1、高中数学精讲精练 第三章 三角函数【知识导读】任意角的概念角度制与弧度制任意角的三角函数弧长与扇形面积公式三角函数的图象和性质和 角公 式差 角公 式几个三角恒等式倍 角公 式同角三角函数关系诱 导公 式正弦定理与余弦定理解斜三角形及其应用化简、计算、求值与证明【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法“三角法”这一部分的内容，具有以下几个特点：1公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函
2、数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课 三角
3、函数的概念【考点导读】1 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式及扇形的面积公式（为弧长）解决问题.2 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点（不同于坐标原点），设（），则的三个三角函数值定义为：从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为3 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟
4、记特殊角的三角函数值由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）另外，熟记、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.4 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题【基础练习】1 化成的形式是 第二或第四象限2已知为第三象限角，则所在的象限是 3已知角的终边过点，则=， = 正4的符号为 5已知角的终边上一点（），且，求，的值解：由
5、三角函数定义知，当时，；当时，【范例解析】例1.（1）已知角的终边经过一点，求的值；（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值分析：利用三角函数定义求解解：（1）由已知，当时，则；当时，则（2）设点是角的终边上一点，则；当时，角是第一象限角，则；当时，角是第三象限角，则点评：要注意对参数进行分类讨论例2.（1）若，则在第_象限（2）若角是第二象限角，则，中能确定是正值的有_个解：（1）由，得，同号，故在第一，三象限（2）由角是第二象限角，即，得，故仅有为正值点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号例3. 一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选
6、取变量，建立目标函数求最值解：设扇形的半径为x，则弧长为，故面积为，当时，面积最大，此时，所以当弧度时，扇形面积最大25点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数【反馈演练】二1若且则在第_象限 三2已知，则点在第_象限3已知角是第二象限，且为其终边上一点，若，则m的值为_4将时钟的分针拨快，则时针转过的弧度为5若，且与终边相同，则= 6已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_，这个圆心角所在的扇形的面积是_ 7（1）已知扇形的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积（2）若扇形的面积为8，当扇形的中心角为多少弧度时，该扇形周长最小简解：（1）该扇
7、形面积2；（2），得，当且仅当时取等号此时，第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用【基础练习】1. tan600=_2. 已知是第四象限角，则_ 3.已知，且，则tan_ 4.sin15cos75+cos15sin105=_1_【范例解析】例1.已知，求，的值分析：利用诱导公式结合同角关系，求值解：由，得，是第二，三象限角若是第二象限角，则，；若是第三象限角，则，点评：若已知正弦，余弦，正切的某
8、一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复例2.已知是三角形的内角，若，求的值分析：先求出的值，联立方程组求解解：由两边平方，得，即又是三角形的内角，由，又，得联立方程组，解得，得点评：由于，因此式子，三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二【反馈演练】1已知,则的值为_2“”是“A=30”的必要而不充分条件3设,且，则的取值范围是4已知，且，则的值是 5（1）已知，且，求的值（2）已知，求的值解：（1）由，得原式=（2），6已知，求 （I）的值； （II）的值 解：（I） ；所以=（II）由，于是第3课 两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差
9、，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”【基础练习】1. _3cos2x2. 化简_ 3. 若f(sinx)3cos2x，则f(cosx)_ 4.化简：_ 【范例解析】例 .化简：（1）；（2）（1）分析一：降次，切化弦解法一：原式=分析二：变“复角”为“单角”解
10、法二：原式（2）原式=，原式=点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等【反馈演练】1化简2若，化简_3若0，sin cos = ，sin cos = b，则与的大小关系是_4若，则的取值范围是_5已知、均为锐角，且，则= 1 .6化简：解：原式=7求证：证明：左边=右边8化简：解：原式= 第4课 两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” 【基础练习】1写出下列各式的值： （1）_；（2）_；（3）_；（4）_1_2已知则
11、=_ 3求值：（1）_；（2）_4求值：_1_5已知，则_6若，则_【范例解析】例1.求值：（1）；（2）分析：切化弦，通分解：（1）原式=（2），又原式=点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换例2.设，且，求，分析：， 解：由，得，同理，可得，同理，得点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：，等例3.若，求的值分析一：解法一：，又，所以，原式=分析二：解法二：原式=又，所以，原式点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路【反馈演练】1设，若，则=_2已知tan =2，则tan的值为_，tan的值为_3若，则=_4若，则
12、5求值：_6已知求的值解：又从而，第5课 三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在，正切函数在上的性质；2.了解函数的实际意义，能画出的图像；3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型【基础练习】1. 已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期_6_；初相_2. 三角方程2sin(x)=1的解集为_3. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为_第3题4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移_个单位【范例解析】 例1.已知函数（）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个
13、周期；（）说明的图像可由的图像经过怎样变换而得到分析：化为形式解：（I）由 列表，取点，描图：111故函数在区间上的图象是：（）解法一：把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像解法二：把图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，再把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像例2.已知
14、正弦函数的图像如右图所示（1）求此函数的解析式；（2）求与图像关于直线对称的曲线的解析式；（3）作出函数的图像的简图22x=8xyO分析：识别图像，抓住关键点解：（1）由图知，即将，代入，得，解得，即（2）设函数图像上任一点为，与它关于直线对称的对称点为，得解得代入中，得24xyO412（3），简图如图所示点评：由图像求解析式，比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求【反馈演练】1为了得到函数的图像，只需把函数，的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不
15、变）；向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）其中，正确的序号有_2为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移_个单位长度3若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则_2_；_ 4在内，使成立的取值范围为_5下列函数：第5题； ； 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_6如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式解：（1）由图示，这段时间的最大温差是第6题（2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期，解得由图示，这时，将
16、代入上式，可取综上，所求的解析式为（）7如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为（1）求和的值；A第7题（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值解：（1）将，代入函数得，因为，所以又因为该函数的最小正周期为，所以，因此（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或第6课 三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1.理解三角函数，的性质，进一步学会研究形如函数的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究【基础练习】1.写出下列函数的定义域：（1）的定义域是_；（2）的定义域是_2函
17、数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是_（，0）3函数 的最小正周期是_4. 函数y=sin(2x+)的图象关于点_对称5. 已知函数 在（，）内是减函数，则的取值范围是_【范例解析】例1.求下列函数的定义域：（1）；（2）解：（1）即，故函数的定义域为且（2）即故函数的定义域为点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集例2求下列函数的单调减区间：（1）； （2）；解：（1）因为，故原函数的单调减区间为（2）由，得，又，所以该函数递减区间为，即点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制例3求下列函数的最小正周期：（1
18、）；（2） 解：（1）由函数的最小正周期为，得的周期（2） 点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解【反馈演练】1函数的最小正周期为_，2设函数，则在上的单调递减区间为_3函数的单调递增区间是_4设函数，则的最小正周期为_5函数在上的单调递增区间是_6已知函数（）求的定义域；（）若角在第一象限且，求解：（） 由得，即故的定义域为（）由已知条件得从而7 设函数图像的一条对称轴是直线（）求；（）求函数的单调增区间；（）画出函数在区间上的图像解：（）的图像的对称轴， （）由（）知由题意得所以函数（）由x0y1010故函数第7课 三角函数的值域与
19、最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法【基础练习】1.函数在区间上的最小值为 1 2.函数的最大值等于 3.函数且的值域是_4.当时，函数的最小值为 4 【范例解析】例1.（1）已知，求的最大值与最小值（2）求函数的最大值分析：可化为二次函数求最值问题解：（1）由已知得：，则，当时，有最小值；当时，有最小值（2）设，则，则，
20、当时，有最大值为点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围例2.求函数的最小值分析：利用函数的有界性求解解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解例3.已知函数，（I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式 解：（） 又，即，（），且，即的取值范围是点评：第（）
21、问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力【反馈演练】1函数的最小值等于_1_2当时，函数的最小值是_4 _3函数的最大值为_，最小值为_.4函数的值域为 . 5已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_6已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值解：（）因此，函数的最小正周期为（）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为第课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角
22、形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化【基础练习】1在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC.2在中，若，则的大小是_.3在中，若，则【范例解析】例1. 在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知，（1）求的值；（2）求的值分析：利用转化为边的关系解：（1）由（2）由得由余弦定理得： ，解得：或，若，则，得，即矛盾，故点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论例2.在三角形ABC中，已知，试判断该三角形的形状解法一：(边化角)由已知得：，化简得，由正弦定理得：，即，又，又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形
23、解法二：(角化边)同解法一得：，由正余弦定理得：，整理得：，即或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状BDCA例4例3.如图，D是直角ABC斜边BC上一点，AB=AD，记CAD=，ABC=.（1）证明：；（2）若AC=DC，求分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.（1）证明：，（2）解：AC=DC，.，.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值.【反馈演练】1在中，则BC =_2的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_3在中，若，则的
24、形状是_等边_三角形 4若的内角满足，则= 5在中，已知，（）求的值；（）求的值解：（）在中，由正弦定理，所以（）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，6在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值7在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长解：（），又，（），边最大，即又，角最小，边为最小边由且，得由得：所以，最小边第9课 解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2.综合运用三角函数各种知识和方
25、法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力【基础练习】1在200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为_ 2或 2某人朝正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为_ km3一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 kmABCD第4题4如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于C时，测得，求炮击目标的距离解：在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：答：
26、线段的长为 【范例解析】北乙甲例1（1）例 .如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解解法一：如图(2)，连结，由已知，北甲乙例1（2），又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，北乙甲例1（3）因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里解法二：如图（3），连结，由已知，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定
27、理，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程【反馈演练】1江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距_m 2有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长_1_km3某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是_海里4把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是_cm5设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）ABCD
