1、第二章第二章 流体力学基本方程流体力学基本方程 2目目 录录2.4 2.4 流体运动的微分方程流体运动的微分方程 图2.4.1控制体(1)(1)理想流体运动的微分方程（理想流体运动的微分方程（EulerEuler方程）方程）3zzppyyppxxppd,d,dd d d,d d d,d d dxyzfx y zfx y zfx y zzyx,zyxfff,设在设在三个坐标轴方向上的单位质量力分量分别为三个坐标轴方向上的单位质量力分量分别为则作用于六面体上的质量力分量分别为则作用于六面体上的质量力分量分别为 tvtvtvzyxd/d,d/d,d/d设六面体在设六面体在三个坐标轴方向上的加速度分量
2、分别为三个坐标轴方向上的加速度分量分别为根据牛顿第二运动定律，可得根据牛顿第二运动定律，可得 zyx,4tvzyxzyxfyxzzppyxptvzyxzyxfzxyyppzxptvzyxzyxfzyxxppzypzzyyxxdddddddddd)d(dddddddddddd)d(dddddddddddd)d(ddtvzpftvypftvxpfzzyyxxdd1dd1dd15zvvyvvxvvtvtvzvvyvvxvvtvtvzvvyvvxvvtvtvzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxxddddddzvvyvvxvvtvzpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfz
3、zzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111v vv vv v)(1tpf6在在x方向应用牛顿第二运动定律可得方向应用牛顿第二运动定律可得d d dd d+(d)d dd d(d)d ddd d(d)d dd d ddyxxxxxxxxyxyxzxxzxzxpfx y zpy zpxy zx zyx zxyvx yzx yx y zzt图2.4.2 控制体(2)(2)粘性流体运动的微分方程（粘性流体运动的微分方程（N NS S方程）方程）71d()dyxxxzxxxpvfxyzt上式两边同除以质量上式两边同除以质量 得得zyxddd由牛顿内摩擦定律，可得到三维流动的广义牛顿内摩擦定律由
4、牛顿内摩擦定律，可得到三维流动的广义牛顿内摩擦定律222222d1()()dyxxxxxzxvvvvvvvpfxxyzxxyzt)(2)(2)(2yvzvxvzvxvyvzyxzyyzzxyzxxzyxzyxxy+2+2+2xxxyyyzzzvppxvppyvppz 8222222222222222222222222d1()dd1()dd1()d1()xxxxxyyyyyzzzzzxxxxxxxxyzvvvvpfxxyztvvvvpfyxyztvvvvpfzxyztvvvvvvvpfvvvxxyztxy22222222222221()1()1()xyyyyyyyyxyzzzzzzzzzxyzz
5、vvvvvvvpfvvvyxyztxyzvvvvvvvpfvvvzxyztxyzpt fv vvvvvvv9粘性不可压缩流体的运动微分方程（N-S）（1 1）理想流体沿流线的伯努利方程）理想流体沿流线的伯努利方程1.1.伯努利方程的推导伯努利方程的推导 欧拉运动方程五个假设欧拉运动方程五个假设2.5 2.5 伯努利方程伯努利方程10伯努利（瑞典），伯努利（瑞典），17381738，流体动力学流体动力学“流速增加，压强降低流速增加，压强降低”（1）定常流动）定常流动（2）沿流线积分）沿流线积分（3）理想流体）理想流体（4）质量力有势）质量力有势（5）不可压缩）不可压缩111xxxxxxyzyyy
6、yyxyzzzzzzxyzvvvvpfvvvxtxyzvvvvpfvvvytxyzvvvvpfvvvztxyz11111xxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzvvvpfvvvxxyzvvvpfvvvyxyzvvvpfvvvzxyz1dddddxxxxxyzvvvpfxxvxvxvxxxyzdddzdd,ddyxzxxyzxyvxvy v xvzvvv1ddddddxxxxxxxxxvvvpfxxvxvyvzvvxxyz121ddd1ddd1ddd 1ddd(ddd)ddd xxxyyyzzzxxyyzzpfxxvvxpfyyvvypfzzvvzUUUpppxyzxyzvvvvvvxyzxy
7、z2 d dd/2pUv,xyzUUUfffxyz1322222112212dd/d/2/20,0,=222xyzUpvUpvCfffg UgzpvzCggpvpvzzCgggg 2.2.伯努利方程的意义伯努利方程的意义（1）几何意义：用几何图形来表示各物理量之间的关系。表明：在流线上的总水头为一常数。（2）物理意义因此说伯努利方程是能量转化和守恒定律在流体力学中的具体反映。表明：在流线上的单位重量流体的总能量为一常数。位置水头位置水头压强水头压强水头速度水头速度水头缓变流的特性当流线的曲率半径很大或流体之间的夹角很小时，流线近似为平行直线，当流线的曲率半径很大或流体之间的夹角很小时，流线近似
8、为平行直线，这样的流动称为这样的流动称为缓变流缓变流，否则称为，否则称为急变流急变流。（2 2）理想流体总流的伯努利方程）理想流体总流的伯努利方程14动能修正系数 用过流断面流体流动的真实速度用过流断面流体流动的真实速度u所表示的动能与用过流断面平均速度所表示的动能与用过流断面平均速度v所所表示的动能之比称为动能修正系数：表示的动能之比称为动能修正系数：331d212Au Av A1522()()zA rup AppA gA rrrpuzrggr 缓变流缓变流:20ugrpzCg 均匀流和渐变流的过水断面上，动水压强分布规律相同均匀流和渐变流的过水断面上，动水压强分布规律相同,即同一过水断面上
9、即同一过水断面上各点的测压管水头为常数（各点的测压管水头为常数（缓变流任意过流截面上流体静压力的分布规律与平衡流体中的相同）：）：常数常数C在同一缓变过断面上值不变，对不同的缓变过流断面在同一缓变过断面上值不变，对不同的缓变过流断面C为不同值。为不同值。管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流，由多个微元流束组成。管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流，由多个微元流束组成。假设假设 A1、A2是缓变流截面，对于微元流束：是缓变流截面，对于微元流束：2211221222pupuzzggggA1A2dA1dA2u1u2gdQdAgudAgu221116gdQgugpzgdQgugpz)2
10、()2(22222111A1A2dA1dA2u1u21222112212()()22()()()AAAApupuzgdQzgdQggggpppzdQzdQzQggg12322232211221122,22222AAu dAuVVdQdQQgggV ApVpVzzgggg通过断面通过断面1和和2的能量的能量1720010112ppVzzgggh01p0p0011,1zzh12Vgh1.沿流线沿流线gugpzgugpz22222221112222211122whgugpzgugpz2.对于总流对于总流whgVgpzgVgpz222222221111（3 3）实际流体的伯努利方程）实际流体的伯努利方
11、程（4 4）伯努利方程应用举例）伯努利方程应用举例18解：解：考虑缓变流截面1-1、2-2和3-3，取gVgpzgpz2233311例：例：水深 1.5 m，大截面开口水箱，箱底接一长 2 m的开口竖直管，假设管中流动定常，求竖直管中 2-2截面上的压强。把基准面O-O取在3-3上，对1-1和3-3写出总流的伯努利方程13apppOO11221.5m1.0m1.0m33smzzgV/285.8)(231319OO11221.5m1.0m1.0m33(1)恒定(定常)(2)不可压流体(3)重力场(4)无其它能量的输入或输出(5)总流量沿程不变注意点注意点:gVzgVgpz222332222232
12、32,()9806VVpg zz 对2-2和3-3写出总流的伯努利方程应用条件应用条件:(1)所选过流断面为均匀流或渐变流(2)基准面选取任意,统一(3)压强项可取绝对,相对,统一(4)计算断面测压管水头时,可选断面任一点(5)动能修正系数,一般可取为120如图所示，B点流速为零，形成驻点，驻点处的压强称为总压，可由弯管中静止液体的高度决定，例：皮托管测速例：皮托管测速。222(,0)2222()2AABBAABABABBABApVpVpVpzzzz VgggggggVg HHgh21BBpgH被测点 A点压强为，AApgH对A、B两点列出沿流线的伯努利方程，假设测压管所在断面1、2为缓变流截
13、面，截面形心点为计算点，对断面1、2写出伯努利方程，取 1 2 1，得例：例：文丘里流量计原理。gVgpzgVgpz2222222111211112221122,AdV AV AVVVAdgpzgpzddgV22114122212 hA1A2 V1V2p1p2 1z2z22压差与测压管液面高度差的关系为：-流量修正系数 (0.95 0.98)11221212()pgzpg zhg hppzzhgg hA1A2 V1V2p1p2 1z2z4122222)/(12)1(4ddhgdAVQ232.6 2.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用动量积分方程和动量矩积分方程及其应用根据动量定理：流体系
14、统的动量对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力，即 F Fv vK KVVttddddd由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为SVVtSVVdddddn np pv vf根据式（2.3.7）可得控制体的动量积分方程SVSvVtSVSnVddddn np pv vv vf f（1 1）动量积分方程）动量积分方程24（2 2）动量矩积分方程）动量矩积分方程 H HF F根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力对同一点的力矩，即F Fr rv vr rH HVVttdddddSVVtSVVdddddn np pr rr rv vr rf f根
15、据雷诺输运方程式（2.3.5）可得控制体的动量矩积分方程SVSvVtSVSnVddddn np pr rr rv vr rv vr rf f25（3 3）动量积分方程和动量矩积分方程的应用动量积分方程和动量矩积分方程的应用 (a)(b)(c)图2.6.1 水流对弯管的作用力1.水流对弯管的作用力26动量方程为)()()(12222111v vv vn nn nF FQAppAppaai,n1sincos2jinsin)(sincos)()()cos(222221112AppQvFAppAppvvQFayaax水流对弯管作用力的两个分量可写为 固定此段弯管所需的外力为sin)(sincos)()
16、()cos(222221112AppQvFAppAppvvQFayaax27图2.6.4 射流对固定叶片的作用图sin)cos1(020020AvFAvFyx28图2.6.5 射流对运动叶片的作用sin)()cos1()(020020AuvFAuvFyx29例例 求射流对斜置平板(单位厚度)的作用力F。设：流量为 Q，速度为V，来流方向与板的夹角为。解：解：取控制体如图。因射流处于大 气之中，射流中压强都近似等于大气压。又由伯努利方程知 V1=V2=V。x 方向动量方程：y 方向动量方程：1 122cosxQVQ VQVFsinyQVF121 cos1 cos,22QQ QQ由连续性条件 Q=
17、Q1+Q2 和 x 方向的动量方程还可以解出2.射流对平板和叶片的作用力303.水流对喷嘴的作用力 图2.6.6 喷嘴11211121()()()()aaFppAQ vvFppAQ vv由连续方程得)/1()(1222212AAAvvvQ 由伯努利方程 得appgvgpgvgp2222211,2231求出 后代入动量方程得22122111/2appvAA2111/121)(AAAppFa2v4.洒水器 图2.6.7 喷水器因此本问题的动量矩积分方程可写成02211rQvrQvv设 为喷水的相对速度，则有 1122vvrvvr2121212122222221212()4()4(),()()v rrQ rrqrrMq vrvrrrdrrd21 12 2,04dQv v rv r3233谢谢！
