1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)第一章1.4三角函数的图象与性质学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.3.掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一函数的周期性如果函数f(x)满足f(x3)f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案答案答案不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x3)f(x)，才可以说3是f(x)的周期.思考2所有的函数都具有周期性吗？答案答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3
2、周期函数都有最小正周期吗？答案答案答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x)c(c为常数，xR)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定义域内的_值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数叫做f(x)的 .梳理梳理非零常数T每一个f(xT)f(x)非零常数T最小的正数最小正周期思考1知识点二正弦函数、余弦函数的周期性证明函数ysin x和ycos x都是周期函数.答案答案答案sin
3、(x2)sin x，cos(x2)cos x，ysin x和ycos x都是周期函数，且2就是它们的一个周期.思考2证明函数f(x)Asin(x)(或f(x)Acos(x)(A0)是周期函数.答案答案由诱导公式一知，对任意xR，都有Asin(x)2Asin(x)，同理，函数f(x)Acos(x)(0)也是周期函数.答案梳理梳理由sin(x2k)，cos(x2k)(kZ)知，ysin x与ycos x都是 函数，都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 .sin xcos x周期2k(kZ且k0)2思考知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性对于xR，sin(x)sin x，cos(x)cos x，这说
4、明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案答案答案 奇偶性.梳理梳理(1)对于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是 函数，正弦曲线关于 对称.(2)对于ycos x，xR恒有cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x是 函数，余弦曲线关于 对称.原点奇偶y轴题型探究解答类型一三角函数的周期性例例1求下列函数的最小正周期.(1)ysin(2x )(xR)；函数f(x)sin z的最小正周期是2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得.(2)y|sin x|(xR).解解因为y|sin x|其图象如图所示，所以该函数的
5、最小正周期为.解答反思与感悟对于形如函数yAsin(x)，A0时的最小正周期的求法常直接利用T 来求解，对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解.解答跟踪训练跟踪训练1求下列函数的周期.(2)y|cos 2x|.例例2判断下列函数的奇偶性.类型二三角函数的奇偶性解答f(x)是偶函数.(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；解答f(x)的定义域关于原点对称.又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)，f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x).f(x)为奇函数.解答解解1sin x0，sin x1，定义域不关于原
6、点对称，该函数是非奇非偶函数.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.解答跟踪训练跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.解解f(x)sin 2xx2sin x，xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数.解答f(x)既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用解答解解f(x)的最小正周期是，f(x)是R上的偶函数，反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变
7、量x的值转化到可求值区间内.解答解答类型四函数周期性的综合应用f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0.同理，可得每连续六项的和均为0.f(1)f(2)f(3)f(2 020)f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020)反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练跟踪训练4设函数f(x)，则f(1)f(2)f(3)f(2 015).0答案解析f(1)f(2)f(3)f(2 015)335f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014
8、)f(2 015)f(33561)f(33562)f(33563)f(33564)f(33565)3350f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)当堂训练答案234512.下列函数中最小正周期为的偶函数是答案23451答案23451解析23451f(x)cos 2x.又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期为的偶函数.4.函数ysin(x )的最小正周期为2，则的值为 .答案23451解析23451答案解析规律与方法1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T，如y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，0，xR)的周期T .2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.本课结束
