1、2.2.2 反证法,自主学习 新知突破,1了解反证法是间接证明的一种方法 2理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数学问题,1问题 A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎则C必定是在撒谎，为什么？ 提示 假设C没有撒谎，则C真那么A假且B假；由A假，知B真这与B假矛盾那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎,2已知正整数a，b，c满足a2b2c2，求证：a，b，c不可能都是奇数 问题1 你能利用综合法和分析法证明该问题吗？ 提示1 不能 问题2 a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？ 提示2 都是奇数,假设原命题_，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明
2、了_，这种证明方法叫做反证法,定义,不成立,假设错误,原命题成立,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_矛盾，或与_矛盾，或与_、公理、定理、事实矛盾等,反证法常见的矛盾类型,已知条件,假设,定义,反证法的实质及注意事项 (1)反证法的实质 反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真 (2)注意事项 用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义 反证法的“归谬”要合理,1应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( ) 结论相反判断，即
3、假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论 A B C D 解析： 由反证法定义可知正确 答案： C,2用反证法证明命题：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( ) Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除 Ca，b不都能被5整除 Da不能被5整除 解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b 都不能被5整除” 答案： B,3用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误 所以一个三角形不能有两个直角 假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90. 上述步骤的
4、正确顺序为_ 解析： 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为. 答案： ,合作探究 课堂互动,用反证法证明否(肯)定式命题,平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 思路点拨,1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法 2用反证法证明问题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾 (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,用反证法证明唯一性问题,已知a与b是异面直线求证：过a且平行于b的平面只有一个 思路点拨 这是一个唯一性
5、问题，直接证明较困难，宜用反证法,如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为和，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面，且与，分别交于过点A的直线c，d，由b，知bc，同理bd，故cd，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立,用反证法证明唯一性命题的适用类型 (1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了 (2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有
6、全面扎实的基础知识，灵活运用 特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题,2已知：一点A和平面. 求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直 证明： 根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明 (1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.,因为AB平面，AC平面， a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾,所以ABBC，ACBC. 在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直
7、，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上，经过一点A只能有一条直线和平面垂直,用反证法证明“至多”“至少”存在性问题,已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 思路点拨 结论中有词语“至少”，宜采用反证法，注意“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”,所以ABBC，ACBC. 在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 综上，经过一点A只能有一条直线和平面垂直,1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法 2常见的“结论词”与“反设词”,用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为_ 【错解】 a，b不都是偶数,【错因】 应用反证法时，假设错误 a，b不都是偶数包括的情况有： a是偶数，b是奇数；a是奇数，b是偶数；a是奇数，b是奇数 注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数” 【正解】 a，b不都是奇数,高效测评 知能提升,谢谢观看！,
