1、abab abab 2 2 1. 掌握掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 的定理的定理.了解它的变式：了解它的变式： (1)a2+b22ab(a，bR)； (2) (a，bR+)； (3) (ab0)； (4) (a，bR). 以上各式当且仅当以上各式当且仅当ab时取等号时取等号，并注意各式中字母的取并注意各式中字母的取 值要求值要求. ab ba 2 2 b a a b 2 22 22 baba 2.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号. 22 22 b
2、aba ab ba ab 2 复习复习: 变式变式 x 0 , 所以 2 1 2 1 x x x x 当且仅当 时, 即x =1时取等号, 所以当 x =1 时, 的值最小, 最小值为2. x x 1 x x 1 练习练习 1. x0 , 当当 x 取什么值时取什么值时, 的值的值 最小最小?最小值是多少最小值是多少? x x 1 解解: 因为因为 x 0. 2) 1 ()(2) 1 ()( x x x x 当且仅当当且仅当 时时, 即即 x = - 1时取等号时取等号, 所以当所以当 x = - 1时时, 的值最大的值最大, 最大值为最大值为 - 2. x x 1 x x 1 2) 1 ()
3、( 1 x x x x故 变式变式 x b，a b=1 则 ba ba 22 的最小值是 . D 例例3: 其容积体无盖贮水池某工厂要建造一个长方, ?, ,1201 ,1501,3,4800 2 23 最低总造价是多少造价最低 问怎样设计水池能使总元的造价为池壁每 元的造价为如果池底每深为为 m mmm 解解: , 3 4800 , 元水池总造价为 则另一边的长为为设水池底面一边的长度 ym x xm ) 3 4800 3232(120 3 4800 150 x xx x y 得依题意, ) 1600 (720240000 x x .297600 1600 2720240000 x x .2
4、97600,40, 1600 有最小值时即当且仅当yx x x .297600, ,40, 元最低总造价为水池的总造价最低 的正方形时当水池的底面是边长为因此m AA A AA B 练习练习3:一段长为一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园矩形菜园,问这个矩形的长问这个矩形的长,宽各为多少时宽各为多少时,菜园菜园 的面积最大的面积最大,最大面积是多少最大面积是多少? x xl2 解解: ,)2( , mxl xm 则另一边为 设矩形靠墙一边的长为 )2(xlxS依题意矩形的面积为 )2(2 2 1 )2(xlxxlxS . 8 1 )22( 4 1 2 1 22
5、 lxlx l 2xl2x,x,. 4 当且仅当时 等号成立，矩形的面积最大 练习练习4: . 2 1 , ,: 2 d d 这个正方形的面积等于大的为正方形 面积最的圆的内接矩形中在直径为求证 d x22 , xd x 则另一边长为 设矩形的一边长为如图证明一证明一 )( 22222 xdxxdxS面积 22 222 2 1 ) 2 (d xdx . 2 2 , 222 时等号成立当且仅当dxxdx . 2 1 , 2 d其最大面积为时即当这个矩形为正方形 练习练习: . 2 1 , ,: 2 d d 这个正方形的面积等于大的为正方形 面积最的圆的内接矩形中在直径为求证 证明二证明二 d c
6、ossin , dd和则矩形的两边分别为 角为设矩形一边与直径的夹如图 cossinddS矩形的面积 ,2sin 2 1 cossin2 2 1 22 dd 2 max 1 sin 21,Sd 42 当且仅当时 等号成立， . 2 1 , 2 d其最大面积为时即当这个矩形为正方形 练习练习: . 2 1 , ,: 2 d d 这个正方形的面积等于大的为正方形 面积最的圆的内接矩形中在直径为求证 ., , 222 xySdyx yx 面积则 设矩形的边长为如图 证明三证明三 2 max 1 xy,Sd 2 当且仅当时 等号成立， . 2 1 , 2 d其最大面积为时即当这个矩形为正方形 d x
7、y ,2 22 xyyx 2 22 2 1 2 d yx xyS 算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 个数的算术平均数叫做这n n aaa n 21 个数的几何平均数叫做这naaa n n 21 n个正数的算术平均数个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数不小于它们的几何平均数 2 2 3 3 求求函函数数y2x,(x0)y2x,(x0) 的的最最小小值值. . x x 如如: 3 3 222 43 21 23 21 2 3 2 xx x xx x x xy 解解: 3 min 43y(错解错解:原因是取不到等号原因是取不到等号) 正解正解: 3 33 222 36 2 3 2 9 3 2 3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2 xx x xx x x xy 23 min 333 2x,x,y36. 2x22 当且仅当时 等号成立，
