1、1.3.2 函数的极值与导数,自主学习 新知突破,1了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用 2掌握函数极值的判定及求法 3掌握函数在某一点取得极值的条件 4增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力,已知yf(x)的图象(如图) 问题1 当xa时，函数值f(a)有何特点？ 提示1 在xa的附近，f(a)最小， f(a)并不一定是yf(x)的最小值,问题2 试分析在xa的附近导数的符号 提示2 在xa附近的左侧，曲线的切线斜率小于零，即f(x)0. 问题3 f(a)值是什么？ 提示3 f(a)0.,若函数yf(x)在点xa的函
2、数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)_；而且在点xa附近的左侧_，右侧_，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值,极小值点与极小值,0,f(x)0,f(x)0,若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其它点的函数值都大，f(b)_；而且在点xb附近的左侧_ ，右侧_，就把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值,极大值点与极大值,0,f(x)0,f(x)0,1对函数极值概念的理解 (1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况 (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点
3、处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点 (3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小,求函数yf(x)的极值的方法是： 解方程f(x)0，当f(x0)0时 (1)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么，f(x0)是极大值 (2)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么，f(x0)是极小值,函数极值的求法,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不
4、一定是极值点 (2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点 (3)导数为0是极值点：yx2，y(0)0，x0是极小值点,1下图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，给出下列命题：,3是函数yf(x)的极值点； 1是函数yf(x)的最小值点； yf(x)在x0处切线的斜率小于零； yf(x)在区间(3,1)上单调递增 则正确命题的序号是( ) A B C D,解析： 由导函数图象知函数f(x)在(，3)上单调递减，(3，)上单调递增，f(3)0，f(0)0，x3是函数f(x)的极值点，正确 答案： B,2函数y(x21)31的极值点是( ) A极大值点x1 B极大值点x0 C极小值点x0 D
5、极小值点x1 解析： y6x(x21)20有三个根，x11，x20，x31，由解y0得x0；由解y0得x0，只有x0是极小值点，故选C. 答案： C,3函数f(x)x33x21的极小值点为_ 解析： 由f(x)3x26x0， 解得x0或x2. 列表如下： 当x2时，f(x)取得极小值 答案： x2,合作探究 课堂互动,求函数的极值,求下列函数的极值： 思路点拨 先确定函数定义域，然后正确求导，再解方程f(x)0，列表分析，求出函数的极值,(1)函数的定义域为R. f(x)x22x3(x1)(x3) 令f(x)0，得x11，x23. 由此可知当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：,
6、当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表： 故当x3时函数取得极小值，且f(3)22.,1.求可导函数f(x)极值的步骤： (1)求函数的导数f(x)； (2)令f(x)0，求出全部的根x0； (3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内； (4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值 2注意事项： (1)不要忽略函数的定义域； (2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点,1求下列函数的极值： (1)f(x)x312x； (2)f(x)x2ex. 解析： (1)函数f(x)的定义域为R. f(x)3x2123(x2)(x2) 令f(x)0，得x2或x2.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 从表中可以看出，当x2时，函数f(x)有极大值， 且f(2)(2)312(2)16； 当x2时，函数f(x)有极小值， 且f(2)2312216.,(2)函数f(x)的定义域为R. f(x)2xexx2ex(x)2xexx2ex x(2x)ex. 令f(x)0，得x0或x2.,
