1、6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时激趣诱思知识点拨今年暑假期间,如果你想去北京旅游,可供选择的比较理想的旅游路线中,坐动车有三条,坐飞机有两条,坐汽车有两条,那么你可以选择的旅游的往返路线共有几条呢?激趣诱思知识点拨一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激
2、趣诱思知识点拨名师点析应用分类加法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类方案,无论用哪类方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法不同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类方案,则AB=,AB=U(U表示全集).激趣诱思知识点拨微练习(1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,现从这两个班中任选一人去参加演讲比赛
3、,则共有种不同的选法.(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3班,则此人的走法共有种.解析:(1)若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有56种不同的选法,所以共有110种不同的选法.(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地.根据分类加法计数原理可得此人的走法共有4+3=7(种).答案:(1)110(2)7分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教
4、A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.名师点析应用分步乘法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.激趣诱思知识点拨微思考如何区分“完成一件事”是分类还是分步
5、?提示:区分“完成一件事”是分类还是分步,关键看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则,是分步.分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨微练习已知某乒乓球队有男队员9人、女队员8人,现从男、女队员中各选1人去参加比赛,则共有种不同的选法.解析:先从男队员中选1人,有9种不同的选法,再从女队员中选1人,有8种不同的选法.由分步乘法计数原理,得共有98=72(种)不同的选法.答案:72激趣诱思知识点拨三
6、、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1.联系:都是有关做一件事的不同方法种数的问题.2.区别:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】激趣诱思知识点拨微练习判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“
7、”.(1)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.()(2)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情.()(3)分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题.()(4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.()答案:(1)(2)(3)(4)分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类加法计数原理例1某校高三共有三个班,各班人数如下表:班别男生人数女生人数总人数高三(1)班3
8、02050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三素养形成当堂检测思路分析:(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有
9、三类方案,因此也应采用分类加法计数原理.分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有5
10、0+60+55=165(种)不同的选法.分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.根据分类加法计
11、数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+30+20=80(种)不同的选法.分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.分类加法计数原理的推广分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+
12、m2+m3+mn种不同的方法.2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点(1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类;(2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事;(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.利用分类加法计数原理解题的一般步骤(1)分类,即将完成这件事情的方法分成若干类;(2)计数,求出每一类中的方
13、法数;(3)结论,将各类的方法数相加得出结果.分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时-【新】人教A版高中数学选择性必修第三册PPT全文课件【完美课件】探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1甲盒中有3个编号不同的红球,乙盒中有5个编号不同的白球,某同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有()A.3种B.5种 C.8种D.15种解析:要完成“摸出1个球”这件事,有两类不同的方法.第1类,从甲盒中取出1个球,有3种不同的取法;第2类,从乙盒中取出1个球,有5种不同的取法.故共有
14、3+5=8(种)不同的方法.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测分步乘法计数原理例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复)解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第1步,有10种拨号方式,所以m1=10;第2步,有10种拨号方式,所以m2=10;第3步,有10种拨号方式,所以m3=10;第4步,有10种拨号方式,所以m4=10.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10101010=10 000(个)四位数的号码.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多
15、少个四位数的号码?解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第1步,有10种拨号方式,即m1=10;第2步,去掉第1步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9;第3步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8;第4步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10987=5 040(个)四位数的号码.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步,将完成这件事的过程分成若干步;(2)计数,求出每一步中的方法数;(3)结论,将每一步中的方法数相乘得最终结果.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2张老师要从教
16、学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到三层有多少种不同的走法?解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法;第2步,从二层到三层有2种不同的走法.根据分步乘法计数原理知,张老师从教学楼的一层到三层的不同走法有42=8(种).探究一探究二探究三素养形成当堂检测两个计数原理的应用例3现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?探究
17、一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4类,从四班学生中选1人,有10种选法.由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).(2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.由分步乘法计数原理知共有不同的选法N=78910=5 040(种).探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)分六类,每类又分两步.从一、二班学生中各选1人,有78种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有79种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,
18、有710种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有89种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有810种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有910种不同的选法.由分类加法计数原理知共有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种).探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这
19、件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3如图,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:要从甲地到丙地共有两类不同的方案:第1类,从甲地经乙地到丙地,共需两步完成,第1步,从甲地到乙地,有3条公路可走;第2步,从乙地到丙地,有2条公路可走.根据分步乘法计数原理,从甲地经乙地到丙地有32=6(种)不同的走法.第2类,从甲地不经乙地到丙地,有2
20、条水路可走,即有2种不同的走法.由分类加法计数原理知,从甲地到丙地共有6+2=8(种)不同的走法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想的应用典例在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12 D.15探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:分0个相同、1个相同、2个相同讨论.(1)若0个相同,则信息为1001,共1个.(2)若1个相同,则信息为0001,1101,1011,1000,共4个.(3)若2个相同,又分为以下情况:若位置
21、一与二相同,则信息为0101;若位置一与三相同,则信息为0011;若位置一与四相同,则信息为0000;若位置二与三相同,则信息为1111;若位置二与四相同,则信息为1100;若位置三与四相同,则信息为1010.共有6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 利用分类加法计数原理解题时的注意点(1)切实理解“完成一件事”的含义,根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏;(2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必属于某一类方案,分类的关键在于做到“不重不漏”;(3)确定题目中是否有
22、特殊条件限制.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,安排方法共有()A.8种B.6种 C.14种D.48种解析:由分类加法计数原理,得完成升旗这一任务分两类,安排方法共有8+6=14(种).答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为()A.11B.28C.16 384D.2 401解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选法
23、.故共有47=28(种)不同的配法.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.(2020山东济南高三三模)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有()A.50种 B.60种C.80种D.90种探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择
24、有10种,此时有210=20(种)不同的选法.若甲选择马或猴,此时甲的选择有2种,乙的选择有3种,丙的选择有10种,此时有2310=60(种)不同的选法.一共有20+60=80(种)不同的选法.故选C.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有个.解析:第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同取值.根据分步乘法计数原理,知共有虚数66=36(个).答案:36探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.某校高中三年级一班有优秀团员8人,二班有优秀团员10人,三班有优秀团员6人,学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.若推选1人为总负责人,有种不同的选法.解析:分三类:第1类,从一班的8名优秀团员中产生,有8种不同的选法;第2类,从二班的10名优秀团员中产生,有10种不同的选法;第3类,从三班的6名优秀团员中产生,有6种不同的选法.由分类加法计数原理可得,共有N=8+10+6=24(种)不同的选法.答案:24
