1、第2课时 数列的通项公式与递推公式 1.1.会根据数列的通项公式，解决简单的数列问题会根据数列的通项公式，解决简单的数列问题. . 2.2.体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出 数列的前几项数列的前几项. . 3.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法. . 数列的递推公式数列的递推公式 如果已知数列如果已知数列aan n 的第的第1 1项项( (或前几项或前几项) )，且从第，且从第2 2项项( (或某一项或某一项) ) 开始的任一项开始的任一项a an n与它的前一项与它的前一
2、项_(_(或前几项或前几项)(n2)(n2，nNnN* *) ) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式数列的递推公式. . a an n- -1 1 1.1.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1=1，a an n=2a=2an n- -1 1+1(n2)+1(n2)，则，则a a5 5=(=( ) ) A.7A.7 B.15B.15 C.20C.20 D.31D.31 【解析解析】选选D.D.因为因为a a1 1=1=1，a an n=2a=2an n- -1 1+1(n2)+1(n2)，所以，
3、所以a a2 2=3=3，a a3 3=7=7， a a4 4=15=15，所以，所以a a5 5=2a=2a4 4+1=31.+1=31. 2.2.数列数列aan n 中，中，a a1 1= =- -1 1，a an+1 n+1=a =an n- -2 2，则，则a a3 3= = . . 【解析解析】因因a a1 1= =- -1 1，a an+1 n+1=a =an n- -2.2. 所以所以a a2 2= =- -1 1- -2=2=- -3 3，a a3 3=a=a2 2- -2=2=- -3 3- -2=2=- -5.5. 答案：答案：- -5 5 3.3.数列数列aan n 中中
4、a a1 1=3=3，a an+1 n+1=a =an n+4+4，则它的第，则它的第5 5项是项是 . . 【解析解析】a a1 1=3=3，a an+1 n+1=a =an n+4+4，则，则a a2 2=7=7，a a3 3=11=11，a a4 4=15=15，a a5 5=19.=19. 答案：答案：1919 数列的递推公式数列的递推公式 已知一个数列的首项为已知一个数列的首项为a a1 1=a=a，从第二项起每一项都等于它的前，从第二项起每一项都等于它的前 一项的一项的b b倍再加倍再加c c，即，即a an n=ba=ban n- -1 1+c+c，该式子体现了相邻两项之间，该式
5、子体现了相邻两项之间 的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题： 探究探究1 1：根据数列的递推公式如何求数列中的项？：根据数列的递推公式如何求数列中的项？ 提示：提示：根据数列的递推公式，只需将初始值代入递推公式，就根据数列的递推公式，只需将初始值代入递推公式，就 可依次求出数列中的其他项可依次求出数列中的其他项. . 探究探究2 2：若仅由数列：若仅由数列aan n 的递推关系的递推关系a an n=ba=ban n- -1 1+c(n2+c(n2，nNnN* *) )， 能否确定数列能否确定数列aan n 的每一项？的
6、每一项？ 提示：提示：仅由数列仅由数列aan n 的递推关系的递推关系a an n=ba=ban n- -1 1+c(n+c(n2 2，n nN N* *) )，只，只 能确定数列能确定数列aan n 中相邻两项之间的关系，而无法确定数列中的中相邻两项之间的关系，而无法确定数列中的 每一项每一项. .而要想确定数列中的每一项，还需知道数列的第一项而要想确定数列中的每一项，还需知道数列的第一项 或前几项或前几项. . 探究探究3 3：数列的通项公式和递推公式能否互相转化？：数列的通项公式和递推公式能否互相转化？ 提示：提示：数列的通项公式和递推公式一般可以相互转化数列的通项公式和递推公式一般可以
7、相互转化. .但有些但有些 递推公式求不出通项公式，故数列的通项公式和递推公式并不递推公式求不出通项公式，故数列的通项公式和递推公式并不 一定能互相转化一定能互相转化. . 【探究总结探究总结】数列递推公式与通项公式的区别与联系数列递推公式与通项公式的区别与联系 区别区别 联系联系 通项通项 公式公式 项项a an n是序号是序号n n的函数式的函数式 a an n=f(n)=f(n) 都是数列的一种都是数列的一种 表示方法表示方法 递推递推 公式公式 项项a an n与数列的其他项或多与数列的其他项或多 项的关系式项的关系式 类型一类型一 数列通项公式的应用数列通项公式的应用 1.1.数列数
8、列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=3n=3n2 2- -28n28n，则数列，则数列aan n 各项中最小各项中最小 项是项是( ( ) ) A.A.第第4 4项项 B.B.第第5 5项项 C.C.第第6 6项项 D.D.第第7 7项项 2.2.数列数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=n=n2 2- -5n+4(nN5n+4(nN* *) )，问：，问： (1)(1)数列中有多少项为负数？数列中有多少项为负数？ (2)n(2)n为何值时，为何值时，a an n有最小值？并求出最小值有最小值？并求出最小值. . 【解题指南解题指南】1.1.用函数的观点看待通项
9、公式，是开口向上的抛用函数的观点看待通项公式，是开口向上的抛 物线，越接近对称轴的函数值越小物线，越接近对称轴的函数值越小. . 2.2.数列的通项公式数列的通项公式a an n与与n n是函数关系，本题为二次式，需结合是函数关系，本题为二次式，需结合 二次函数知识探求，当然不能忘记二次函数知识探求，当然不能忘记n n的取值范围的取值范围. . 【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.由由a an n=3n=3n2 2- -28n= 28n= 又又n n为正整数，故当为正整数，故当n=5n=5时时a an n取最小值取最小值. . 2.(1)2.(1)由由a an n为负数，得为负数，得n n
10、2 2- -5n+41)求出最大项是第几求出最大项是第几 项；通过项；通过 (nN(nN* *，n1)n1)求出最小项是第几项求出最小项是第几项. . nn 1 nn 1 aa aa ， nn 1 nn 1 aa aa ， 【变式训练变式训练】已知数列已知数列aan n 的通项公式为的通项公式为 则当则当a an n取得最大值时，取得最大值时，n n等于等于 . . 【解析解析】由题意知由题意知 所以所以 解得解得 所以所以n=5n=5或或6.6. 答案：答案：5 5或或6 6 n n 7 an2 ( ) 8 ， nn 1 nn 1 aa aa ， ， nn 1 nn 1 77 n2 ( )n
11、 1 ( ) 88 77 n2 ( )n3 ( ). 88 ， n6 n5. ， 类型二类型二 由递推公式求数列的项由递推公式求数列的项 1.1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5 5项项 为为 . . 2.2.数列数列aan n 中，中，a a1 1=1=1，对所有的，对所有的n2n2都有都有a a1 1a a2 2a a3 3 a an n=n=n2 2，则，则a a3 3+a+a5 5等于等于( ( ) ) A.A. B.B. C.C. D.D. 3.3.已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1=1，a an+3 n+3
12、a an n+3+3，a an+2 n+2a an n+2+2，求，求a a2013 2013. . 61 16 25 9 25 19 31 15 【解题指南解题指南】1.1.阅读框图，得到递推公式，求出前阅读框图，得到递推公式，求出前5 5项项. . 2.2.根据已知，写出根据已知，写出a a1 1a a2 2a an n- -1 1=(n=(n- -1)1)2 2，可以求出，可以求出a an. n. 3.3.利用递推关系推导利用递推关系推导2013a2013a2013 20132013. 2013. 【自主解答自主解答】1.1.根据框图，数列的递推公式为根据框图，数列的递推公式为 数列的前
13、数列的前5 5项依次为：项依次为：1 1， 答案：答案：1 1， n 1 n n 1 1 a2 a 2a 3 (2 n10 nN*) a1 ， ， ， 3 13 55 233 . 5 21 89 377 ， ， ， 3 13 55 233 5 21 89 377 ， ， ， 2.2.选选A.A.因为因为a a1 1a a2 2a an n=n=n2 2， 所以所以a a1 1a a2 2a an n- -1 1=(n=(n- -1)1)2 2， 所以所以a an n= (n2)= (n2)， 所以所以 所以所以 2 n () n 1 35 925 aa. 416 ， 35 61 aa. 16
14、3.3.由由a an+2 n+2a an n+2+2得得 a a2013 2013a a2011 2011+2a +2a2009 2009+2 +222aa1 1+2+21006=20131006=2013， 由由a an+2 n+2a an n+2+2得得a an naan+2 n+2- -2 2， ， 又又a an+3 n+3a an n+3+3得得a an+3 n+3a an n+3a+3an+2 n+2+1 +1，于是，于是 a a2013 2013a a2012 2012+1a +1a2011 2011+2 +21a1a2010 2010+3 +31a1a2009 2009+4 +4
15、11aa1 1+20+20 12121=20131=2013，所以，所以a a2013 2013=2013. =2013. 【规律总结规律总结】已知递推公式求数列的项的方法已知递推公式求数列的项的方法 根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚公式中各根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚公式中各 部分的关系，依次代入计算即可部分的关系，依次代入计算即可. .若数列前几项各项间规律明若数列前几项各项间规律明 显，可归纳出一个通项公式，然后再代入通项公式求数列中的显，可归纳出一个通项公式，然后再代入通项公式求数列中的 每一项每一项. . 【变式训练变式训练】(2014(2014巢湖高
16、二检测巢湖高二检测) )在各项均为正数的数列在各项均为正数的数列 aan n 中，任意中，任意m m，nNnN* *都有都有a am+n m+n=a =am ma an n. .若若a a6 6=64=64，则，则a a9 9等于等于 ( ( ) ) A.256A.256 B.510B.510 C.512C.512 D.1024D.1024 【解析解析】选选C.C.在各项均为正数的数列在各项均为正数的数列aan n 中，中， 对任意对任意m m，nNnN* *都有都有a am+n m+n=a =am ma an n. . 所以所以a a12 12=a =a6 6a a6 6=64=642 2，
17、 又又a a6 6=a=a3 3a a3 3，所以，所以a a3 3=8=8， 所以所以a a12 12=a =a9 9a a3 3，解得，解得a a9 9= =512.= =512. 2 64 8 类型三类型三 利用递推公式研究数列利用递推公式研究数列 1.1.已知已知aan n 中，中，a a1 1=1=1， 则数列则数列aan n 的通项公式是的通项公式是( ( ) ) A.aA.an n=2n=2n B.aB.an n= = C.aC.an n= = D.aD.an n= = n 1 n a1 a2 ， 1 2n n 1 1 2 2 1 n 2.2.已知数列已知数列aan n 满足：满
18、足：a a1 1=1=1，a an n=a=a1 1+2a+2a2 2+3a+3a3 3+ +(n+(n- -1)1)a an n- -1 1 (n2)(n2)，则，则aan n 的通项的通项a an n= = 3.3.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=2=2，a an+1 n+1=2a =2an n，写出数列的前，写出数列的前4 4项，猜项，猜 想数列的通项公式并加以证明想数列的通项公式并加以证明. . 1n1 n2. ， _， 【解题指南解题指南】1.1.写出数列的前几项，观察得出数列的通项公式写出数列的前几项，观察得出数列的通项公式. . 2.2.利用方程进行等价转化找数
19、列利用方程进行等价转化找数列aan n 的项的项a an n与前一项与前一项a an n- -1 1之间之间 的关系的关系. . 3.3.根据递推公式可以逐个写出前根据递推公式可以逐个写出前4 4项，用累乘法证明项，用累乘法证明. . 【自主解答自主解答】1.1.选选C.aC.a1 1=1=1，a a2 2= = ，a a3 3= = ，a a4 4= = ， 观察得观察得a an n= = 2.2.由已知得：由已知得：a an n=a=a1 1+2a+2a2 2+ +(n+(n- -2)a2)an n- -2 2+(n+(n- -1)a1)an n- -1 1(n2)(n2)， a an n
20、- -1 1=a=a1 1+2a+2a2 2+ +(n+(n- -2)a2)an n- -2 2(n3).(n3). 两式相减得：两式相减得：a an n- -a an n- -1 1=(n=(n- -1)a1)an n- -1 1(n3)(n3)， 所以所以a an n=n=na an n- -1 1，即，即 =n(n3)=n(n3)， 1 2 1 4 1 8 n 1 1 . 2 n n 1 a a 所以所以 =3=34 45 5(n(n- -1)1)n n， 所以所以 (n3).(n3). 又因为又因为a a1 1=1=1，a a2 2=a=a1 1=1=1，所以，所以a an n= (n
21、2).= (n2). 答案：答案： 354n 1n 234n 2n 1 aaaaa aaaaa n 2 an a2 ！ n 2 ！ n 2 ！ 3.3.由由a a1 1=2=2，a an+1 n+1=2a =2an n，得，得 a a2 2=2a=2a1 1=4=2=4=22 2，a a3 3=2a=2a2 2=2=22 22 2=2=23 3，a a4 4=2a=2a3 3=2=22 23 3=2=24 4， 猜想猜想a an n=2=2n n(nN(nN* *).). 证明如下：证明如下： 由由a a1 1=2=2，a an+1 n+1=2a =2an n， 得得 所以所以 =2=22 2
22、2 22=22=2n n. . 3nn 12 n 1n 221 aaaa 2(n2). aaaa 3nn 12 n1 n 1n 221 aaaa aa aaaa 【规律总结规律总结】由递推公式求数列的通项公式的两种方法由递推公式求数列的通项公式的两种方法 (1)(1)观察归纳法：观察归纳法： 根据递推公式，求出数列的前几项；根据递推公式，求出数列的前几项； 通过前几项观察哪些因素随项数通过前几项观察哪些因素随项数n n的变化而变化，哪些因素的变化而变化，哪些因素 不变，初步归纳出公式；不变，初步归纳出公式； 取取n n的特殊值进行检验，判断得到的通项公式是否正确的特殊值进行检验，判断得到的通项
23、公式是否正确. . (2)(2)递推公式法：递推公式法： 观察数列相邻两项间的递推关系，将它们一般化；观察数列相邻两项间的递推关系，将它们一般化； 得到数列的普遍的递推关系；得到数列的普遍的递推关系； 通过代数方法由递推关系求出通项公式通过代数方法由递推关系求出通项公式. . 【变式训练变式训练】设数列设数列aan n ，a a1 1=0=0，a an+1 n+1= = ，写出数列的，写出数列的 前前4 4项，并归纳出该数列的一个通项公式项，并归纳出该数列的一个通项公式. . 【解析解析】a a1 1=0=0， 直接观察可以发现直接观察可以发现a a3 3= = 可写成可写成a a3 3= = ， 这样可知这样可知a an n= (n2).= (n2).当当n=1n=1时，时， =0=a=0=a1 1， 所以所以a an n= = n n 1 a 3 a 12 23 12 1 1 1 a1 a11 3 aa. 1 3 a33 a2 3 3 ， 3 4 3 1 1 1 a3 2 a. 1 3 a5 3 2 2 4 1 2 n 1 n 1 1 1 1 1 n 1. n 1
