1、正弦定理 正弦定理 1.1.1 正弦定理 在在RtABC中中,各角与其对边各角与其对边(角角A的对边一的对边一 般记为般记为a，其余类似，其余类似)的关系的关系: c a A sin c b B sin 1sinC 不难得到: C c B b A a sinsinsin C B A a b c c c 在非直角三角形在非直角三角形ABCABC中有这样的关系吗中有这样的关系吗? ? A c b a C B b AD c AD CBsin,sin 所以AD=csinB=bsinC, 即 , sinsinC c B b 同理可得 , sinsinC c A a abc . sinAsinBsinC
2、即： D A c b C B 图1 过点A作ADBC于D, 此时有 若三角形是锐角三角形若三角形是锐角三角形, 如图如图1, CC b AD sinsin ）（且 C c B b A a sinsinsin 仿(2)可得 D 若三角形是钝角三角形若三角形是钝角三角形,且角且角C是钝角如图是钝角如图2, 此时也有 c AD B sin 交BC延长线于D, 过点A作ADBC， C A c b B 图2 正弦定理: C c B b A a sinsinsin 即 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？ （R为
3、为ABC外接圆半径）外接圆半径） 另证1: R C c B b A a 2 sinsinsin 证明：证明： O C c b a C B A BAC90 ,CC c sinCsinC 2R c 2R sinC R C c B b A a R B b R A a 2 sinsinsin 2 sin ,2 sin 同理 作外接圆O, 过B作直径BC,连接AC, 另证2: 证明： BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 B A C D a b c aABC ahS 2 1 而 CbBcADh a sinsin CabBacS ABC sin 2 1 sin 2
4、1 同理 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ha AbcS ABC sin 2 1 剖析定理、加深理解 1.1.正弦定理可以解决三角形中的问题：正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理：正弦定理： 剖析定理、加深理解 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理：正弦定理： 2.A+B+C=2.A+
5、B+C= 3.3.大角对大边，大边对大角大角对大边，大边对大角 剖析定理、加深理解 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理：正弦定理： 4.4.一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C 和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元 素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫做的过程叫做解三角形。解三角形。 剖析定理、加深理解 R C c B b A a 2 sinsinsin 正弦定理：正弦定理： 5.5.正弦定理的变形形式正弦定理的变形形式 6.6.正弦定理正弦定理，可以用来
6、判断三角形的形，可以用来判断三角形的形 状，其主要功能是实现三角形边角关系状，其主要功能是实现三角形边角关系 的转化的转化 正弦定理的应用一： 例例 1.1.在在ABC ABC 中，已知中，已知c = 10, A c = 10, A = 45= 45。 。, C = 30 , C = 30。 。， ，解三角形解三角形 ( (精确到精确到 0.010.01）. . 已知两角和任意边，已知两角和任意边， 求其他两边和一角求其他两边和一角 B A C a b c B105 ,A10 2,B5( 62) . 例 2. 已知a=16， b= ， A=30 . 解三角形. 已知两边和其中一边已知两边和其中
7、一边 的对角的对角,求其他边和角求其他边和角 解：由正弦定理 B b A a sinsin 得 2 3 16 30sin316sin sin a Ab B 所以 60, 或120 当 时 60 C=90 .32c C=30 .16 sin sin A Ca c 316 当120时 B 16 30 A B C 16 3 16 变式: a=30, b=26, A=30，解三角形. 30 A B C 26 30 解：由正弦定理 B b A a sinsin 得 30 13 30 30sin26sin sin a Ab B 所以 =25.7, 或18025.7=154.3 由于154.3+30180
8、故B只有一解（如图） C=124.3, asinC c49.57. sinA 变式: a=30, b=26, A=30，解三角形. 30 A B C 26 30 解：由正弦定理 B b A a sinsin 得 30 13 30 30sin26sin sin a Ab B 所以 25.7, C=124.3, asinC c49.57. sinA a b A B , 三角形中大边对大角 课堂小结课堂小结 （1）三角形常用公式：）三角形常用公式： （2）正弦定理的应用）正弦定理的应用 正弦定理：正弦定理： ABC 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB sinsinsin
9、 abc ABC 2R 课后作业课后作业 P10 习题习题1.1A组组 1， 2（1）（）（2） 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角求其他边和角 根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30. A=90，C=60，c= 313 (2) b=40，c=20，C=45. 练习 注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解 无解 课堂小结 （2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况) (1)正弦定理： =2 sinsinsin abc R ABC 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中
10、一边的对角, ,求其求其 他边和角时他边和角时, ,三角形三角形什么情况下有什么情况下有 一解一解, ,二解二解, ,无解无解? ? 课后思考课后思考 例：在例：在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45， 求求B和和c。 22 变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。 22 变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。 22 3 3 4 正弦定理应用二：正弦定理应用二： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进 而可求其他的边和角而可求其他的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可能有两解） 3练习练习2.在在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B（ ） A. B. C. D. 3 6 6 5 3 3 2 6 或或 或或 练习练习3.在在ABC中，中， ，则，则ABC的形状是（的形状是（ ） A.等腰三角形等腰三角形 B.直角三角形直角三角形 C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 A b B a coscos 练习练习1、在、在ABC中，若中，若A:B:C=1:2:3，则，则 a:b:c ( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C.1: :2 D.2: :1 33 自我提高！自我提高！
