1、2.3.2 抛物线的简单几何性质 第二章 2.3 抛物线 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 抛物线的几何性质 答案 标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 图形 性 质 范围 _，yR _，yR xR，_ xR，_ 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 _ 离心率 _ x0 x0 y0 y0 (0,0) e1 知识点二 焦点弦 直线过抛物线y22px (p0)的焦点F，与抛物线交
2、于A(x1，y1)、B(x2，y2) 两点，由抛物线的定义知，|AF|x1 ，|BF|x2 ，故|AB| . 知识点三 直线与抛物线的位置关系 直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程_ 的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个 不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；当0)， 过此抛物线的焦点的直线与抛物线 交于 A，B 两点，且|AB|5 2p，求 AB 所在的直线方程. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、 B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值； 解 因为直线l的倾斜角为6
3、0， 所以其斜率 ktan 60 3，又 F 3 2，0 . 所以直线 l 的方程为 y 3 x3 2 . 联立 y26x， y 3 x3 2 ， 消去 y 得 x25x9 40. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25， 而|AB|AF|BF|x1p 2x2 p 2 x1x2p. 所以|AB|538. 解析答案 (2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1p 2x2 p 2 x1x2px1x23， 所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3， 又准线方程是 x3 2， 所以 M 到
4、准线的距离等于 33 2 9 2. 解析答案 题型三 直线与抛物线的位置关系 例3 已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，直线l与 抛物线C有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条 直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值. 解析答案 返回 解后反思 例4 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x1截得的 弦长为 ，求抛物线的标准方程. 思想方法 分类讨论思想的应用 15 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.以x轴为对称轴的
5、抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8， 若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y 解析 设抛物线y22px或y22px(p0)， 依题意得 xp 2，代入 y 22px 或 y22px， 得|y|p， 2|y|2p8，p4. C 解析答案 2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离， 则点P的坐标为( ) A.(1 4， 2 4 ) B.(1 8， 2 4 ) C.(1 4， 2 4 ) D.(1 8， 2 4 ) 解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离， 因此点P在线段OF的
6、垂直平分线上， 而 F(1 4，0)，所以点 P 的横坐标为 1 8，代入抛物线方程得 y 2 4 ， 故点 P 的坐标为(1 8， 2 4 )，故选 B. 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 3.抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为( ) 解析答案 A.(1,2) B.(0,0) C.(1 2，1) D.(1,4) 解析 因为y4x2与y4x5不相交， 设与y4x5平行的直线方程为y4xm. 则 y4x2， y4xm， 4x24xm0. 设此直线与抛物线相切，此时有0， 即1616m0，m1. 将 m1 代入式，x1 2，y1， 故所求点的坐标为(1 2，1).
7、 C 解析答案 1 2 3 4 5 4.经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是 ( ) A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10 解析 设直线l的方程为3x2yc0， 抛物线 y22x 的焦点 F(1 2，0)，所以 3 1 220c0， 所以 c3 2，故直线 l 的方程是 6x4y30.选 A. A 解析答案 1 2 3 4 5 5.已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_. 解析 由 xy10， yax2， 消去 y 得 ax2x10， 直线与抛物线相切， a0且14a0. a1 4. 1 4 课堂小结 1.讨论抛物线的几何性质
8、，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何 性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是 不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、 弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤 其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用. 3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法 (1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有 误差影响判断的结果. (2)代数法：设直线l的方程为ykxm，抛物线的方程为y22px(p0)， 将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式： Ax2BxC0(或Ay2ByC0). 相交：有两个交点： A0， 0； 有一个交点：A0(直线与抛物线的对称 轴平行或重合，即相交)； 返回 相切：有一个公共点，即 A0， 0； 相离：没有公共点，即 A0， 0. 直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
