1、第三课 柯西不等式、 排序不等式与数学归纳法 【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】 1.1.二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 (1)(1)二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式:_:_ _._. 若若a,b,c,da,b,c,d都是实数都是实数, ,则则 (a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2 (2)(2)柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式:_:_ _._.当且仅当当且仅当 是零向量是零向量, ,或存或存 在实数在实数k,k,使使 =k =k 时时, ,等号成立等号成立. . 设设 是两个向量是两个向量, ,则则
2、| | | | | | | , | | | | (3)(3)二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式: :设设x x1 1,y,y1 1,x,x2 2,y,y2 2R,R,那么那么 _ _ 22 2222 11221212 xyxyxxyy 2.2.一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3, ,a,an n,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3, ,b,bn n是实数是实数, ,则则 _._. 当且仅当当且仅当b bi i=0(i=1,2,=0(i=1,2,n),n)或存在一个数或存在一个数k,k,使得使得a ai i=kb=kbi i (i=
3、1,2,(i=1,2,n),n)时时, ,等号成立等号成立. . (a(a1 12 2+a+a2 22 2+ +a+an n2 2)(b)(b1 12 2+b+b2 22 2+ +b+bn n2 2)(a)(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn n) )2 2 3.3.排序不等式排序不等式 设设a a1 1aa2 2aan n,b,b1 1bb2 2bbn n为两组实数为两组实数, , c c1 1,c,c2 2, ,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2, ,b,bn n的任一排列的任一排列, ,则则 a a1 1b bn n+a+a2 2b bn n
4、- -1 1+ +a+an nb b1 1_ aa1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn n. . a a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+ +a+an nc cn n 4.4.数学归纳法数学归纳法 一般地一般地, ,当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n n0 0的的 所有正整数所有正整数n n都成立时都成立时, ,可以用以下两个步骤可以用以下两个步骤: : (1)(1)证明当证明当_时时, ,命题成立命题成立. . (2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN+ +, ,且且knkn0 0) )时时, ,命题成
5、立命题成立. .证明证明 _时时, ,命题也成立命题也成立. . n=nn=n0 0 n=k+1n=k+1 【易错警示易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误关注数学归纳法应用时常出现的三个错误 (1)(1)对假设设而不用对假设设而不用. . (2)(2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误机械套用数学归纳法中的两个步骤致误. . (3)(3)没有搞清从没有搞清从k k到到k+1k+1的跨度的跨度. . 1 1- - . . 类型一类型一 利用柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证明不等式 【典例典例1 1】若若n n是不小于是不小于2 2的正整数的正整数, ,求证求证: : 4 7 11
6、111 . 2342n 12n 2 2 【证明证明】1 1- - 所以求证式等价于所以求证式等价于 n2 2, , 于是于是 = = = = = . = . 111 (.) n 1n22n 111 . n 1n22n 2 n (n 1) (n2) . (2n) 2n 3n 1 2 1 3 n 2 1 3 2 4 7 1 1- - . . 又由柯西不等式又由柯西不等式, ,有有 所以所以 111 . n 1n22n 222 222 111 (11. 1 ). (n 1)(n2)(2n) 11 n() n2n 2 . 2 4 7 11111 . 2342n 12n 2 2 【方法技巧方法技巧】利用
7、柯西不等式证题的技巧利用柯西不等式证题的技巧 (1)(1)柯西不等式的一般形式为柯西不等式的一般形式为(a(a1 12 2+a+a2 22 2+a+an n2 2)(b)(b1 12 2+ + b b2 22 2+b+bn n2 2) (a) (a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n) )2 2(a(ai i,b,bi iR,i=1,R,i=1, 2,n),2,n),形式简洁、美观、对称性强形式简洁、美观、对称性强, ,灵活地运用柯西灵活地运用柯西 不等式不等式, ,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃 而解而解.
8、. (2)(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组 数数, ,并向着柯西不等式的形式进行转化并向着柯西不等式的形式进行转化, ,运用时要注意运用时要注意 体会体会. . 【变式训练变式训练】1.1.设设a,b,ca,b,c为正实数为正实数, ,且且a+b+c=3,a+b+c=3,求证求证: : 2a 12b 12c 13 3. 【解题指南解题指南】利用柯西不等式的向量形式利用柯西不等式的向量形式, ,目标式的左目标式的左 边应是两个向量的数量积边应是两个向量的数量积. .由于变量由于变量a,b,ca,b,c的系数都相的系数都相 等等, ,由
9、整体性可构造向量由整体性可构造向量m=( ),=( ), n=(1,1,1),=(1,1,1),利用利用| |mn|m|n| |可得证可得证. . 2a 12b 12c 1， 【证明证明】令令m=( ),=( ),n=(1,1,1),=(1,1,1),则则 m n= = 而而| |m|= |= 又又| |n|= ,|= ,由由| |m n|m|n|,|,得得 所以所以 当且仅当当且仅当a=b=c=1a=b=c=1时时, ,等号成立等号成立. . 2a 12b 12c 1， 2a 12b 12c 1. 2a 12b 1(2c 1)2 abc33. 3 2a 12b 12c 13 3. 2.2.已
10、知正数已知正数x,y,zx,y,z满足满足5x+4y+3z=10.5x+4y+3z=10. (1)(1)求证求证: : (2)(2)求求 的最小值的最小值. . 222 25x16y9z 5. 4y3z3z5x5x4y 222 xyz 99 【解析解析】(1)(1)根据柯西不等式根据柯西不等式, ,得得 (4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y) (5x+4y+3z)(5x+4y+3z)2 2, , 因为因为5x+4y+3z=10,5x+4y+3z=10, 所以所以 222 25x16y9z () 4y3z3z5x5x4y 2222 25x16
11、y9z10 5. 4y3z3z5x5x4y20 (2)(2)根据基本不等式根据基本不等式, ,得得 当且仅当当且仅当x x2 2=y=y2 2+z+z2 2时时, ,等号成立等号成立. . 根据柯西不等式根据柯西不等式, ,得得 (x(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)(5)(52 2+4+42 2+3+32 2)(5x+4y+3z)(5x+4y+3z)2 2=100,=100, 即即x x2 2+y+y2 2+z+z2 22,2,当且仅当当且仅当 时时, ,等号成立等号成立. . 综上综上, 2, 23 32 2=18.=18. 222222222 xyzxyzxyz 992 992 3
12、, xyz1 5435 222 xyz 99 类型二类型二 利用排序不等式证明不等式利用排序不等式证明不等式 【典例典例2 2】设设A,B,CA,B,C表示表示ABCABC的三个内角的弧度的三个内角的弧度 数数,a,b,c,a,b,c表示其对边表示其对边, ,求证求证: : aAbB cC abc . 3 【证明证明】方法一方法一: :不妨设不妨设ABC,ABC,则有则有abcabc 由排序原理由排序原理: :顺序和顺序和乱序和乱序和 所以所以aA+bB+cCaB+bC+cAaA+bB+cCaB+bC+cA aA+bB+cCaC+bA+cBaA+bB+cCaC+bA+cB aA+bB+cC=a
13、A+bB+cCaA+bB+cC=aA+bB+cC 上述三式相加得上述三式相加得 3(aA+bB+cC)(A+B+C)(a+b+c)=(a+b+c)3(aA+bB+cC)(A+B+C)(a+b+c)=(a+b+c) 所以所以 aAbB cC abc . 3 方法二方法二: :不妨设不妨设ABC,ABC,则有则有abc,abc, 由排序不等式由排序不等式 即即aA+bB+cC (a+b+c),aA+bB+cC (a+b+c), 所以所以 aAbB cCAB C abc 333 ， 3 aAbB cC abc . 3 【延伸探究延伸探究】在本例条件下在本例条件下, ,你能证明你能证明 吗吗? ? aAbB cC abc 2 【证明证明】能能. .由由00, 11 . k 1kk 1 k2 k 1 k2k 1k. 2 2 k 1 k2k 1k k k 1 k k 1k k 1 于是有于是有 成立成立. . 所以当所以当n=k+1n=k+1时时, ,原不等式也成立原不等式也成立. . 由由(1),(2)(1),(2)可知可知, ,当当nNnN+ +时时, ,原不等式都成立原不等式都成立. . k 1 k2k 1k
