1、第二课 参数方程 【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】 1.1.参数方程的定义参数方程的定义 在给定的坐标系中在给定的坐标系中, ,如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x,yx,y都都 是某个变数是某个变数t t的函数的函数 并且对于并且对于t t的每一个允的每一个允 许值许值, ,由方程组所确定的点由方程组所确定的点M(x,y)M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, , xf t yg t ， 那么方程组就叫做这条曲线的那么方程组就叫做这条曲线的_,_,联系变数联系变数 x,yx,y的变数的变数t t叫做参变数叫做参变数, ,简称参数简称参数. .参数方程中的参数参数方
2、程中的参数 可以是有物理意义或几何意义的变数可以是有物理意义或几何意义的变数, ,也可以是没有明也可以是没有明 显意义的变数显意义的变数. . 参数方程参数方程 2.2.常见曲线的参数方程常见曲线的参数方程 (1)(1)直线直线. . 直线的标准参数方程即过定点直线的标准参数方程即过定点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0),),倾斜角为倾斜角为 ( ( ) )的直线的直线l的参数方程的标准形式为的参数方程的标准形式为 _(t_(t为参数为参数) ) 2 0 0 xxtcos yytsin . ， (2)(2)圆圆. . 圆圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2的参数方程为的参数方程为
3、_(_( 为参数为参数) ) 圆圆(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2=r=r2 2的参数方程为的参数方程为 _(_( 为参数为参数) ) xrcos yrsin . ， xarcos ybrsin . ， (3)(3)椭圆椭圆. . 中心在原点中心在原点, ,对称轴为坐标轴的椭圆对称轴为坐标轴的椭圆b b2 2x x2 2+a+a2 2y y2 2=a=a2 2b b2 2的参的参 数方程为数方程为_ (_ (为参数为参数) ) xacos ybsin . ， (4)(4)双曲线双曲线. . 中心在原点中心在原点, ,对称轴为坐标轴的双曲线对称轴为坐标轴的双曲线b b
4、2 2x x2 2- -a a2 2y y2 2=a=a2 2b b2 2的的 参数方程为参数方程为_ (_ (为参数为参数) ) xasec ybtan . ， (5)(5)抛物线抛物线. . 抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的参数方程为的参数方程为_ (_ ( 为参为参 数数) )或或_ (t_ (t为参数为参数) ) 2 2p x tan 2p y tan ， 2 x2pt y2pt. ， 【易错警示易错警示】 (1)(1)直线的标准参数方程为直线的标准参数方程为 (t(t为参数为参数) ) 参数参数t t的几何意义的几何意义: :即即t t为有向线段为有向线段
5、的数量的数量, ,并并 注意注意t t的正负值的正负值. . 0 0 xxtcos yytsin ， 0 M M 参数参数t t的几何意义中有如下常用结论的几何意义中有如下常用结论: : (i)(i)若若M M1 1,M,M2 2为直线上任意两点为直线上任意两点:M:M1 1,M,M2 2对应对应t t的值分别为的值分别为 t t1 1,t,t2 2, ,则则|M|M1 1M M2 2|=|t|=|t1 1- -t t2 2|.|. (ii)(ii)若若M M0 0为为M M1 1M M2 2的中点的中点, ,则有则有t t1 1+t+t2 2=0.=0. (iii)(iii)弦弦M M1 1
6、M M2 2的中点为的中点为M,M,则则M M0 0M=tM=tM M= = 12 tt . 2 (2)(2)直线的参数方程的一般式直线的参数方程的一般式 (t(t为参数为参数) )只只 有当有当a a2 2+b+b2 2=1=1且且b0b0时时, ,具有上述几何意义具有上述几何意义( (若若b0时时, , 参数方程参数方程 同样具有上述几何意义同样具有上述几何意义. . 0 0 xxat yybt ， ， 0 0 xxat, yybt 0 22 0 22 a xxt ab b yyt ab ， (3)(3)应用上述公式解题时应用上述公式解题时, ,一定要区分直线的参数方程一定要区分直线的参数
7、方程 是否为标准形式是否为标准形式, ,以免出现错误以免出现错误. . 类型一类型一 参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程 【典例典例1 1】把下列参数方程化成普通方程把下列参数方程化成普通方程: : (1) (1) ( 为参数为参数) ) (2) (t(2) (t为参数为参数,a,b0),a,b0) xcos4sin , y2cossin . tt tt a(ee ) x, 2 b(ee ) y. 2 【解析解析】(1)(1)由由 所以所以5x5x2 2+4xy+17y+4xy+17y2 2- -81=0.81=0. xcos 4sin , y2cos sin 22 y2x sin ,
8、9 x4y cos , 9 y2xx4y ()()1, 99 得 即 (2)(2)由题意由题意, ,得得 所以所以2 2- -2 2得得 所以所以 =1,=1,其中其中x0.x0. tt tt 2x ee , a 2y ee . b 22 22 4x4y 4 ab ， 22 22 xy ab 【方法技巧方法技巧】参数方程化为普通方程的注意事项参数方程化为普通方程的注意事项 (1)(1)在参数方程与普通方程的互化中在参数方程与普通方程的互化中, ,必须使必须使x,yx,y的取值的取值 范围保持一致范围保持一致, ,由参数方程化为普通方程时需要考虑由参数方程化为普通方程时需要考虑x x 的取值范围
9、的取值范围, ,注意参数方程与消去参数后所得的普通方注意参数方程与消去参数后所得的普通方 程同解性的判定程同解性的判定. . (2)(2)消除参数的常用方法有消除参数的常用方法有: :代入消参法代入消参法; ;三角消参三角消参 法法; ;根据参数方程的特征根据参数方程的特征, ,采用特殊的消参手段采用特殊的消参手段. . 【变式训练变式训练】1.1.抛物线抛物线 (t(t为参数为参数) )的准线方程的准线方程 是是 ( ( ) ) A.x=1A.x=1 B.x=B.x=- -1 1 C.y=1C.y=1 D.y=D.y=- -1 1 【解析解析】选选D.D.化参数方程为直角坐标方程化参数方程为
10、直角坐标方程, ,得得x x2 2=4y,=4y,其其 准线方程为准线方程为y=y=- -1.1. 2 x4t y4t ， 2.2.判断方程判断方程 ( ( 是参数且是参数且 (0,(0, ) 表示的曲线的形状表示的曲线的形状. . 1 xsin sin 1 ysin sin ， 【解析解析】两式平方相减得两式平方相减得x x2 2- -y y2 2=4,=4, 因为因为(0,),(0,),所以所以x=sin+ 2,x=sin+ 2, y=siny=sin- - = 0,= 0, 所以方程表示的曲线是等轴双曲线所以方程表示的曲线是等轴双曲线 =1=1的右支在的右支在 x x轴及其下方的部分轴及
11、其下方的部分. . 1 sin 1 sin 2 sin1 sin 22 xy 44 类型二类型二 直线与圆的参数方程的应用直线与圆的参数方程的应用 【典例典例2 2】(2016(2016沈阳高二检测沈阳高二检测) )在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, , 曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为 ( ( 为参数为参数),),在以坐标在以坐标 原点为极点原点为极点,x,x轴正半轴为极轴的极坐标系中轴正半轴为极轴的极坐标系中, ,直线直线l的的 极坐标方程为极坐标方程为 x2 cos ysin ， sin2 2. 4 () (1)(1)求曲线求曲线C C与直线与直线l在该直角坐标系下的普通方
12、程在该直角坐标系下的普通方程. . (2)(2)动点动点A A在曲线在曲线C C上上, ,动点动点B B在直线在直线l上上, ,定点定点P(P(- -1,1),1,1),求求 |PB|+|AB|PB|+|AB|的最小值的最小值. . 【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1消去参数消去参数, ,可得可得 曲线曲线C C的普通方程的普通方程, ,根据根据 即可得直线即可得直线l在该在该 直角坐标系下的普通方程直角坐标系下的普通方程. . (2)(2)作点作点P P关于直线的对称点关于直线的对称点Q,Q,利用利用|PB|+|AB|=|QB|+ |PB
13、|+|AB|=|QB|+ |AB|QC|AB|QC|- -1,1,仅当仅当Q,B,A,CQ,B,A,C四点共线时四点共线时, ,且且A A在在B,CB,C之间之间 时等号成立时等号成立, ,可求得最小值可求得最小值. . xcos , ysin , 【解析解析】(1)(1)由曲线由曲线C C的参数方程的参数方程 可得可得 (x(x- -2)2)2 2+y+y2 2=1,=1, 由直线由直线l l的极坐标方程为的极坐标方程为 可得可得 (sin+cos)=4,(sin+cos)=4,即即x+y=4.x+y=4. x2 cos ysin ， sin2 2. 4 () (2)(2)方法一方法一: :
14、设设P P关于直线关于直线l的对称点为的对称点为Q(a,b),Q(a,b), 故故 所以所以Q(3,5),Q(3,5), 由由(1)(1)知曲线知曲线C C为圆为圆, ,圆心圆心C(2,0),C(2,0),半径半径r=1,r=1, |PB|+|AB|=|QB|+|AB|QC|PB|+|AB|=|QB|+|AB|QC|- -1.1. a 1b 1 4, a3, 22 b 1b5 11 a 1 ， ()， 仅当仅当Q,B,A,CQ,B,A,C四点共线时四点共线时, ,且且A A在在B,CB,C之间时等号成立之间时等号成立, ,故故 (|PB|+|AB|)(|PB|+|AB|)min min= =
15、- -1.1. 26 方法二方法二: :如图如图, ,圆心圆心C C关于直线关于直线l的对称点为的对称点为D(4,2),D(4,2),连接连接 PD,PD,交直线交直线l于点于点B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|- -1=|PB|+|BD| 1=|PB|+|BD| - -1|PD|1|PD|- -1= 1= - -1.1. 26 【延伸探究延伸探究】若本例的条件不变若本例的条件不变, ,圆心为圆心为C,C,如何在直线如何在直线 l上求一点上求一点B,B,使使|PB|+|BC|PB|+|BC|取得最小值取得最小值? ?求出最小值求出最小值. .
16、【解析解析】如典例中的解析图可知如典例中的解析图可知, ,圆心圆心C C关于直线的对关于直线的对 称点为称点为D(4,2),D(4,2),连接连接PD,PD,交直线交直线l于点于点B,|PB|+|BC|= B,|PB|+|BC|= |PB|+|BD|PD|= |PB|+|BD|PD|= 求得求得B B的坐标为的坐标为 26. 7 5 ,. 3 3 () 【方法技巧方法技巧】几何性质在求最大值或最小值中的应用几何性质在求最大值或最小值中的应用 (1)(1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求 法法, ,常常利用对称性以及两点之间线段最短解决常常
17、利用对称性以及两点之间线段最短解决. . (2)(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题, ,常常 常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等. . 【变式训练变式训练】1.(20161.(2016成都高二检测成都高二检测) )已知极坐标的已知极坐标的 极点在直角坐标系的原点极点在直角坐标系的原点O O处处, ,极轴与极轴与x x轴的正半轴重合轴的正半轴重合. . 曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为 ( (为参数为参数),),直线直线l的极坐的极坐 标方程是标方程是 (cos(cos +2sin+2si
18、n )=15.)=15.若点若点P,QP,Q分别是曲线分别是曲线C C 和直线和直线l上的动点上的动点, ,则则P,QP,Q两点之间距离的最小值是两点之间距离的最小值是( ( ) ) x3cos y2sin ， A. 10 B.2 3 C.2 5 D. 21 【解析解析】选选C.C.曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为 ( (为参数为参数) ) 的普通方程为的普通方程为 =1,=1,直线直线l:(cos+2sin)=15:(cos+2sin)=15 的直角坐标方程是的直角坐标方程是x+2yx+2y- -15=0.15=0. 因为点因为点P,QP,Q分别是曲线分别是曲线C C和直线和直线l上的
19、动点上的动点, ,设设P(3cos,P(3cos, 2sin),P2sin),P到直线的距离为到直线的距离为d= d= x3cos y2sin ， 22 xy 94 |3cos4sin15|5sin() 15|10| 2 5. 555 2.(20162.(2016黄石高二检测黄石高二检测) )已知曲线已知曲线C C的极坐标方程是的极坐标方程是 =2sin=2sin , ,直线直线l的参数方程是的参数方程是 (t(t为参数为参数).). (1)(1)将曲线将曲线C C的极坐标方程化为直角坐标方程的极坐标方程化为直角坐标方程. . (2)(2)设直线设直线l与与x x轴的交点是轴的交点是M,NM,
20、N是曲线是曲线C C上一动点上一动点, ,求求|MN|MN| 的最大值的最大值. . 3 xt2, 5 4 yt 5 【解题指南解题指南】(1)(1)利用公式利用公式 将极坐标方程化将极坐标方程化 为直角坐标方程为直角坐标方程. . (2)(2)将直线的参数方程化为普通方程将直线的参数方程化为普通方程, ,利用几何性质计利用几何性质计 算最大值算最大值. . xcos , ysin 【解析解析】(1)(1)曲线曲线C C的极坐标方程可化为的极坐标方程可化为2 2=2sin,=2sin, 又又x x2 2+y+y2 2=2 2,x=cos,y=sin,x=cos,y=sin, 所以曲线所以曲线C
21、 C的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 2+y+y2 2- -2y=0.2y=0. (2)(2)将直线将直线l l的参数方程化为直角坐标方程的参数方程化为直角坐标方程, ,得得y=y=- - (x (x - -2),2),令令y=0,y=0,得得x=2,x=2,即即M M点的坐标为点的坐标为(2,0).(2,0). 又曲线又曲线C C为圆为圆, ,圆圆C C的圆心坐标为的圆心坐标为(0,1),(0,1),半径半径r=1,r=1, 则则|MC|= .|MC|= .所以所以|MN|MC|+r= +1.|MN|MC|+r= +1. 所以所以|MN|MN|的最大值为的最大值为 +1.+1. 4
22、3 55 5 类型三类型三 直线与圆锥曲线的综合题直线与圆锥曲线的综合题 【典例典例3 3】求椭圆求椭圆 =1=1上的点到直线上的点到直线l:x+2y:x+2y- -10=010=0 的最小距离及相应的点的最小距离及相应的点P P的坐标的坐标. . 22 xy 43 【解析解析】设椭圆设椭圆 =1=1上的点上的点P(2cos, sin), P(2cos, sin), P P到直线到直线l:x+2y:x+2y- -10=010=0的距离为的距离为d= d= 当且仅当当且仅当sin(sin( + ) + ) =1=1 22 xy 43 3 |2cos 2 3sin 10| 5 6 |4sin()
23、10| 6 6 , 55 即即= = 时取等号时取等号, ,最小距离为最小距离为 此时点此时点P(2cos , sin )P(2cos , sin )，即即P P 为所求为所求. . 3 6 5 . 5 3 3 3 3 (1, ) 2 【方法技巧方法技巧】椭圆的参数方程以及应用椭圆的参数方程以及应用 长半轴为长半轴为a,a,短半轴为短半轴为b,b,中心在原点的椭圆中心在原点的椭圆 =1 =1 (ab0)(ab0)的参数方程为的参数方程为 ( ( 为参数为参数) )椭圆的参椭圆的参 数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有 着广泛的应用着广泛的
24、应用, ,通常将上述问题转化为三角函数的性质通常将上述问题转化为三角函数的性质 加以解决加以解决. . 22 22 xy ab xacos , ybsin . 【变式训练变式训练】1.(20161.(2016全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, , 圆圆C C的方程为的方程为(x+6)(x+6)2 2+y+y2 2=25.=25. (1)(1)以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x,x轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系, , 求求C C的极坐标方程的极坐标方程. . (2)(2)直线直线l的参数方程是的参数方程是 (t(t为参数为参数),),l与与C C交于
25、交于 A,BA,B两点两点,|AB|= ,|AB|= ,求求l的斜率的斜率. . xtcos , ytsin 10 【解析解析】(1)(1)整理圆的方程得整理圆的方程得x x2 2+y+y2 2+12x+11=0,+12x+11=0, 由由 可知圆可知圆C C的极坐标方程为的极坐标方程为 2 2+12cos+11=0.+12cos+11=0. 222 xy , cosx, siny, (2)(2)由题意可得直线过原点且斜率存在由题意可得直线过原点且斜率存在, , 记直线的斜率为记直线的斜率为k,k,则直线的方程为则直线的方程为kxkx- -y=0,y=0, 由垂径定理及点到直线距离公式知由垂径
26、定理及点到直线距离公式知: : 即即 整理得整理得k k2 2= ,= ,则则k=k= . . 2 2 6k10 25 2 1 k () ， 2 2 36k90 1 k4 ， 5 3 15 3 2.(20162.(2016临汾高二检测临汾高二检测) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,曲曲 线线C C的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) )以坐标原点为以坐标原点为 极点极点,x,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ,直线直线l的极坐的极坐 标方程为标方程为3 3 coscos +2+2 sinsin =12.=12. x4cos t y
27、2 3sin t ， ， (1)(1)求曲线求曲线C C的普通方程和直线的普通方程和直线l的直角坐标方程的直角坐标方程. . (2)(2)若直线若直线l与曲线与曲线C C交于交于A,BA,B两点两点,M,M为曲线为曲线C C与与y y轴负半轴负半 轴的交点轴的交点, ,求四边形求四边形OMABOMAB的面积的面积. . 【解析解析】(1)(1)由由 所以所以 =(cost)=(cost)2 2+(sint)+(sint)2 2=1.=1. 所以曲线所以曲线C C的普通方程为的普通方程为 在在3cos+2sin=123cos+2sin=12中中, ,由由cos=x,sin=cos=x,sin=
28、y y得得3x+2y3x+2y- -12=0.12=0. 所以直线所以直线l l的直角坐标方程为的直角坐标方程为3x+2y3x+2y- -12=0.12=0. x cos t x4cos t 4 y y2 3sin t sin t 2 3 ， ， 得 ， 22 xy ( )() 42 3 22 xy 1. 1612 (2)(2)由由(1)(1)可得可得M(0,M(0,- -2 ),2 ),联立方程联立方程 易得易得A(4,0),B(2,3),A(4,0),B(2,3), 所以四边形所以四边形OMABOMAB的面积为的面积为 4 4(3+2 )=6+4 .(3+2 )=6+4 . 3 22 xy
29、 1 1612 3x2y 120 ， ， 1 2 33 类型四类型四 用参数法求轨迹方程用参数法求轨迹方程 【典例典例4 4】过点过点P(2,4)P(2,4)作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1 1, ,l2 2, ,若若l1 1 交交x x轴于轴于A A点点, ,l2 2交交y y轴于轴于B B点点, ,求线段求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方的轨迹方 程程. . 【解析解析】设设M(x,y),M(x,y),设直线设直线l1 1的方程为的方程为y y- -4=k(x4=k(x- -2),2), (k0)(k0) 由由l1 1l2 2, ,则直线则直线l2 2的方程为的方程为y
30、y- -4=4=- - (x(x- -2),2), 所以所以l1 1与与x x轴交点轴交点A A的坐标为的坐标为 l2 2与与y y轴交点轴交点B B的坐标为的坐标为 1 k 4 (2,0) k ， 2 (0,4) k ， 因为因为M M为为ABAB的中点的中点, ,所以所以 (k(k为参数为参数) ) 消去参数消去参数k,k,得得x+2yx+2y- -5=0.5=0. 另外另外, ,当当k=0k=0时时, ,l1 1与与x x轴无交点轴无交点; ; 当当k k不存在时不存在时,AB,AB中点为中点为M(1,2),M(1,2),满足上述轨迹方程满足上述轨迹方程. . 综上所述综上所述,M,M的
31、轨迹方程为的轨迹方程为x+2yx+2y- -5=0.5=0. 4 2 2 k x1 2k 2 4 1 k y2 2k ， ， 【方法技巧方法技巧】建立参数求动点轨迹方程的方法步骤建立参数求动点轨迹方程的方法步骤 (1)(1)首先根据运动系统的运动规律设参数首先根据运动系统的运动规律设参数, ,然后运用这然后运用这 些参数列式些参数列式, ,再从这些式子中消参再从这些式子中消参, ,最后讨论轨迹的纯最后讨论轨迹的纯 粹性和完备性粹性和完备性. . (2)(2)参数法求轨迹方程的关键是设参数参数法求轨迹方程的关键是设参数, ,参数不同参数不同, ,整个整个 思维和运算过程不同思维和运算过程不同,
32、,若设参数不当若设参数不当, ,则会增大运算量则会增大运算量. . (3)(3)用参数法求解时用参数法求解时, ,一般参数可选用具有某种物理或一般参数可选用具有某种物理或 几何意义的量几何意义的量, ,如时间如时间, ,速度速度, ,距离距离, ,角度角度, ,有向线段的数有向线段的数 量量, ,直线的斜率直线的斜率, ,点的横、纵坐标等点的横、纵坐标等. .也可以没有具体的也可以没有具体的 意义意义, ,选定参变量还要特别注意参数的取值范围选定参变量还要特别注意参数的取值范围. . 【变式训练变式训练】1.1.动圆动圆x x2 2+y+y2 2- -2axcos2axcos - -2bysi
33、n2bysin =0(a,b=0(a,b 是正常数是正常数,ab,ab, 是参数是参数) )的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是 ( ( ) ) A.A.直线直线 B.B.圆圆 C.C.椭圆椭圆 D.D.双曲线双曲线 【解析解析】选选C.C.动圆动圆x x2 2+y+y2 2- -2axcos2axcos - -2bysin2bysin =0(a,b=0(a,b是是 正常数正常数,ab,ab, 是参数是参数) )的圆心坐标的参数方程为的圆心坐标的参数方程为 普通方程为普通方程为 =1(a0,b0,ab),=1(a0,b0,ab),这这 是椭圆的普通方程是椭圆的普通方程. . xacos ybsin ，
34、 ， 22 22 xy ab 2.2.过抛物线过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的顶点的顶点O O作两条互相垂直的弦作两条互相垂直的弦 OA,OB,OA,OB,求弦求弦ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. . 【解析解析】设设M(x,y),M(x,y),直线直线OAOA的斜率为的斜率为k(k0),k(k0), 则直线则直线OBOB的斜率为的斜率为- - . .直线直线OAOA的方程为的方程为y=kx,y=kx, 1 k 2 22 2p x ykx 2p 2p k A(,) 2pkky2px y k ， ， 由解得即， ， 同理可得同理可得B(2pkB(2pk2 2, ,- -2pk).2pk). 由中点坐标公式由中点坐标公式, ,得得 (k(k为参数为参数) ) 消去消去k,k,即得点即得点M M的轨迹方程的轨迹方程y y2 2=p(x=p(x- -2p).2p). 2 2 p xpk k p ypk k ， ，
