1、第二讲 证明不等式的基本方法 一 比 较 法 【自主预习自主预习】 比较法的定义比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两 种种. . (1)(1)作差比较法作差比较法: :要证明要证明ab,ab,只要证明只要证明_;_;要证明要证明 a0,a0,b0,要证明要证明ab,ab,只要证明只要证明 1;1;要证明要证明ba,ba,只要证明只要证明_._.这种证明不等式的方这种证明不等式的方 法法, ,叫做作商比较法叫做作商比较法. . a b b 1 a a a- -b0b0 a a- -bA.ab- -bb- -a a B.aB.a
2、- -bb- -abab C.aC.a- -bbbb- -a a D.abD.ab- -aa- -b b 【解析解析】选选C.C.由由a+b0,b0,ba- -b0,b0,于是于是aa- -bbbb- -a.a. 2.2.设设a,bRa,bR且且a+|b|0 B.aB.a2 2+b+b2 20, 即即a a2 2+12a.+12a. 答案答案: :a a2 2+12a+12a 【知识探究知识探究】 探究点探究点 比较法证明不等式比较法证明不等式 1.1.作差比较法的主要适用类型是什么作差比较法的主要适用类型是什么? ?实质是什么实质是什么? ? 提示提示: :作差比较法适用于具有多项式结构特征
3、的不等式作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式 的证明的证明. .实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为 一个数一个数( (或式子或式子) )与与0 0的大小关系的大小关系. . 2.2.作商比较法主要适用类型是什么作商比较法主要适用类型是什么? ? 提示提示: :作商比较法主要用于积作商比较法主要用于积( (商商) )、幂、幂( (根式根式) )、指数形、指数形 式的不等式证明式的不等式证明. .其证明的一般步骤其证明的一般步骤: :作商作商变形变形( (化化 简简) )判断商值与判断商值与1 1的大小关系的大小关系结论结论. . 【归纳总结归纳
4、总结】 1.1.作差法的依据作差法的依据 若若a,bR,a,bR,则则a a- -b0b0ab;aab;a- -b=0b=0a=b;aa=b;a- -b0,a0,b0,则则 11ab; =1ab; =1a=b; 0,故故 ax+by+czaz+by+cx;ay+bz+cxax+by+czaz+by+cx;ay+bz+cx- -(ay+bx+cz)=b(z(ay+bx+cz)=b(z- -x) x) +c(x+c(x- -z)=(xz)=(x- -z)(cz)(c- -b)c,abc,证明证明:a:a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2aabaab2 2+bc+bc2 2+ca+ca2 2
5、. . 【证明证明】因为因为a a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a a- -abab2 2- -bcbc2 2- -caca2 2=(a=(a2 2b b- -bcbc2 2) ) +(b+(b2 2c c- -abab2 2)+(c)+(c2 2a a- -caca2 2)=b(a)=b(a2 2- -c c2 2)+b)+b2 2(c(c- -a)+ac(ca)+ac(c- -a)=(aa)=(a- - c)(ba+bcc)(ba+bc- -b b2 2- -ac)=(aac)=(a- -c)(ac)(a- -b)(bb)(b- -c).c). 因为因为abc,abc,所以所以
6、a a- -c0,ac0,a- -b0,bb0,b- -c0,c0,所以所以(a(a- -c)(ac)(a- - b)(bb)(b- -c)0,c)0,即即a a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2aabaab2 2+bc+bc2 2+ca+ca2 2. . 类型二类型二 作商比较法作商比较法 【典例典例】设设a0,b0,a0,b0,求证求证:a:aa ab bb b 【解题探究解题探究】由指数函数的性质可知由指数函数的性质可知a,ba,b满足什么条满足什么条 件时件时a ab b1?1? 提示提示: :若若01;若若a1,a1,则则b0b0时时,a,ab b1.1. a b 2 ab.
7、 【证明证明】因为因为a aa ab bb b0, 0,0, 0, 所以所以 所以当所以当a=ba=b时时, ,显然有显然有 =1;=1; 当当ab0ab0时时, , 当当ba0ba0时时, , a b 2 ab （ ） abbaabab 222 a b 2 a ba ab， b ab （ ） ab 2 a b aab 1,0; b2 aab 0 1,0, b2 由指数函数的单调性由指数函数的单调性, ,有有 综上可知综上可知, ,对任意对任意a0,b0,a0,b0,都有都有a aa ab bb b （ ） （ ） ， ab 0 2 aa =1 bb a b 2 ab. 【延伸探究延伸探究】
8、1.1.典例中的条件不变典例中的条件不变, ,试证明试证明:a:ab bb ba a 【证明证明】因为因为a ab bb ba a0, 0,0, 0, 所以所以 所以当所以当a=ba=b时时, ,显然有显然有 =1;=1; a b 2 ab. a b 2 ab （ ） baabbaba 222 a b 2 a ba ab， b ab （ ） ba 2 a b 当当ab0ab0时时, , 当当ba0ba0时时, , 由指数函数的单调性由指数函数的单调性, ,有有 综上可知综上可知, ,对任意对任意a0,b0,a0,b0,都有都有a ab bb ba a ab a 1,0; b2 ab a 0 1
9、,0, b2 （ ）（ ） ， b a 0 2 aa =1 bb a b 2 ab. 2.2.将典例中的条件改为“将典例中的条件改为“abc0”,abc0”,求证求证: : a a2a 2ab b2b2bc c2c2ca ab+c b+cb bc+ac+ac ca+ba+b. . 【证明证明】由由abc0,abc0,得得a ab+c b+cb bc+ac+ac ca+ba+b0,a 0,a2a 2ab b2b2bc c2c2c0. 0. 所证不等式左边除以右边所证不等式左边除以右边, ,得得 =a=aa a- -b ba aa a- -c cb bb b- -c cb bb b- -a ac
10、cc c- -a ac cc c- -b b= = 2a2b2caabb c c b cc aa bbccaab a b ca a b b c c abca a b b c c a ba cb c aab ()( )(). bcc 因为因为ab0,ab0,所以所以 1,a1,a- -b0,b0,所以所以 1.1. 同理同理 1, 1.1, 1. 所以所以 1,1,所以所以a a2a 2ab b2b2bc c2c2ca ab+c b+cb bc+ac+ac ca+ba+b. . a b a b a ( ) b b c b ( ) c a c a ( ) c 2a2b2c b cc aa b a
11、b c abc 【方法技巧方法技巧】作商比较法证明不等式的一般步骤作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)(1)作商作商: :将不等式左右两边的式子进行作商将不等式左右两边的式子进行作商. . (2)(2)变形变形: :化简商式到最简形式化简商式到最简形式. . (3)(3)判断判断: :判断商与判断商与1 1的大小关系的大小关系, ,也就是判断商大于也就是判断商大于1 1或或 小于小于1 1或等于或等于1.1. (4)(4)得出结论得出结论. . 【变式训练变式训练】已知已知a2,a2,求证求证:log:loga a(a(a- -1)2,则则a a- -11,11,所以所以logloga a(a(a- -1)0,1)0, loglog(a+1) (a+1)a0, a0, 由于由于 =log=loga a(a(a- -1)1)logloga a(a+1)(a+1) a a 1 loga 1 loga 2 a aa22 loga1 loga 1loga 1 . 22 因为因为a2,a2,所以所以00,所以所以logloga a(a(a- -1)a,故故cba.cba. 2 13 (a)0. 24
