为时摆线上点的坐标为(2(2- -4,4).4,4). 2 x44sin y44cos ， x44 sin 22 y44 cos 2 ， ， x24 y4. ， 即 2 自我纠错自我纠错 直线参数方程的标准形式直线参数方程的标准形式 【典例典例】(2016(2016保定高二检测保定高二检测) )已知直线已知直线l的参数方程的参数方程 是是 (t(t为参数为参数),),曲线曲线C C的极坐标方程是的极坐标方程是 = = 2sin2sin +4cos+4cos . . (1)(1)求曲线求曲线C C的直角坐标方程和参数方程的直角坐标方程和参数方程. . (2)(2)求直线求直线l被曲线被曲线C C截得的弦长截得的弦长. . x2t y13t ， 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :出错的根本原因是忽视了直线
