1、灿若寒星灿若寒星*整理制作整理制作教学目标：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决教学目标：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决相关问题；感受数学文化的价值和我国传统数学的成就。相关问题；感受数学文化的价值和我国传统数学的成就。备课人：姚凤丽备课人：姚凤丽灿若寒星问题解决问题解决问题情境问题情境某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高解到每层楼高3米，消防队员取来米，消防队员取来6.5米长的米长的云梯云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米米,请问消防队员能否进入三楼灭火请问消防队员能否进入三楼灭火?灿若寒星（
2、图中每一格代表一平方厘米）（图中每一格代表一平方厘米）观察左图：观察左图：（1 1）正方形）正方形P P的面积是平方厘米。的面积是平方厘米。（2 2）正方形）正方形Q Q的面积是平方厘米。的面积是平方厘米。（3 3）正方形）正方形R R的面积是平方厘米。的面积是平方厘米。121上面三个正方形的上面三个正方形的面积之间有什么关面积之间有什么关系？系？SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰等腰直角三角形直角三角形ABCABC三边长度之三边长度之间存在什么关系吗？间存在什么关系吗？活动一活动一S Sp p=AC=AC2 2S SQ Q=BC=BC2 2S SR R=AB=AB2 2灿
3、若寒星这说明这说明在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中,两两直角边的平方和等于斜边的平方直角边的平方和等于斜边的平方那么那么,在一般的直角三角形中在一般的直角三角形中,两直角边两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢的平方和是否等于斜边的平方呢?想一想想一想灿若寒星P的面的面积积(单位单位长度长度)Q的面的面积积(单位单位长度长度)R的面的面积积(单位单位长度长度)图图2图图3P、Q、R面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系QPR图图2QPR图图3ABCABC916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=AB2(每一小方格表示每一小方格表示1平方厘米平方厘米)灿若寒星
4、QPR图图1-3QPR图图1-4把把R R看作是四个直角三角形的面积看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。小正方形面积。灿若寒星QPR图图3QPR图图4把把R R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。432147225S S正方形正方形R R灿若寒星分别以分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一为直角三角形的直角边作出一个直角三角形个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。上述关系对这个直角三角形是否成立。灿若寒星概括概括对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、
5、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.揭示了直角三角形三条边的揭示了直角三角形三条边的关系关系aABCbc几何语言：几何语言：在在RtABC中中C=90（已知）（已知）a2+b2=c2（勾股定理）（勾股定理）勾股定理勾股定理:灿若寒星两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，
6、定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家多年国家多年两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
7、为们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。经发行了一枚纪念邮票。我国是最早了解勾股定理的国家我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。灿若寒星勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史
8、，远在公元前三千年的巴比伦人勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据据周髀算经周髀算经记载，商记载，商高（公元前高（公元前11201120年）关于勾股定理已有明确的认识，年）关于勾股定理已有明确的认识，周髀算经周髀算经中有中有商高商高答答周公周公的话：的话：“勾广三，股修四，径隅五勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者同书中还有另一为学者陈子陈子（公元前六七世纪）与（公元前六七世纪）与荣方荣方的一段对话：的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，求邪（斜）至日者，以日下
9、为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即即邪至日邪至日2 2=勾勾2 2+股股2 2陈子陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最先发明的先发明的.勾股定理曾引起很多人的兴趣勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，世界上对这个定理的证明方法很多，19401940年年卢米斯卢米斯收集了这个定理的收集了这个
10、定理的370370种证明，期中包括大画家种证明，期中包括大画家达达芬奇芬奇和美国总统和美国总统詹詹姆士姆士阿阿加菲尔德加菲尔德的证法。的证法。到目前为止到目前为止,已有四百多种证法已有四百多种证法.灿若寒星勾股定理的证明(一)最早是由1700多年前多年前三国时期的数学家赵爽为周髀算经作注时给出的，他用面面积法积法证明了勾股定理你能用面积法面积法证明勾股定理吗？“弦图”灿若寒星勾股定理的证明(二)灿若寒星美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂
11、、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。有趣的总统证法有趣的总统证法灿若寒星12S梯形梯形=(a+b)(a+b)=(a2+b2)+ab12S梯形梯形=c2+2ab=c2+ab121212即：在即：在RtABC中，中，C=90c2=a2+b2伽菲尔德证法伽菲尔德证法灿若寒星cab22acb22abcc2=a2+b2a2=c2b2b2=c2a2bca22结论变形结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；灿若寒星求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长:8 8x x171712125 5x x解：在直角三角形中，解：在直角三角形中，依勾股定理
12、可得：依勾股定理可得：82+X2=172即：即：X=172-82=15解：在直角三角形中，解：在直角三角形中，依勾股定理可得：依勾股定理可得：52+122=X2即：即：X=52+122=13灿若寒星课堂练习课堂练习求出下列直角三角形中未知边的长度。求出下列直角三角形中未知边的长度。6x25248X灿若寒星例题例题1:1:在直角在直角ABCABC中中,C=90,C=90,a,b,c,a,b,c分别为分别为A,B,CA,B,C的对边的对边.(1)(1)若若a=3,a=3,b=4,=4,求求c的长的长(2)若若a=5,c=12,求求b的长的长(3)(3)若若a:b=3:4,c=15,a:b=3:4,
13、c=15,求求a,ba,b的长的长练习练习(1)在直角在直角ABC中，中，A=90a=5，b=4，则求，则求c的值？的值？(2)在直角在直角ABC中，中，B=90，a=3，b=4，则求，则求c的值？的值？c=24，b=25，则求，则求a的值？的值？(3)在直角在直角ABC中，中，c=90，若若a:c=5:13,b=24,求求a,c的长的长灿若寒星(3)如果一个直角三角形的两条边长分别如果一个直角三角形的两条边长分别是是5厘米和厘米和12厘米，那么这个三角形厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？的周长是多少厘米？可要当心噢！在直角在直角ABC中，中，a=3，b=4，则，则求求c的值？的值？灿若寒
14、星ADBC34已知已知ACB=90ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.CDAB,AC=3,BC=4.求求CDCD的长的长.灿若寒星例题例题2:如图，将长为如图，将长为5.41米的梯子米的梯子AC斜靠在墙上，斜靠在墙上，BC长为长为2.16米，米，求梯子上端求梯子上端A到墙的底端到墙的底端B的距离的距离AB.（精确到（精确到0.01米）米）解在解在RtABC中中ABC=90,BC=2.16,CA=5.41,根据勾股定理得根据勾股定理得4.96（米）（米）222216.241.5BCACAB灿若寒星问题解决问题解决问题情境问题情境某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高解到每层楼高3米，消防队员取来米，消防队员取来6.5米长的米长的云梯云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米米,请问消防队员能否进入三楼灭火请问消防队员能否进入三楼灭火?灿若寒星课堂小结课堂小结 1.1.说一说本节课我有哪些收获说一说本节课我有哪些收获?2.2.本节课我还有哪些疑惑本节课我还有哪些疑惑?灿若寒星
