1、第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念、圆的参数 方程 【自主预习自主预习】 1.1.曲线的参数方程的定义曲线的参数方程的定义 一般地一般地, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的 坐标坐标x,yx,y都是某个变数都是某个变数t t的函数的函数_, ,并且对于并且对于t t 的每一个允许值的每一个允许值, ,由方程组所确定的点由方程组所确定的点M(x,y)M(x,y)都在这都在这 条曲线上条曲线上, ,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程那么方程组就叫做这条曲线的参数方程. .变变 数数t t叫做参变数叫做参变数, ,简称简
2、称_._. xf t , yg(t) 参数参数 2.2.圆的参数方程圆的参数方程 圆心和半径圆心和半径 圆的坐标方程圆的坐标方程 圆的参数方程圆的参数方程 圆心圆心O(0,0),O(0,0), 半径半径r r x x2 2+y+y2 2=r=r2 2 圆心圆心C(a,b),C(a,b), 半径半径r r (x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=r=r2 2 xrcos , yrsin xarcos , ybrsin 【即时小测即时小测】 1.1.曲线曲线 ( ( 为参数为参数) )围成图形的面积等围成图形的面积等 于于( ( ) ) A.A. B.2B.2 C.3C.3
3、D.4D.4 x1 2cos y3 2sin ， 【解析解析】选选D.D.曲线曲线 即即 (为参数为参数) )表示圆心为表示圆心为( (- -1,3),1,3),半径半径 为为2 2的圆的圆, ,所以面积等于所以面积等于4.4. x1 2cos y3 2sin ， ， x 12cos y 32sin ， ， 2.2.已知已知 (t(t为参数为参数),),若若y=1,y=1,则则x=_.x=_. 【解析解析】若若y=1,y=1,则则t t2 2=1,=1,则则t=t=1,x=01,x=0或或2.2. 答案答案: :0 0或或2 2 2 xt 1 yt ， 【知识探究知识探究】 探究点探究点 参数
4、方程的概念、圆的参数方程参数方程的概念、圆的参数方程 1.1.曲线的参数方程中参数的实际意义是什么曲线的参数方程中参数的实际意义是什么? ? 提示提示: :在曲线的参数方程中在曲线的参数方程中, ,参数可以有明确的几何意参数可以有明确的几何意 义义, ,也可以有明确的物理意义也可以有明确的物理意义, ,如时间、旋转角等如时间、旋转角等. .当然当然 也可以是没有实际意义的变数也可以是没有实际意义的变数. . 2.2.圆的参数方程中参数的几何意义是什么圆的参数方程中参数的几何意义是什么? ? 提示提示: :(1)(1)圆的参数方程圆的参数方程 中参数中参数的几何意的几何意 义义: : 射线射线O
5、xOx绕点绕点O O逆时针旋转到逆时针旋转到OM(M(x,y)OM(M(x,y) 是圆上的任意一点是圆上的任意一点) )位置时转过的角度位置时转过的角度. . 如图所示如图所示. . xrcos yrsin ， (2)(2)圆的参数方程圆的参数方程 中参数中参数的几何意义的几何意义: : 如图所示如图所示, ,设其圆心为设其圆心为C,CMC,CM0 0xx轴轴, ,则参数则参数的几何意的几何意 义是义是CMCM0 0绕点绕点C C逆时针旋转到逆时针旋转到CM(M(x,y)CM(M(x,y)是圆上的任意一是圆上的任意一 点点) )位置时转过的角度位置时转过的角度. . xarcos ybrsin
6、 ， 【归纳总结归纳总结】 1.1.曲线的参数方程的理解与认识曲线的参数方程的理解与认识 (1)(1)参数方程的形式参数方程的形式: :曲线上点的横、纵坐标曲线上点的横、纵坐标x,yx,y都是变都是变 量量t t的函数的函数, ,给出一个给出一个t t能唯一地求出对应的能唯一地求出对应的x,yx,y的值的值, ,因因 而得出唯一的对应点而得出唯一的对应点; ;但是横、纵坐标但是横、纵坐标x,yx,y之间的关系之间的关系 并不一定是函数关系并不一定是函数关系. . (2)(2)参数的取值范围参数的取值范围: :在表示曲线的参数方程时在表示曲线的参数方程时, ,必须指必须指 明参数的取值范围明参数
7、的取值范围. .因为取值范围不同因为取值范围不同, ,所表示的曲线所表示的曲线 也会有所不同也会有所不同. . 2.2.参数方程与普通方程的统一性参数方程与普通方程的统一性 (1)(1)参数的作用参数的作用: :参数是间接地建立横、纵坐标参数是间接地建立横、纵坐标x,yx,y之间之间 的关系的中间变量的关系的中间变量, ,起到了桥梁的作用起到了桥梁的作用. . (2)(2)参数方程与普通方程的转化参数方程与普通方程的转化: :曲线的普通方程是相曲线的普通方程是相 对参数方程而言的对参数方程而言的, ,普通方程反映了坐标变量普通方程反映了坐标变量x x与与y y之间之间 的直接联系的直接联系,
8、,而参数方程是通过变数反映坐标变量而参数方程是通过变数反映坐标变量x x与与y y 之间的间接联系之间的间接联系. . 特别提醒特别提醒: :普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同 表达形式表达形式, ,参数方程可以与普通方程进行互化参数方程可以与普通方程进行互化. . 类型一类型一 参数方程的表示与应用参数方程的表示与应用 【典例典例】已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是 (t(t为参为参 数数,aR),aR)点点M(M(- -3,4)3,4)在曲线在曲线C C上上. . (1)(1)求常数求常数a a的值的值. . (2)(2)判断点判断点P
9、(1,0),Q(3,P(1,0),Q(3,- -1)1)是否在曲线是否在曲线C C上上. . 2 x1 2t yat ， ， 【解题探究解题探究】典例中如何求常数的值典例中如何求常数的值? ?如何判断点与曲如何判断点与曲 线的位置关系线的位置关系? ? 提示提示: :为了求常数的值为了求常数的值, ,只需将点只需将点M M的横坐标和纵坐标分的横坐标和纵坐标分 别代入参数方程中的别代入参数方程中的x,y,x,y,消去参数消去参数t,t,求求a a即可即可. .要判断要判断 点与曲线的位置关系点与曲线的位置关系, ,只要将点的坐标代入曲线的参数只要将点的坐标代入曲线的参数 方程检验即可方程检验即可
10、, ,若点的坐标是方程的解若点的坐标是方程的解, ,则点在曲线上则点在曲线上, , 否则否则, ,点不在曲线上点不在曲线上. . 【解析解析】(1)(1)将点将点M(M(- -3,4)3,4)的坐标代入曲线的坐标代入曲线C C的参数方程的参数方程 得得 消去参数消去参数t,t,解得解得a=1.a=1. 2 x1 2t, yat , 2 3 1 2t, 4at , (2)(2)由上述可得由上述可得, ,曲线曲线C C的参数方程是的参数方程是 将点将点(1,0)(1,0)的坐标代入参数方程得的坐标代入参数方程得 得得t=0,t=0, 因此点因此点(1,0)(1,0)在曲线在曲线C C上上. . 将
11、点将点(3,(3,- -1)1)的坐标代入参数方程得的坐标代入参数方程得 方程组无解方程组无解, ,因此点因此点(3,(3,- -1)1)不在曲线不在曲线C C上上. . 2 x1 2t, yt , 2 1 1 2t, 0t , 2 3 1 2t 1t ， ， 【方法技巧方法技巧】点与曲线的位置关系点与曲线的位置关系 (1)(1)动点的轨迹动点的轨迹: :满足某种约束条件的动点的轨迹形成满足某种约束条件的动点的轨迹形成 曲线曲线, ,点与曲线的位置关系有两种点与曲线的位置关系有两种: :点在曲线上点在曲线上, ,点不在点不在 曲线上曲线上. . (2)(2)对于曲线对于曲线C C的普通方程的普
12、通方程f(x,y)=0,f(x,y)=0,若点若点M(xM(x1 1,y,y1 1) )在曲在曲 线上线上, ,则点则点M(xM(x1 1,y,y1 1) )的坐标是方程的坐标是方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解, ,即有即有 f(xf(x1 1,y,y1 1)=0.)=0.若点若点N(xN(x2 2,y,y2 2) )不在曲线上不在曲线上, ,则点则点N(xN(x2 2,y,y2 2) )的的 坐标不是方程坐标不是方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解, ,即有即有f(xf(x2 2,y,y2 2)0.)0. (3)(3)对于曲线对于曲线C C的参数方程的参数方程 (t(t为
13、参数为参数) )若点若点M(xM(x1 1, , y y1 1) )在曲线上在曲线上, ,则则 对应的参数对应的参数t t有解有解, ,否则无解否则无解, , 即参数即参数t t不存在不存在. . xf t , yg t , 1 1 xf t , yg(t) 【变式训练变式训练】已知曲线已知曲线C C的参数方程为的参数方程为 (t(t为为 参数参数).). (1)(1)判断点判断点A(1,0),B(3,2)A(1,0),B(3,2)与曲线与曲线C C的位置关系的位置关系. . (2)(2)若点若点M(10,a)M(10,a)在曲线在曲线C C上上, ,求实数求实数a a的值的值. . 2 xt
14、1, y2t 【解析解析】(1)(1)把点把点A(1,0)A(1,0)的坐标代入方程组的坐标代入方程组, ,解得解得t=0,t=0, 所以点所以点A(1,0)A(1,0)在曲线上在曲线上. . 把点把点B(3,2)B(3,2)的坐标代入方程组的坐标代入方程组, ,得得 即即 故方程组无解故方程组无解, ,所以点所以点B B不在曲线上不在曲线上. . 2 3t1, 22t t2, t1, (2)(2)因为点因为点M(10,a)M(10,a)在曲线在曲线C C上上, ,所以所以 解得解得 所以所以a=a=6.6. 2 10t1, a2t, t3,t3, a6a6. 或 类型二类型二 求曲线的参数方
15、程求曲线的参数方程 【典例典例】长为长为3 3的线段两端点的线段两端点A,BA,B分别在分别在x x轴正半轴和轴正半轴和y y 轴正半轴上滑动轴正半轴上滑动, , 点点P P的轨迹为曲线的轨迹为曲线C.C. (1)(1)以直线以直线ABAB的倾斜角的倾斜角 为参数为参数, ,求曲线求曲线C C的参数方程的参数方程. . (2)(2)求点求点P P到点到点D(0,D(0,- -2)2)距离的最大值距离的最大值. . AB3AP， 【解题探究解题探究】典例中点典例中点P P是线段是线段ABAB的几等分点的几等分点? ?如何建如何建 立点的坐标的参数方程立点的坐标的参数方程? ?如何求距离的最大值如
16、何求距离的最大值? ? 提示提示: :点点P P是线段是线段ABAB的一个三等分点的一个三等分点, ,利用三角函数建立利用三角函数建立 点的坐标的参数方程点的坐标的参数方程. .建立距离的目标函数建立距离的目标函数, ,转化为二转化为二 次函数求最大值次函数求最大值. . 【解析解析】(1)(1)设设P(x,y),P(x,y),由题意由题意, ,得得 所以曲线所以曲线C C的参数方程为的参数方程为 x2cos , ) ysin .2 （ 为参数， 2 xAB cos2cos , 3 1 yAB sinsin , 3 (2)(2)由由(1)(1)得得|PD|PD|2 2=(=(- -2cos)2
17、cos)2 2+(sin+2)+(sin+2)2 2= = 4cos4cos2 2+sin+sin2 2+4sin+4=+4sin+4=- -3sin3sin2 2+4sin+8=+4sin+8= 当当 时时,|PD|,|PD|取得最大值取得最大值 2 228 3(sin). 33 2 sin 3 2 21 . 3 【方法技巧方法技巧】求曲线的参数方程的注意事项求曲线的参数方程的注意事项 (1)(1)求曲线的参数方程关键是确定参数求曲线的参数方程关键是确定参数, ,本题以线段所本题以线段所 在直线的倾斜角为参数在直线的倾斜角为参数, ,通过解直角三角形得到曲线上通过解直角三角形得到曲线上 动点
18、坐标的三角函数方程动点坐标的三角函数方程. . (2)(2)求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立 目标函数目标函数, ,通过配方法求函数的最值通过配方法求函数的最值, ,要注意函数的定要注意函数的定 义域义域. . 【变式训练变式训练】1.1.若若x=tx=t- -1(t1(t为参数为参数),),求直线求直线x+yx+y- -1=01=0的的 参数方程参数方程. . 【解析解析】把把x=tx=t- -1 1代入代入x+yx+y- -1=0,1=0,得得y=y=- -t+2,t+2, 所以直线所以直线x+yx+y- -1=01=0的参数方程为的
19、参数方程为 xt 1 t yt2. ， （ 为参数） 2.2.已知边长为已知边长为a a的等边三角形的等边三角形ABCABC的顶点的顶点A A在在y y轴的非负轴的非负 半轴上移动半轴上移动, ,顶点顶点B B在在x x轴的非负半轴上移动轴的非负半轴上移动, ,求顶点求顶点C C在在 第一象限内的轨迹的参数方程第一象限内的轨迹的参数方程. . 【解析解析】如图如图, ,设设C(x,y),ABO=,C(x,y),ABO=, 过点过点C C作作x x轴的垂线段轴的垂线段CM,CM,垂足为垂足为M.M. 则则 所以所以 （为参数，为参数，0 0 ）为所求）为所求. . 2 CBM, 3 2 xaco
20、s acos(), 3 2 yasin() 3 2 类型三类型三 圆的参数方程与应用圆的参数方程与应用 【典例典例】(2016(2016漳州高二检测漳州高二检测) )已知曲线已知曲线C C1 1: : (t(t为参数为参数),C),C2 2: (: ( 为参数为参数).). (1)(1)化化C C1 1,C,C2 2的方程为普通方程的方程为普通方程, ,并说明它们分别表示什并说明它们分别表示什 么曲线么曲线. . x4 cos t, y3 sin t x8cos , y3sin (2)(2)若若C C1 1上的点上的点P P对应的参数为对应的参数为t= ,Qt= ,Q为为C C2 2上的动点上
21、的动点, , 求求PQPQ中点中点M M到直线到直线C C3 3: : (t(t为参数为参数) )距离的最小值距离的最小值. . 2 x3 2t, y2t 【解题探究解题探究】(1)(1)如何根据参数方程判断曲线的形状如何根据参数方程判断曲线的形状? ? 提示提示: :将参数方程化为普通方程再判断曲线形状将参数方程化为普通方程再判断曲线形状. . (2)(2)如何求点到直线距离的最小值如何求点到直线距离的最小值? ? 提示提示: :利用参数方程化为三角函数的最小值求解利用参数方程化为三角函数的最小值求解. . 【解析解析】(1)(1)由曲线由曲线C C1 1: (t: (t为参数为参数) )
22、得得 利用三角函数的平方和公式消去参数利用三角函数的平方和公式消去参数t,t, 得得C C1 1:(x+4):(x+4)2 2+(y+(y- -3)3)2 2=1,=1, 曲线曲线C C1 1为圆心是为圆心是( (- -4,3),4,3),半径是半径是1 1的圆的圆. . 同理同理, ,得得C C2 2: : 曲线曲线C C2 2为中心是坐标原点为中心是坐标原点, ,焦点焦点 在在x x轴上轴上, ,长半轴长是长半轴长是8,8,短半轴长是短半轴长是3 3的椭圆的椭圆. . x4 cos t, y3 sin t x4cos t, y 3sin t, 22 xy 1 649 ， (2)(2)当当t
23、= t= 时时,P(,P(- -4,4),Q(8cos,3sin),4,4),Q(8cos,3sin), 故故 C C3 3为直线为直线x x- -2y2y- -7=0,7=0, M M到到C C3 3的距离的距离d= |4cosd= |4cos- -3sin3sin- -13|=13|= |5cos(+|5cos(+) )- -13|, 13|, 当当cos(+cos(+)=1)=1时时,d,d取得最小值取得最小值 2 3 M24cos ,2sin . 2 () 5 5 5 5 8 5 . 5 【方法技巧方法技巧】 (1)(1)圆的参数方程中的参数是角圆的参数方程中的参数是角, ,所以圆上的
24、点的坐标所以圆上的点的坐标 是三角函数是三角函数. . (2)(2)与距离有关的最大值或最小值问题与距离有关的最大值或最小值问题, ,常常利用圆的常常利用圆的 参数方程转化为三角函数解决参数方程转化为三角函数解决. . 【变式训练变式训练】 1.(20161.(2016合肥高二检测合肥高二检测) )设曲线设曲线C C的参数方程为的参数方程为 ( ( 为参数为参数),),直线直线l的方程为的方程为x x- -3y+2=0,3y+2=0,则则 曲线曲线C C上到直线上到直线l距离为距离为 的点的个数为的点的个数为 ( ( ) ) A.1A.1 B.2B.2 C.3C.3 D.4D.4 x2 3co
25、s , y1 3sin 7 10 10 【解析解析】选选B.B.曲线曲线C: (C: (为参数为参数) )的普通方的普通方 程为程为(x(x- -2)2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9,=9, 表示圆心表示圆心C(2,C(2,- -1),r=31),r=3的圆的圆, , 由于圆心由于圆心(2,(2,- -1)1)到直线到直线x x- -3y+2=03y+2=0的距离为的距离为 x2 3cos , y1 3sin 2 3 277 10 d, 101010 又又r r- -2d= 2d= 所以所以r r- -d0时时,x=t+ 2;,x=t+ 2; 当当t0t0时时,x= ,x= 所以参数方程化为普通方程为所以参数方程化为普通方程为 y=2(xy=2(x- -2 2或或x2),x2),所以表示两条射线所以表示两条射线. . 1 xt t y2 ， 1 t 11 tt2. tt ()
