1、3.4 基本不等式： 第1课时 基本不等式 2 ab ab 国际数学家大会是由国际数学联盟（国际数学家大会是由国际数学联盟（IMUIMU）主）主 办，首届大会于办，首届大会于18971897年在瑞士苏黎士举行，年在瑞士苏黎士举行，19001900 年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最 高水平的全球性数学科学学术会议高水平的全球性数学科学学术会议. . 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举 行，它的会标是什么？行，它的会标是什么？ 第第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 会标是根据中国古代会标是
2、根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计的，数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去像颜色的明暗使它看上去像 一个风车，代表中国人民一个风车，代表中国人民 热情好客热情好客 1.1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不探索基本不等式的证明过程，并了解基本不 等式的代数、几何背景等式的代数、几何背景. .( (重点）重点） 2.2.基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用. . 1.1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关 系吗？系吗？ B B A A C C D D E E F F G G H H 探究点探究点1 1 探究基本不等式探究基本不等式
3、B B A A C C D D E E F F G G H H 则正方形则正方形ABCDABCD的面积的面积 是是_， 这这4 4个直角三角形的面个直角三角形的面 积之和是积之和是_， 设设AE=aAE=a, ,BE=bBE=b, , a a2 2+b+b2 2 2ab2ab 22 2.abab即 S4S 正方形ABCD直角三角形， a 22 ab b 提示提示: 22 2.2abab成立吗？ 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立，时，等号成立， 22 2abab即成立. 提示提示: 22 2,abab 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a，b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅
4、当a=ba=b时，等号成立时，等号成立. . 3.3.你能给出它的证明吗？你能给出它的证明吗？ 为证 222222 2222 因因a +b -2ab =(a-b)0,a +b -2ab =(a-b)0, 所所以以a +ba +b 明明： 2ab.2ab. 【提升总结提升总结】 (0,0). 2 ab abab a 0,b 0,如果a 特别地，特别地， 我们用我们用 b ,a b, ,.2abab , , 分别代替分别代替 可得可得 4.4.你能用不等式的性质直接推导吗？你能用不等式的性质直接推导吗？ 通常我们把上式写作通常我们把上式写作 2 ab ab 证明：证明：要证要证 只要证只要证 .a
5、b 要证，只要证要证，只要证 0ab 要证，只要证要证，只要证 2 ()0 显然显然, , 是成立的是成立的. .当且仅当当且仅当a=ba=b时时, , 中的等号成立中的等号成立. . 2 ab ab 2 ab 基本不等式：基本不等式： 注意注意：（1 1）a,ba,b均为正数；均为正数； （2 2）当且仅当）当且仅当a=ba=b时取等号时取等号. . (0,0). 2 ab abab 【提升总结提升总结】 D D A A B B C C E E 如图如图,AB,AB是圆的直径，是圆的直径，C C 是是ABAB上任一点，上任一点， AC=a,CB=b,AC=a,CB=b,过点过点C C作垂作垂
6、 直于直于ABAB的弦的弦DEDE，连接，连接 AD,BD,AD,BD, 则则CD=CD=, , 半径为半径为. . ab 2 ab 2 ACDDCB,CDAC CB, CDab. 因因为为所所以以 即即 CDCD小于或等于圆的半径小于或等于圆的半径. . . 2 ab ab 用不等式表示为用不等式表示为 上述不等式当且仅当点上述不等式当且仅当点C C与圆心重合，即当与圆心重合，即当a=ba=b 时，等号成立时，等号成立. . 几何意义：半径不小于半弦几何意义：半径不小于半弦. 可以叙述为可以叙述为: : 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均 数数.
7、 . 叫做正数叫做正数a a，b b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a a，b b的几何平均数的几何平均数. . 2 ab ab 基本不等式基本不等式 (0,0) 2 ab abab 11 22 判断下列推理是否正确： 1.若，则由得aRaa aa (1)1 01(1) 22 2.若，则由得 xx xxx 0a 1 的最小值是2a a 1 (1) 2 的最大值是xx 和定积最大和定积最大 【即时练习即时练习】 例例 已知已知 a0,b0,a+b=1, a0,b0,a+b=1, 求证：求证： 11 (1)(1)9. ab 分析：分析：由于不等式左边含字母由于不等式左边含字母a,ba
8、,b，右边无字母，右边无字母， 直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号 方向又不对，因方向又不对，因a+b=1a+b=1，能否把左边展开，实现，能否把左边展开，实现 “1 1”的代换？的代换？ 探究点探究点2 2 利用基本不等式证明简单的不等式利用基本不等式证明简单的不等式 , 从 证由由a+b =12 aba+b =12 ab 1111 得得ab,而ab,而4.4. 4ab4ab 11111a+b111111a+b1 (1+)(1+)=1+=1+(1+)(1+)=1+=1+ abababababababababab 2 2 =1+=1+ ： ab
9、ab 明明 9.9. 当且仅当当且仅当 时取等号时取等号. . 1 2 ab 设设, a b均为正数，证明不等式均为正数，证明不等式：ab 2 11 ab . . 证明证明：因因, a b均为正数，由基本不等式，可知均为正数，由基本不等式，可知 11 1 2 ab ab , , 也即也即ab ba 11 2 ，当且仅当，当且仅当ab时，等号成立时，等号成立 【变式练习变式练习】 由公式由公式 可以引可以引 申出的常用结论：申出的常用结论： 22 xyab xy x,yRab(a0,b0) 22 和 ba 12 ab ab ba 22 ab ab ， 同号 ； ， 异号 ； 22 22 2 2a
10、bab 3ab(a0b0) 11 22 ab abab (ab()a0b0 ) 22 ， 或 ， 【提升总结提升总结】 ,018,(2).若且a bab 44 0sin2 sin4 sinsin 1.判断下列推理是否正确： (1).若，则由xxx xx 4 sin4. sin 得，最小值是x x 的最大值是81a b 22 18 ()()81 22 则由得 ab a b 和定积最大和定积最大 等号取不到等号取不到 2如果如果 0M BQPM CQMP DMQP B 【解解析】析】因为因为 Plog 1 2 ab 2 ， Q1 2(log 1 2 alog 1 2 b)log 1 2 ab， M
11、1 2log 1 2 (ab)log 1 2 ab， 所以只需比较所以只需比较a b 2 ， ab， ab的大小的大小 显然显然a b 2 ab，又因为，又因为a b 2 a b 2 4 也就是也就是 ab 4 a b 2 ab.而而 y log 1 2 x 为减函数，故为减函数，故 QPM. 3.3.若若a ab b0,0,则下列不等式中总成立的是则下列不等式中总成立的是( )( ) 2abab A.ab ab2 ab2ab B.ab 2ab ab2ab C.ab 2ab 2abab D. ab ab2 C C 4.（2015陕西高考陕西高考）设设 ( )ln ,0f xxab ，若，若 (
12、)pfab ， () 2 ab qf ， 1 ( )( ) 2 rf af b ，则下列关系，则下列关系 式中正确的是（式中正确的是（ ） A qrp B qrp C prq D prq C C 【解析】【解析】 ()lnpfabab ， ()ln 22 abab qf ， 11 ( )( )lnln 22 rf af babab ，函数，函数 ( )lnf xx在 在 0, 上单调递增，因为上单调递增，因为 2 ab ab ，所以，所以 ()() 2 ab ffab ，所，所 以以 qp=r，故选，故选 C 证明：证明：因为因为a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2， 所
13、以所以2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)， 即即a4b4c4a2b2b2c2c2a2， 又又a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2， c2a2a2b22a2bc， 所以所以2(a2b2b2c2c2a2)2(ab2cabc2a2bc)， 即即a2b2b2c2c2a2ab2cabc2a2bcabc(abc) 所以所以a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc) 5.5.求证：求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(ab c) 1.1.两个不等式两个不等式 不等式不等式 内容内容 等号成立条件等号成立条件 重要不等式重要不等式 基本不等式基本不等式 22 ab2ab(a,bR) “a=b”“a=b”时取“时取“=” =” ab ab(a0,b0) 2 “a=b”“a=b”时取“时取“=”=” 2.2.均值不等式链均值不等式链 设设a，b均为正数均为正数，则，则 22 2 11 22 abab ab ab （调和均值（调和均值几何均值几何均值算术均值算术均值平方均值） ，平方均值） ， 当且仅当当且仅当ab时等号成立时等号成立. . 在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。 郁达夫
