1、3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题 1.1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本 概念概念. . 2.2.了解线性规划的意义了解线性规划的意义. . 3.3.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. . 线性规划的基本概念线性规划的基本概念 (1)(1)约束条件：由变量的不等式约束条件：由变量的不等式( (或方程或方程) )组成的组成的_._. (2)(2)线性约束条件：关于线性约束条件：关于x x，y y的的_(_(或方程或方程) )组成的不组成的不 等式组
2、等式组. . (3)(3)目标函数：欲求最大值或最小值的关于变量目标函数：欲求最大值或最小值的关于变量x x，y y的函数解的函数解 析式析式. . 不等式组不等式组 一次不等式一次不等式 (4)(4)线性目标函数：关于变量线性目标函数：关于变量x x，y y的的_._. (5)(5)可行解：满足可行解：满足_的解的解(x(x，y).y). (6)(6)可行域：所有可行域：所有_组成的集合组成的集合. . (7)(7)最优解：使目标函数取得最优解：使目标函数取得_的可行解的可行解. . (8)(8)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的
3、 _问题问题. . 一次解析式一次解析式 线性约束条件线性约束条件 可行解可行解 最大值或最小值最大值或最小值 最大值或最小值最大值或最小值 1.1.若实数若实数x x，y y满足满足 则则S=2x+yS=2x+y- -1 1的最大值是的最大值是 . . 【解析解析】可行域为如图所示的阴影部分，可行域为如图所示的阴影部分， 当可行解为当可行解为A(2A(2，3)3)时，时，S Smax max=6. =6. 答案：答案：6 6 x2 y3 xy1 ， ， ， 2.2.已知实数已知实数x x，y y满足满足 则目标函数则目标函数z=xz=x- -2y2y的最小值的最小值 是是 . . 【解析解析
4、】如图，作出的阴影部分为可行域，如图，作出的阴影部分为可行域， 由由 得得 即即A(3A(3，6)6)，经过分析可知直线，经过分析可知直线z=xz=x- -2y2y经过经过 A A点时点时z z取最小值取最小值- -9.9. 答案：答案：- -9 9 y2x y2x x3 ， ， ， y2x x3 ，x3 y6 ， ， 3.3.满足满足 的平面区域图形为的平面区域图形为 . . 【解析解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作出不等式组表示的平面区域，如图所示， 由由x=1x=1平行于平行于y y轴而轴而x x- -2y=2y=- -1 1与与x x轴不平轴不平 行，知四边形行，知四边形A
5、BCDABCD为梯形为梯形. . 答案：答案：梯形梯形 0x1 0y2 x2y1 ， ， 一、线性规划问题一、线性规划问题 已知实数已知实数x x，y y满足满足 求求z=2x+yz=2x+y的取值范围的取值范围. .请思考请思考 下面的问题：下面的问题： 探究探究1 1：此题中线性约束条件是：此题中线性约束条件是 ，目标函数是，目标函数是 . . 4xy6 2xy4 ， ， 提示：提示：线性约束条件是关于变量线性约束条件是关于变量x x，y y的一次不等式组成的不等的一次不等式组成的不等 式组，故此题中的线性约束条件为式组，故此题中的线性约束条件为 目标函数是欲目标函数是欲 求最大值或最小值
6、的关于变量求最大值或最小值的关于变量x x，y y的函数解析式，故此题中的的函数解析式，故此题中的 目标函数为目标函数为z=2x+y.z=2x+y. 答案：答案： z=2x+yz=2x+y 4xy6 2xy4 ， ； 4xy6 2xy4 ， 探究探究2 2：目标函数：目标函数z=2x+yz=2x+y中中z z的几何意义是什么？的几何意义是什么？ 提示：提示：由由z=2x+yz=2x+y，得到，得到y=y=- -2x+z2x+z，该直线的斜率是，该直线的斜率是- -2 2，在，在y y轴上轴上 的截距是的截距是z z，即，即z z为直线在为直线在y y轴上的截距轴上的截距. . 探究探究3 3：
7、如何求函数：如何求函数z=2x+yz=2x+y的取值范围？的取值范围？ 提示：提示：作可行域如图阴影部分所示，求作可行域如图阴影部分所示，求 函数函数z=2x+yz=2x+y的取值范围，只需求目标函的取值范围，只需求目标函 数的最大值与最小值，即求直线数的最大值与最小值，即求直线y=y=- -2x+2x+ z z在在y y轴上的截距轴上的截距z z的最大值与最小值，的最大值与最小值， 如图，平移直线如图，平移直线l l，由图可知，当直线经过点，由图可知，当直线经过点A A时，时，z z有最大有最大 值，当直线经过点值，当直线经过点B B时，时，z z有最小值有最小值. .解解 得得A(5A(5
8、， 1)1)，所以，所以z zmax max=2 =25+1=115+1=11，解，解 得得B(3B(3，1)1)，所以，所以 z zmin min=2 =23+1=7.3+1=7.所以函数所以函数z=2x+yz=2x+y的取值范围是的取值范围是77，11.11. xy6 xy4 ， ， xy4 xy2 ， ， 【探究总结探究总结】解线性规划问题的关注点解线性规划问题的关注点 (1)(1)先确定线性约束条件及目标函数先确定线性约束条件及目标函数. . (2)(2)要确定目标函数的几何意义要确定目标函数的几何意义. . (3)(3)在求解目标函数的最值时，平移直线要做到规范、准确在求解目标函数的
9、最值时，平移直线要做到规范、准确. . (4)(4)求目标函数的取值范围，一般不利用不等式的性质对二元求目标函数的取值范围，一般不利用不等式的性质对二元 一次不等式进行变形，因为这样会扩大变量的取值范围一次不等式进行变形，因为这样会扩大变量的取值范围. . 【拓展延伸拓展延伸】确定线性规划问题中最优解的方法确定线性规划问题中最优解的方法 线性目标函数线性目标函数z=Ax+By+C(Az=Ax+By+C(A，B B不全为不全为0)0)中，当中，当B0B0时，时， 这样线性目标函数可看成斜率为这样线性目标函数可看成斜率为 在在y y轴上轴上 的截距为的截距为 且随且随z z变化的一族平行线，则把求
10、变化的一族平行线，则把求z z的最大值或的最大值或 最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y y轴上轴上 的截距的最大值或最小值的问题的截距的最大值或最小值的问题. .因此只需先作出直线因此只需先作出直线y=y= 再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就 是最优解是最优解. . AzC yx BB ， A B ， zC B ， A x B ， 二、非线性规划问题二、非线性规划问题 探究探究1 1：式子：式子x x2 2+y+y2 2表示的几何意义是什么？式子表示的几何意
11、义是什么？式子(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2 呢？呢？ 提示：提示：x x2 2+y+y2 2可以看成可以看成 所以所以x x2 2+y+y2 2表示原点表示原点 与可行域内的点与可行域内的点(x(x，y)y)两点间距离的平方两点间距离的平方. .式子式子(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- - b)b)2 2，可以看成，可以看成 所以所以(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2的几何的几何 意义是点意义是点(a(a，b)b)与可行域内的点与可行域内的点(x(x，y)y)两点间距离的平方两点间距离的平方. . 222 ( (x0)(y 0
12、) )， 222 ( (xa)(yb) )， 探究探究2 2：式子：式子 表示的几何意义是什么？表示的几何意义是什么？ 提示：提示： 表示点表示点(a(a，b)b)与可行域内的点与可行域内的点(x(x，y)y)两点连线的两点连线的 斜率斜率. . yb xa yb xa 【探究总结探究总结】求非线性目标函数最值的关键求非线性目标函数最值的关键 求非线性目标函数最值的关键是弄清目标函数的几何意义，求非线性目标函数最值的关键是弄清目标函数的几何意义， 然后画出可行域，运用数形结合的方法求其最值然后画出可行域，运用数形结合的方法求其最值. . 类型一类型一 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值
13、1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷)设设x x，y y满足约束条件满足约束条件 则则z=2xz=2x- -3y3y的最小值是的最小值是( ( ) ) A.A.- -7 B.7 B.- -6 6 C.C.- -5 5 D.D.- -3 3 2.(20142.(2014浙江高考浙江高考) )若实数若实数x x，y y满足满足 则则x+yx+y的取的取 值范围是值范围是 . . xy 10 xy 10 x3 ， ， ， x2y40 xy 10 x1 ， ， ， 【解题指南解题指南】1.1.结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数 平移得最小值
14、平移得最小值. . 2.2.根据约束条件画出可行域，平移目标函数求最大、最小值，根据约束条件画出可行域，平移目标函数求最大、最小值， 即得即得x+yx+y的范围的范围. . 【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.由由z=2xz=2x- -3y3y，得，得3y=2x3y=2x- -z z，即，即y= y= 作出可行域如图所示，平移直线作出可行域如图所示，平移直线y= y= 由图象可知当直线由图象可知当直线y= y= 经过点经过点B B时，时， 直线直线y= y= 在在y y轴上的截距最大，此轴上的截距最大，此 时时z z取得最小值取得最小值. .解方程组解方程组 得得 即即B(3B(3，4)4
15、)，代入直线，代入直线z=2xz=2x- -3y3y， 得得z zmin min=3 =32 2- -3 34=4=- -6 6，故选，故选B.B. 2z x. 33 2 x 3 ， 2z x 33 2z x 33 xy 10 x3 ， x3 y4 ， ， 2.2.作出不等式组作出不等式组 所表示的区域，如图所示：所表示的区域，如图所示： 令令z=x+yz=x+y，解方程组，解方程组 得得C(2C(2，1)1)， 解方程组解方程组 得得B(1B(1，0).0). 平移直线平移直线z=x+yz=x+y，经过点，经过点C C使得使得z z取最大值，即取最大值，即z zmax max=2+1=3 =
16、2+1=3， x2y40 xy 10 x1 ， ， x2y40 xy 10 ， ， xy 10 x1 ， ， 当直线当直线z=x+yz=x+y经过点经过点B B时，时，z z取最小值，取最小值， 即即z zmin min=1+0=1 =1+0=1， 所以所以x+yx+y的取值范围是的取值范围是11，3.3. 答案：答案：11，33 【延伸探究延伸探究】在题在题1 1中，求中，求z=2xz=2x- -3y3y的最大值的最大值. . 【解析解析】由可行域可知当直线由可行域可知当直线y= y= 经过经过C C点时，直线点时，直线y=y= 在在y y轴上的截距最小，此时轴上的截距最小，此时z z取得最
17、大值取得最大值. .解方程组解方程组 得得 即即C(3C(3，- -2)2)，代入直线，代入直线z=2xz=2x- -3y3y， 得得z zmax max=3 =32 2- -3 3( (- -2)=12.2)=12. xy 10 x3 ， x3 y2 ， ， 2z x 33 2z x 33 【规律总结规律总结】解线性规划问题的四个步骤解线性规划问题的四个步骤 (1)(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域画：画出线性约束条件所表示的可行域. . (2)(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方 法找出与可行域有公共点且纵截距最大
18、或最小的直线法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线. . (3)(3)求：通过解方程组求出最优解求：通过解方程组求出最优解. . (4)(4)答：根据所求得的最优解得出答案答：根据所求得的最优解得出答案. . 类型二类型二 求非线性目标函数的最值求非线性目标函数的最值 1.(20131.(2013山东高考山东高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，M M为不等式组为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线所表示的区域上一动点，则直线OMOM斜率的最小斜率的最小 值为值为( ( ) ) A.2 B.1 C. D. A.2 B.1 C. D. 2xy 20 x2y 10
19、 3xy 80 ， ， 1 3 1 2 2.2.已知已知 求求(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2的最大值、最小值的最大值、最小值. . 【解题指南解题指南】1.1.本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数 形结合找出斜率的最值形结合找出斜率的最值. . 2.2.由于由于(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2的几何意义表示点的几何意义表示点(x(x，y)y)与点与点( (- -1 1，- -1)1) 之间距离的平方，故画出可行域后，观察并找出可行域内与之间距离的平方，故画出可行域后，观察并找出可行域内与 ( (- -
20、1 1，- -1)1)距离最远和最近的点，并求出这两个距离的平方距离最远和最近的点，并求出这两个距离的平方. . 2xy 50 3xy 50 x2y50 ， ， ， 【自主解答自主解答】1.1.选选C.C.作出可行域如图，作出可行域如图， 由图象可知当由图象可知当M M位于点位于点D D处时，处时， OMOM的斜率最小的斜率最小. . 由由 得得 即即D(3D(3，- -1)1)，此时，此时OMOM的斜率为的斜率为 x2y 10 3xy 80 ， ， x3 y1 ， ， 11 . 33 2.2.作出可行域，如图所示，作出可行域，如图所示， 设设d=(x+1)d=(x+1)2 2+(y+1)+(
21、y+1)2 2，则它表示可行域内的点与定点，则它表示可行域内的点与定点E(E(- -1 1，- -1)1) 的距离的平方的距离的平方. .由图可知，点由图可知，点C C到定点到定点E E的距离最小，点的距离最小，点B B到定点到定点 E E的距离最大的距离最大. . 由由 解得解得B(3B(3，4)4)， 由由 解得解得C(2C(2，1).1).所以所以 当当x=3x=3，y=4y=4时，时，d dmax max=(3+1) =(3+1)2 2+(4+1)+(4+1)2 2= = 4141，当，当x=2x=2，y=1y=1时，时，d dmin min=(2+1) =(2+1)2 2+(1+1)
22、+(1+1)2 2 =13=13，即，即(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2的最大值为的最大值为4141，最小值为，最小值为13.13. x2y50 3xy 50 ， ， 2xy 50 3xy 50 ， ， 【规律总结规律总结】非线性目标函数最值的常见类型及其解法非线性目标函数最值的常见类型及其解法 (1) (1) 型求最值型求最值. .根据根据 的几何意义，可转化为求可行域的几何意义，可转化为求可行域 内的点内的点(x(x，y)y)与点与点(a(a，b)b)连线的斜率的最值连线的斜率的最值. . (2)(x(2)(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2型求
23、最值型求最值. .根据根据(x(x- -a)a)2 2+(y+(y- -b)b)2 2的几何意义，的几何意义， 可转化为求可行域内的点可转化为求可行域内的点(x(x，y)y)与点与点(a(a，b)b)两点间距离的平方两点间距离的平方 的最值的最值. . yb xa yb xa 【变式训练变式训练】已知已知 求：求： (1)z=x(1)z=x2 2+y+y2 2- -10y+2510y+25的最小值的最小值. . (2)z=(2)z= 的取值范围的取值范围. . xy20 xy40 2xy 50 ， ， ， 2y 1 x 1 【解析解析】作出可行域如图所示作出可行域如图所示，A(1A(1，3)3
24、)，B(3B(3，1)1)，C(7C(7，9).9). (1)z=x(1)z=x2 2+(y+(y- -5)5)2 2表示可行域内任一点表示可行域内任一点(x(x，y)y)到点到点M(0M(0，5)5)的距的距 离的平方，过离的平方，过M M作作ACAC的垂线，易知垂足的垂线，易知垂足N N在线段在线段ACAC上，上， 故故MN= MN= 所以所以 所以所以z z的最小值为的最小值为 2 0 5233 2 . 22 11 22 3 29 MN() 22 ， 9 . 2 (2)z=2(2)z=2 表示可行域内点表示可行域内点(x(x，y)y)与定点与定点 连线斜率的连线斜率的2 2倍，因为倍，因
25、为 所以所以z z的取值范围是的取值范围是 1 y() 2 x( 1) 1 Q( 1) 2 ， QAQB 73 kk 48 ， 3 7 . 4 2 ， 类型三类型三 根据目标函数的最值求参数根据目标函数的最值求参数 1.(20151.(2015沈阳高二检测沈阳高二检测) )实数实数x x，y y满足满足 若目标函若目标函 数数z=x+yz=x+y的最大值为的最大值为4 4，则实数，则实数a a的值为的值为 . . 2.(20142.(2014浙江高考浙江高考) )当实数当实数x x，y y满足满足 时，时， 1ax+y41ax+y4恒成立，则实数恒成立，则实数a a的取值范围是的取值范围是 .
26、 . x1 ya a1 xy0 ， ， ， x2y40 xy 10 x1 ， ， 【解题指南解题指南】1.1.结合线性约束条件，画出可行域，由目标函数结合线性约束条件，画出可行域，由目标函数 取得最大值取得最大值4 4，结合图形可求得，结合图形可求得a.a. 2.2.先画出可行域，利用数形结合求解先画出可行域，利用数形结合求解. . 【自主解答自主解答】1.1.作不等式组作不等式组 所表示的可行域如图所示，所表示的可行域如图所示， 即点即点A(aA(a，a)a)， 作直线作直线l：z=x+yz=x+y，则，则z z为直线为直线l在在y y轴上的截距，当直线轴上的截距，当直线l经过可经过可 行域
27、上的点行域上的点A(aA(a，a)a)时，直线时，直线l在在y y轴上的截距最大，此时轴上的截距最大，此时z z取最取最 大值，即大值，即z zmax max=a+a=2a=4 =a+a=2a=4，所以，所以a=2.a=2. 答案：答案：2 2 x1 ya a1 xy0 ， ， yaxa xy0ya ， 联立解得 ， 2.2.作出不等式组作出不等式组 所表示的所表示的 区域，由区域，由1ax+y41ax+y4，由图可知，由图可知， a0a0且在且在(1(1，0)0)点取得最小值，在点取得最小值，在(2(2，1)1) 点取得最大值，所以点取得最大值，所以a1a1，2a+142a+14，故，故 a
28、 a的取值范围为的取值范围为11， . 答案：答案：11， x2y40 xy 10 x1 ， ， 3 2 3 2 【规律总结规律总结】根据目标函数的最值求参数的解题思路根据目标函数的最值求参数的解题思路 采用数形结合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，采用数形结合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义， 画出目标函数取最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，画出目标函数取最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解， 再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数 的值或范围的值或范围. . 【变式训练变式训练】(2013(201
29、3北京高考北京高考) )设关于设关于x x，y y的不等式组的不等式组 表示的平面区域内存在点表示的平面区域内存在点P(xP(x0 0，y y0 0) )，满足，满足x x0 0- -2y2y0 0 =2=2，求得，求得m m的取值范围是的取值范围是( ( ) ) 2xy 10 xm0 ym0 ， ， 41 A.() B.() 33 25 C.() D.() 33 ， ， ， ， 【解析解析】选选C.C.作出可行域如图所示：作出可行域如图所示： 要使可行域存在，必有要使可行域存在，必有 0)仅在点仅在点(3(3，1)1)处取得最大值，处取得最大值， 求求a a的取值范围的取值范围. . 【解析
30、解析】由约束条件画出可行域，如图由约束条件画出可行域，如图 所示，点所示，点C C的坐标为的坐标为(3(3，1).1).因为目标函因为目标函 数仅在点数仅在点C(3C(3，1)1)处取得最大值，所以处取得最大值，所以 - -a1. 0xy4 2xy2. ， 【拓展类型拓展类型】线性规划与其他知识的结合问题线性规划与其他知识的结合问题 1.1.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，不等式组中，不等式组 确定的平面确定的平面 区域为区域为D D，在区域，在区域D D中任取一点中任取一点A(aA(a，b)b)，则，则A A满足满足a+2b10a+2b10的概的概 率为率为( ( ) ) 2
31、.2.设数列设数列aan n 为等差数列，为等差数列，S Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和，若项和，若S S1 11313， S S4 41010，S S5 51515，求，求a a4 4的最大值的最大值. . 2x5 2y5 ， 2715 A. B. C. D. 312212 【解题指南解题指南】1.1.画出不等式组表示的平面区域，找出满足画出不等式组表示的平面区域，找出满足 a+2b10a+2b10所对应的区域，根据几何概型的概率公式求解所对应的区域，根据几何概型的概率公式求解. . 2.2.根据题意找出数列根据题意找出数列aan n 的首项的首项a a1 1与公差与公差
32、d d所满足的不等式组，所满足的不等式组， 将其转化为线性规划问题求解将其转化为线性规划问题求解. . 【解析解析】1.1.选选B.B.不等式组表示的平面区域如图所示，不等式组表示的平面区域如图所示， 由图可知满足条件的区域由图可知满足条件的区域D D为正方形区域，点为正方形区域，点A(aA(a，b)b)满足满足 a+2b10a+2b10的区域为阴影部分，设区域的区域为阴影部分，设区域D D的面积为的面积为S S，阴影部分的，阴影部分的 面积为面积为SS，则，则A A满足满足a+2b10a+2b10的概率为的概率为 故选故选B.B. 1 2.5 3 S7 2 P S912 ， 2.2.可将此题
33、看成关于可将此题看成关于a a1 1和和d d的线性规划问题，根据题意可知的线性规划问题，根据题意可知 化简为化简为 求求a a4 4=a=a1 1+3d+3d的最大值，的最大值， 将其转化为将其转化为 求求z=x+3yz=x+3y的的 最大值问题，不等式组表示的平面区最大值问题，不等式组表示的平面区 域如图所示域如图所示. . 1 1 1 a13 4 3 4ad10 2 5 4 5ad15 2 ， ， ， 1 1 1 a13 2a3d5 a2d3 ， ， ， x13 2x3y5 x2y3 ， ， ， 由由z=x+3yz=x+3y，得，得y= y= 平移直线平移直线y= y= 由图可知，当直由
34、图可知，当直 线线y= y= 过点过点A A时，时，z z有最大值有最大值. .由由 得得A(1A(1， 1)1)，所以，所以z zmax max=1+1 =1+13=43=4，即，即a a4 4的最大值为的最大值为4.4. 1z x 33 ， 1 x 3 ， 1z x 33 2x3y5 x2y3 ， 【规律总结规律总结】线性规划问题在数学中的应用及其关注问题线性规划问题在数学中的应用及其关注问题 (1)(1)主要应用方面：不等式、概率、数列、向量等主要应用方面：不等式、概率、数列、向量等. . (2)(2)线性规划问题在数学中的应用非常广泛，且越来越新颖、线性规划问题在数学中的应用非常广泛，
35、且越来越新颖、 灵活、实用性更强灵活、实用性更强. .对此主要把握以下三点：对此主要把握以下三点： 解线性规划问题关键是在图上完成，所以图应该尽可能准确，解线性规划问题关键是在图上完成，所以图应该尽可能准确， 图上操作尽可能规范；图上操作尽可能规范； 要对数学模块知识理解深刻，且了解模块与模块之间的深层要对数学模块知识理解深刻，且了解模块与模块之间的深层 联系；联系； 要在平时学习中不断总结、归纳和积累要在平时学习中不断总结、归纳和积累. . 【变式训练变式训练】已知已知P(xP(x，y)y)在由不等式组在由不等式组 确定的确定的 平面区域内，平面区域内，O O为坐标原点，点为坐标原点，点A(
36、A(- -1 1，2)2)，则，则 cosAOPcosAOP的的 最大值为最大值为 . . xy 30 xy 10 x 10 ， ， OP| | 【解析解析】不等式组表示的平面区域如图所示，不等式组表示的平面区域如图所示， 考虑向量数量积及其几何意义，考虑向量数量积及其几何意义， 因为因为 所以所以 要求要求 cosAOPcosAOP的最大值，需要求的最大值，需要求- -x+2yx+2y的最大值，的最大值， 令令z=z=- -x+2yx+2y，于是转化为求线性目标函数最值问题，于是转化为求线性目标函数最值问题. .平移直线平移直线 - -x+2y=0x+2y=0，由图可知当直线，由图可知当直线z=z=- -x+2yx+2y过点过点B B时，时，z z有最大值，有最大值， OA OP |OA| |OP|cos AOP， OA12 OPxy|OA|5 ， ， ， OA OPx2y OP cos AOP OA5 | |， | OP| | 由由 得得B(1B(1，2)2)，所以，所以z zmax max= =- -1 1 1+21+22=32=3，所以，所以 cosAOPcosAOP的最大值为的最大值为 答案：答案： xy 30 x 10 ， OP| | 3 5 . 5 3 5 5
