1、 几何问题几何问题 立体立体几何几何掌握长方体、立方体、圆柱、圆锥掌握长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式；学会计的体积和表面积计算公式；学会计算由基本立体图形通过切割、拼接算由基本立体图形通过切割、拼接而构成的复杂立体图形的体积和表而构成的复杂立体图形的体积和表面积；掌握平面图形通过折叠、旋面积；掌握平面图形通过折叠、旋转所得立体图形的计算转所得立体图形的计算.典型例题典型例题解：解：长方体的棱包含长方体的棱包含4条长、条长、4条宽、条宽、4条高，条高，所以棱长总和所以棱长总和=(3+2+1)4=24厘米，由此厘米，由此 可求出正方体的棱长可求出正方体的棱长=2412=2厘米厘米
2、.1、一个长方体的长、宽、高分别为一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、厘米、2厘米、厘米、1厘米厘米.若它的棱长总和等于另一个正方若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体和正方体的表面积体的棱长总和，则长方体和正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？少立方厘米？所以长方体的表面积所以长方体的表面积=(32+31+21)2=22平方厘米；正方体的表面积平方厘米；正方体的表面积=226=24平方厘米平方厘米.因此长方体和正方体的表面积因此长方体和正方体的表面积之比是之比是22:24=11:12.而长方体的体积而长方体的体积=长
3、长宽宽高高=321=6立立方厘米；正方体的体积方厘米；正方体的体积=棱长棱长3=23=8立方厘立方厘米米.因此因此长方体的体积比正方体的体积少长方体的体积比正方体的体积少2立立方厘米方厘米.典型例题典型例题2、如图，将长为如图，将长为13厘米，宽为厘米，宽为9厘米的长方厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘厘米的正方形呢？米的正方形呢？13 9 2 解：解：(1)将长方体的长、宽、高标在展开图
4、中，将长方体的长、宽、高标在展开图中，如图所示：如图所示：不难发现，折叠成的长方体容器的长是不难发现，折叠成的长方体容器的长是13-2-2=9厘米，宽是厘米，宽是9-2-2=5厘米，高厘米，高2厘米，厘米，因此容器的体积就是因此容器的体积就是952=90立方厘米立方厘米.(2)同理，折叠成的长方体容器的长是同理，折叠成的长方体容器的长是13-3-3=7厘米，宽是厘米，宽是9-3-3=3厘米，高厘米，高3厘米，因厘米，因此容器的体积就是此容器的体积就是733=63立方厘米立方厘米.高高 长长 宽宽 9 5 2 3、用棱长是用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形
5、，这个图形的表面积是多少平方厘米？立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？典型例题典型例题如图，从立体图形上方和下方看去，看到的都如图，从立体图形上方和下方看去，看到的都是是9块小正方形，面积是块小正方形，面积是9平方厘米平方厘米.从四个侧面看去，看到的是图从四个侧面看去，看到的是图2形式的形式的7块小正块小正方形，面积是方形，面积是7平方厘米平方厘米.故立体图形的表面积是故立体图形的表面积是92+74=46平方厘米平方厘米.4、(1)如图一所示，将一个棱长为如图一所示，将一个棱长为6的正方体从的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的的长方体，剩余部
6、分的表面积是多少？长方体，剩余部分的表面积是多少？典型例题典型例题5 4 3 6 解：解：从上、下、左、右、前、后从上、下、左、右、前、后这这6个方向去观察所给的图形个方向去观察所给的图形.从各个方向看过去，都是从各个方向看过去，都是66的的正方形正方形.所以切割后立体图形的所以切割后立体图形的表面积为：表面积为：626=216.4、(2)如图二所示，将一个棱长为如图二所示，将一个棱长为5的正方体，的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？的长方体，它的表面积减少了百分之几？典型例题典型例题5 4 3 5 解：解：同
7、样地，同样地，从从6个方向去个方向去 观察所给的图形观察所给的图形.切割前立方体的棱长是切割前立方体的棱长是5，表面积为：表面积为：526=150.切割后，减少的面积是图中切割后，减少的面积是图中前后面的虚线部分，减少的前后面的虚线部分，减少的总面积为总面积为2(34)=24.所以，表面积减少了所以，表面积减少了24150=16%.5、如图所示，有一个棱长为如图所示，有一个棱长为2厘米的正方体厘米的正方体.从正方体的上面正中向下挖一个棱长为从正方体的上面正中向下挖一个棱长为1厘米厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为挖一个棱长为0.5厘
8、米的小洞；第三个小洞的挖厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前面两个相同，棱长为法与前面两个相同，棱长为0.25厘米厘米.最后得到最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？的立体图形的表面积是多少平方厘米？典型例题典型例题解：解：这个图形是由一个正方这个图形是由一个正方体挖掉三个正方体后得到的，体挖掉三个正方体后得到的，因此我们可以来计算每挖一因此我们可以来计算每挖一个正方体后表面积的变化个正方体后表面积的变化.在挖第一个洞后，上表面除了减少了一个在挖第一个洞后，上表面除了减少了一个边长为边长为1厘米的正方形，还多出来了厘米的正方形，还多出来了5个边个边长为长为1厘米的正方形，因此表面积增加了厘米的
9、正方形，因此表面积增加了4平方厘米；平方厘米；挖第二个洞，多出来了挖第二个洞，多出来了4个个0.50.5的面，的面，表面积增加了表面积增加了0.50.54=1平方厘米；平方厘米；挖第三个洞，多出来了挖第三个洞，多出来了4个个0.250.25的面，的面，表面积增加了表面积增加了0.250.254=0.25平方厘米平方厘米.原立方体的表面积是原立方体的表面积是226=24平方厘米平方厘米.最后，总的表面积是最后，总的表面积是24+4+1+0.25=29.25平方厘米平方厘米.6、(1)如图一，将如图一，将4块棱长为块棱长为1的正方体木块排的正方体木块排成一排，拼成一个长方体成一排，拼成一个长方体.
10、那么拼合后这个长方那么拼合后这个长方体的表面积，比原来体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和个正方体的表面积之和少了多少？少了多少？(2)一个正方体形状的木块，棱长为一个正方体形状的木块，棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体，如图所示，将其切成两个长方体.这两部分这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀，将其切成大大小小共刀，将其切成大大小小共18块长方体块长方体.这这18块长块长方体表面积总和又是多少？方体表面积总和又是多少？典型例题典型例题68167、如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们如图所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都
11、标在图上，单位是厘米的高和底面直径都标在图上，单位是厘米.请问：请问：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？圆锥体积与圆柱体积的比是多少？典型例题典型例题8 8 44 1:248、如图所示一块三层蛋糕，由三个高都为如图所示一块三层蛋糕，由三个高都为1分分米，底面半径分别为米，底面半径分别为1.5分米、分米、1分米和分米和0.5分米分米的圆柱体组成的圆柱体组成.请问：请问：(1)这个蛋糕的表面积是这个蛋糕的表面积是多少平方分米？多少平方分米？(取取3.14)(2)如果沿经过中轴如果沿经过中轴线线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？的两部
12、分，那表面积之和又是多少？典型例题典型例题A B 1 1.5 10.5 1 1 32.9744.979、有大、中、小三个立方体水池，它们的有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是内部棱长分别是6米、米、3米和米和2米米.三个池子都三个池子都装了半池水装了半池水.现将两堆碎石分别沉没在中、现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和厘米和4厘米厘米.如果将这堆碎石都沉没在大如果将这堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？(结果精确到小数点后两位结果精确到小数点后两位)
13、典型例题典型例题解：解：先求投在中水池中的碎石体积：中水池先求投在中水池中的碎石体积：中水池底面正方形边长底面正方形边长3米，水面升高米，水面升高6厘米，这堆厘米，这堆碎石的体积碎石的体积=3003006=540000立方厘米立方厘米.再求投在小水池中的碎石体积：小水池底面再求投在小水池中的碎石体积：小水池底面正方形边长正方形边长2米，水面升高米，水面升高4厘米，这堆碎石厘米，这堆碎石的体积的体积=2002004=160000立方厘米立方厘米.所以两堆碎石的体积一共为：所以两堆碎石的体积一共为：540000+160000=700000立方厘米立方厘米.把它们投进大水池，水池升高部分的体积就把它
14、们投进大水池，水池升高部分的体积就是是700000立方厘米立方厘米.由于大水池底面正方形边由于大水池底面正方形边长为长为6米，所以大水池上升的高度为米，所以大水池上升的高度为700000(600600)=35/181.94厘米厘米.10、有一个高有一个高24厘米，底面半径为厘米，底面半径为10厘米的厘米的圆柱形容器，里面装了一半水圆柱形容器，里面装了一半水.现有一根长现有一根长30厘米，底面半径为厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒厘米的圆柱体木棒.将将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触底面接触.这时水面升高了多少厘米？这时水面升高了多少厘米？典
15、型例题典型例题解：解：木棒浸入水之前，容器里水是底面半径木棒浸入水之前，容器里水是底面半径为为10厘米，高为厘米，高为242=12厘米的圆柱体厘米的圆柱体.所以所以水的体积为水的体积为10212=1200立方厘米立方厘米.木棒浸入水之后，水是从半径为木棒浸入水之后，水是从半径为10厘米的大厘米的大圆柱体挖掉半径为圆柱体挖掉半径为2厘米的小圆柱体后余下厘米的小圆柱体后余下的部分，体积为两个圆柱体之差的部分，体积为两个圆柱体之差.由于两个圆由于两个圆柱体的高相同，所以这部分水的体积就等于柱体的高相同，所以这部分水的体积就等于底面积乘以公共的高底面积乘以公共的高.水的底面是一个环形，即两个圆的差，其
16、中水的底面是一个环形，即两个圆的差，其中大圆半径是大圆半径是10厘米，小圆半径是厘米，小圆半径是2厘米，则厘米，则底面面积是底面面积是102-22=96平方厘米平方厘米.因此因此木棒浸入水中后，水的新高度是木棒浸入水中后，水的新高度是120096=12.5厘米，比原来升高了厘米，比原来升高了12.5-12=0.5厘米厘米.1、有一个长方体，如果长增加有一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加厘米，则体积增加90立方厘立方厘米；如果高增加米；如果高增加4厘米，则体积增加厘米，则体积增加96立方厘米立方厘米.求这求这个长
17、方体的表面积个长方体的表面积.2、有一块长、宽、高分别为有一块长、宽、高分别为10厘米、厘米、8厘米、厘米、6厘米厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，请问：这个圆柱体木块的体体表面上的圆柱体木块，请问：这个圆柱体木块的体积为多少？积为多少？(取取3)3、张大爷去年用长张大爷去年用长2米、宽米、宽1米的长方形苇席围成了米的长方形苇席围成了一个容积最大的圆柱体粮囤一个容积最大的圆柱体粮囤.今年他改用长今年他改用长3米、宽米、宽2米的长方形苇席来围，也同样围成容积最大的圆柱体米的长方形苇席来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤粮囤.请问：今年粮囤是去年粮囤的多少倍？请问：今年粮囤是去年粮囤的多少倍？对应练习对应练习
