1、 热点09 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进
2、行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】 定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤. 定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过
3、程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可. 关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：55分钟）1（2019福建三明一中高三月考）已知，为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】先由题意，不妨设点位于第一象限，根据，得到，根据与轴正方向的夹角为，得到，从而由求出，得到
4、，联立，即可求出结果.【详解】因为过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，不妨设点位于第一象限，因为，所以为直角三角形，因此；又与轴正方向的夹角为，所以，即；所以，解得：，所以；因此，又，由解得：，因此所求椭圆方程为.故选：C 【名师点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性 质即可，属于常考题型.2（2019贵州高三月考（理）已知抛物线的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（ ）ABC或D【答案】D【解析】【分析】根据的纵坐标为负数，判断出直线斜率大于零，设直线的倾斜角为，根据抛物线的定义，求
5、得的值，进而求得，从而求得也即直线的斜率，利用点斜式求得直线的方程.【详解】由于的纵坐标为负数，所以直线斜率大于零，由此排除B,C选项.设直线的倾斜角为.作出抛物线和准线的图像如下图所示.作，交准线于点.根据抛物线的定义可知，且.依题意，故在直角三角形中，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，化简得.故选：D. 【名师点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3（2019广东实验中学高三月考（理）是方程表示的图形为双曲线的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程表示双曲线，可得，解得
6、m范围即可判断出结论，解得m范围即可判断出结论【详解】由方程表示的图形为双曲线，可得，即即，或， 是方程表示的图形为双曲线的充分不必要条件，故选：A【名师点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （2019全国高三月考（理）双曲线的右焦点为，以 为圆心的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由已知圆的圆心即为焦点，可得的值，利用渐近线和圆相切，列方程求出，即可得双曲线的方程.【详解】由题意知：，有，到的距离为，得，故双曲线的方程为.故选A.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和性质，
7、考查渐近线方程的应用，考查学生计算能力，是基础题.5（2019广东高三月考（理）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.6（2019安徽高三月考（理）已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由，的最小值是，转化为求的最小值即为【详解】双曲线中，圆半径为，（当且仅当共线且在间时取等号 ，当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号的最小值是9故选：A【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程，在涉及到
8、双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径7（2019河北高三月考（理）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F，点B的坐标为(0，b)，若直线BF与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为ABCD2【答案】B【解析】【分析】将直线与双曲线渐近线联立，可求得的值；利用可得，将 的值代入，可得，从而求得离心率.【详解】由题可知，则直线方程为又双曲线渐近线方程为由可解得或由可知，由题可知：，则化简得，所以【名师点睛】本题考查双
9、曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到的齐次方程，通过方程求得离心率.8（2019山东济南外国语学校高考模拟（理）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】设，则，再次利用椭圆的几何性质可 得，利用求得后再利用 为直角三角形得到关于a,c的方程，进而可求得椭圆的离心率.【详解】设，则，因为，故. 因，故，整理得到，即，故选A.【名师点睛】圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组二
10、、填空题9（2019山东高三）直线过抛物线的焦点，且与交于 两点，则_，_【答案】2 1 【分析】由题意知，从而，所以抛物线方程为联立方程，利用韦达定理可得结果.【详解】由题意知，从而，所以抛物线方程为当直线AB斜率不存在时：代入，解得，从而当直线AB斜率存在时：设的方程为，联立，整理，得，设，则从而（方法二）利用二级结论：，即可得结果【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.10（2019浙江高三期中）已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为_.【答案】【分析
11、】根据正弦定理，可得，根据椭圆与双曲线定义可求得，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得，进而求得双曲线的离心率.【详解】设焦距为2c在三角形PF1F2中，根据正弦定理可得 因为，代入可得，所以在椭圆中， 在双曲线中， 所以即所以因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即 ，即所以化简得，等号两边同时除以 得，因为 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e，则上式可化为由一元二次方程求根公式可求得 因为双曲线中 所以【名师点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题.11（2019浙江高三月考）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q
12、在椭圆上，则椭圆的离心率为_；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则_.【答案】 【分析】根据对称性和中位线判断为等腰直角三角形，根据椭圆的定义求得离心率.设根据得到，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，根据根与系数关系列方程，解方程求得的值.【详解】由于点关于直线对称的点Q在椭圆上，由于的倾斜角为,画出图像如下图所示，由于是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知为等腰直角三角形，且为短轴的端点，故离心率.不妨设，则椭圆方程化为，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得.设，则，.由于，故.解由组成的方程组得，即.故填：（1）；（2）. 【名师点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考
13、查直线和椭圆相交的交点坐标有关计算，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，运算能力要求较强，属于中档题.12（2019浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_.【答案】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以 方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.【名师点睛】
14、本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.三、解答题13（2019重庆高三月考（理）已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，试问：轴上 是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）在轴上存在点，使得为定值【分析】（1）根据已知求出即得椭圆的标准方程；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直
15、线的方程为，求出此时点R也 满 足前面的结论，即得解.【详解】(1)依题意，得，则，故椭圆的标准方程为.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代人椭圆的方程，可得设，则，设，则 若为定值，则，解得此时点的坐标为当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代人，得不妨设，若，则综上所述，在轴上存在点，使得为定值【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.14（2019陕西高考模拟（理）已知抛物线C；过点求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，求证：为定值【答案】（1）（2）见解
16、析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1k2的值【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为 （2）设，直线MN的方程为，代入抛物线方程得 所以， 所以 ,所以，是定值【名师点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值15（2019江苏金陵中学高考模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（ab0）离心率为，其短轴长为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上
17、两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2，（，为非零实数），求2+2的值 【答案】（1）；（2）1【分析】（1）由题意可得b1，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得A的坐标，设P（x1，y1），D（x0，y0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P的坐标，代入椭圆方程，可得2，同理得2，即可得2+2的值【详解】（1）因为短轴长2b2，所以b1，又离心率e，且a2b2c2，解得a，c1，则椭圆C的方程为+y21；（2）由（1）可得点 A（，0），设P（x1，y1），D（x0，y0），则y1k1x1，
18、y0k2x0，由可得x0+（xx0），y0（y1y0），即有x0，k1x1y1y0k2x0k2（x1），两边同乘以k1，可得k12x1k1k2（x1）（x1），解得x1，将P（x1，y1）代入椭圆方程可得2，由可得2，可得2+21【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线 的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题16（2019黑龙江高三期中（理）如图，已知椭圆：的离心率为，的左顶点为，上顶点为，点在椭圆上，且的周长为. （）求椭圆的方程；（）设是椭圆上两不同点，直线与轴，轴分别交于两点，且，求的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】(1)
19、利用题意求得，所以椭圆的方程为；(2)利用题意求得的解析式，结合m的取值范围可得的取值范围是.试题解析： （）由题意得：，所以椭圆的方程为；（）又，所以.由，可直线的方程为.由已知得，设.由，得：.，所以，由得.所以即，同理.所以 .由所以.【名师点睛】： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形17（2019北京高考模拟（理）已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为（）求椭圆的标准方程及离心率；（）过点的直线
20、与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称【答案】（），离心率；（）见解析【分析】（）由已知，得a，c1，所以，由 ，所以b，即可求出椭圆方程及离心率；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y22y0，即可证明.【详解】（）由已知，得，所以，又，所以 所以椭圆的标准方程为，离心率.（）设， ，直线 与轴垂直时，点的坐标分别为，因为，所以所以，即点与原点重合;当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由 得，所以.则，因为，所以所以，消去得综上，点构成的曲线的方程为 对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为把的坐标代入曲线的方程的左端：所以点也在曲线上所以由点构成的曲线关于直线对称.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题
