1、1.1.2 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用,自主学习 新知突破,1进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题,现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组，若推选两人做小组组长，这两人需来自不同的班级 问题 有多少种不同的选法？,提示 分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中
2、各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法，所以共有不同的选法N787971089810910431(种),两个计数原理在解决计数问题中的方法,1分类要做到“_”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数 2分步要做到“_”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数,应用两个计数原理应注意的问题,不重不漏,步骤完整,两个计数原理的使用方法 (1)合理分类，准确分步 处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”
3、，接下来要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)也就是要确定一个合理的分类标准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性,(2)特殊优先，一般在后 解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想 (3)分类讨论，数形结合，转化与化归 分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计数问题的基本思想 数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象为具体，化陌
4、生为熟悉，化未知为已知的重要思想方法，对解决计数问题至关重要,解析： 由分步乘法计数原理得55555556. 答案： A,2(2015郑州高二检测)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A30种 B35种 C42种 D48种,解析： 选3门课程，要求A，B两类至少各选1门，可分为两种情况，一类是A类选修2门，B类选修1门，共有3412种选法；另一类是A类选修1门，B类选修2门，共有3618种选法根据分类加法计数原理可得符合条件的选法共有121830(种) 答案： A,3编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示五个
5、盒子中要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1,2号，B必须放在与A相邻的盒子中则不同的放法有_,解析： 以小球A放的盒为分类标准，共分为三类：第一类，当小球放在4号盒内时，不同的放法有3216(种)；第二类，当小球放在3号盒内时，不同的放法有332118(种)；第三类，当小球放在5号盒内时，不同的放法有3216(种)综上所述，不同的放法有618630(种) 答案： 30种,4由数字1,2,3,4 (1)可组成多少个3位数； (2)可组成多少个没有重复数字的3位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字,解析： (1)百位数共有4种选法；十位数共
6、有4种选法；个位数共有4种选法，根据分步乘法计数原理知共可组成4364个3位数 (2)百位上共有4种选法；十位上共有3种选法；个位上共有2种选法，由分步乘法计数原理知共可组成没有重复数字的3位数43224(个) (3)组成的三位数分别是432,431,421,321共4个.,合作探究 课堂互动,组数问题,有0,1,2，8这9个数字 (1)用这9个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？ (2)用这9个数字组成四位的密码，共有多少个不同的密码？ 思路点拨 四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0.,(1)题中未强调四位数的各位数字不重复，故只需强调首位不为0，依次确定千、百、十、个位，各有8,
7、9,9,9种方法 所以共能组成8935 832个不同的四位数 (2)与(1)的区别在于首位可为0. 所以共能组成946 561个不同的四位密码,规律方法 对于组数问题的计数：一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数,1(1)用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位密码？四位数？ (2)从1到200的这200个自然数中，每个位数上都不含数字8的共有多少个？,解析： (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边
8、第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N5432120个,完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法由分步乘法计数原理，可以组成不
9、同的四位数共有N443296个,(2)本题应分3类来解决： 第1类，一位数中，除8以外符合要求的数有8个； 第2类，两位数中，十位数除0,8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故两位数中符合要求的数有8972个； 第3类，三位数中， 百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有9981个；,百位数为2的数只有200这一个符合要求 故三位数中符合要求的数有81182个 由分类加法计数原理知，符合要求的数字共有87282162个,种植与涂色问题,用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边
10、界)的区域不用同一颜色,(1)若n6，则为甲图着色时共有多少种不同的方法； (2)若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.,思路点拨,解析： (1)对区域A，B，C，D按顺序着色，为A着色有6种方法，为B着色有5种方法，为C着色有4种方法，为D着色有4种方法，由分步乘法计数原理，共有着色方法6544480(种) (2)对区域A，B，C，D按顺序着色，为A着色有n种方法，为B着色有n1种方法，为C着色有n2种方法，为D着色有n3种方法，,利用分步乘法计数原理，不同的着色方法数是： n(n1)(n2)(n3)120， 解得(n23n)(n23n2)120. 即(n23n)22(n23n)1200
11、. (n23n10)(n23n12)0. n23n100或n23n120(舍去)， 解得n5或n2(舍去)， 故n5.,规律方法 本题是一个涂色问题，是计数问题中的一个难点求解时要注意以下两点：一要考察全面；二要注意策略如上述解法把A，D作为讨论区域，求解时优先考察这两个区域,2.如图有4个编号为1、2、3、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻(有公共边界)的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？,解析： 分为两类： 第一类：若1、3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法 故N1541480种 第二类：若1
12、、3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法 故N25433180种 综上可知不同的涂法共有NN1N280180260种,两个计数原理的综合应用,假设在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 思路点拨 因有两人既会下象棋又会下围棋，在选两人时要分类讨论,规律方法 应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时分步必须做到各步均是完
13、成事件必须的、缺一不可的步骤,3(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数是多少？ (2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凹数(如102,323,756等)，那么所有凹数个数是多少？,解析： (1)分8类：当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1、0，由分步乘法计数原理，有122个； 当中间数为3时，百位可选1、2，个位可选0、1、2，由分步乘法计数原理，有236个；同理可得： 当中间数为4时，有3412个； 当中间数为5时，有4520个； 当中间数为6时
14、，有5630个； 当中间数为7时，有6742个； 当中间数为8时，有7856个； 当中间数为9时，有8972个； 故共有26122030425672240个,(2)分8类：当中间数为0时，百位可选19，个位可选19，由分步乘法计数原理，有9981个；当中间数为1时，百位可选29，个位可选29，由分步乘法计数原理，有8864个；同理可得： 当中间数为2时，有7749个； 当中间数为3时，有6636个； 当中间数为4时，有5525个；,当中间数为5时，有4416个； 当中间数为6时，有339个； 当中间数为7时，有224个； 当中间数为8时，有111个； 故共有816449362516941285
15、个,有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？,【错解】 第一步，种植A试验田有4种方法； 第二步，种植B试验田有3种方法； 第三步，种植C试验田有3种方法； 第四步，种植D试验田有2种方法； 由分步乘法计数原理知，共有N433272种种植方法 提示 若按A，B，C，D的顺序依次种植作物，会导致D试验田的种植数受C试验田的影响，情况复杂实际上种植C，D两块试验田再作为一步，用分类加法计数原理求解,【正解】 方法一：第一步，第二步与错解相同 第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有
16、3种方法，此时有133种种植方法 若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有224种种植方法 由分类加法计数原理知，有347种方法 第四步，由分步乘法计数原理有N43784种不同的种植方法,方法二：(1)若A，D种植同种作物，则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有43336种种植方法 (2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有432248种种植方法 综上所述，由分类加法计数原理，共有N364884种种植方法.,谢谢观看！,
