1、8.5.1直线与直线平行直线与直线平行8.5.2直线和平面平行直线和平面平行在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理.类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容。本节我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质.新课引入新课引入我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？学习新知学习新知abced观察观察:将一张纸如图进行折叠将一张纸如图进行
2、折叠,则各折痕及边则各折痕及边 a,b,c,d,e,之间有何关系？之间有何关系？ab c d e 基本事实：基本事实：在空间平行于同一条直线的两条直线互在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行相平行平行线的传递性平行线的传递性推广推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.学习新知学习新知8.5.1直线与直线平行直线与直线平行它给出了判断空间两条直线平行的依据.例、已知四边形例、已知四边形ABCD是空间四边形，是空间四边形，E、H分别是分别是边边AB、AD的中点，的中点，F、G分别是边分别是边CB、CD上的中点，上的中点，求证：四边形求证：四
3、边形EFGH是平行四边形是平行四边形.AcBDEFGH典型例题典型例题例、已知四边形例、已知四边形ABCD是空间四边形，是空间四边形，E、H分别是边分别是边AB、AD的中点，的中点，F、G分别是边分别是边CB、CD上的中点，求证：四边形上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边是平行四边形形.AcBDEFGH变式变式:已知四边形已知四边形ABCD是空间四边形，是空间四边形，E、H分别是边分别是边AB、AD的中点，的中点，F、G分别是边分别是边CB、CD上的点，上的点，且。且。求证：四边形有一组求证：四边形有一组 对边平行但不相等对边平行但不相等34典型例题典型例题在平面内在平面内,我们可以证明我
4、们可以证明“如果一个角的两边与另一个如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”空空间中这一结论是否仍然成立呢？间中这一结论是否仍然成立呢？定理（等角定理）：定理（等角定理）：如果空间中两个角的两边分别对如果空间中两个角的两边分别对应平行，应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补观察观察:如图所示如图所示,四棱柱四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中,ABCD为平行四边形为平行四边形ADC与与A1D1C1,ADC与与D1A1B1两边分别对应平行两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何这两组角的大小关系如何?答答:从图中可看
5、出从图中可看出,ADC=A1D1C1,ADC+D1A1B1=180OD1C1B1A1CABD学习新知学习新知学习新知学习新知学习新知学习新知在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用广泛，而且是学习平面与平面平行的基础.怎样判定直线与平面平行呢？根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点，但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢?如图门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？如图将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动.在转动的过程中（AB离开桌
6、面）,DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的；硬纸板的边AB与DC平行，只要边DC紧贴着桌面，边AB转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。符号表示：a baab简述为简述为：线线平行，则线面平行注意：使用定理时，必须具备三个条件：（1）直线a在平面外，（2）直线b在平面内，（3）两条直线a、b平行 三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则结论就不一定成立了。学习新知学习新知已知：,/.
7、abab求证：/.a证明：/,ab经过a，b确定一个平面,aa,是两个不同的平面,bb.b假设 与 有公共点P，则 ，点P是a与b的公共点，这与 矛盾，aPb/.a/ababp学习新知学习新知 例1、求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另两边的平面。已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。求证：EF 平面BCD 证 明：连 结 BDAEEBEFBDAFFDEFBCDEFBCDBDBCD平 面平 面平 面 分析：EF在面BCD外，要证明EF面BCD，只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可。EF和面BCD哪一条直线平行呢？连结BD立刻就清楚了。ABCDEF典型例题典型
8、例题连DB交AC于点O，取D1D的中点M，连MA，MC，则截面MAC即为所求作的截面。MO为 D1DB的中位线，D1BMO，D1B 平面MAC，MO 平面MAC，D1B平面MAC，则截面MAC为过AC且与D1B平行的截面。例例2、在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过中，试作出过AC且与直线且与直线D1B平行的截面，并说明理由。平行的截面，并说明理由。解解：OMABCDA1B1C1D1典型例题典型例题证法一：作MPAB交BC于P，NQ AB交BE于Q ,MPMC NQBNMPNQABACEFBF又由题可知，AM=FN，AC=BF，AB=EFMPNQ即四边形MNQP为平行四边形MN
9、PQMN 平面BCE，PQ 平面BCE，MN平面BCE。ABCDEFMNPQ例例3 3、两个全等的正方形、两个全等的正方形ABCDABCD和和ABEFABEF所在平面相交于所在平面相交于ABAB，M MACAC，N NFBFB，且，且AM=FNAM=FN，求证：，求证：MNMN平面平面BCEBCE。典型例题典型例题分析：只要在平面BEC内找到一条直线与MN平行ABCDEFMNG证法二：连接AN并延长交BE的延长线于点G，连CG，AFBGANFNAMNGNBMCMNCGMN 平面BCE，CG 平面BCE，MN平面BCE。例例3 3、两个全等的正方形、两个全等的正方形ABCDABCD和和ABEFA
10、BEF所在平面相交于所在平面相交于ABAB，M MACAC，N NFBFB，且，且AM=FNAM=FN，求证：，求证：MNMN平面平面BCEBCE。典型例题典型例题ab a b学习新知学习新知 如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢？这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件.假设a与 内的直线b平行，那么由基本事实的推论3,过直线a,b有唯一的平面.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面与平面 的交线.ba 证明：证明：/aa 与 没有公共点b又因为 在 内ab 与 没有公共点ab又与 都在平面 内 且没有公共点/ab,/aabab 已知:直线求证:学习新
11、知学习新知直线和平面平行的直线和平面平行的性质性质定理定理如果一条直如果一条直线线和一个和一个平面平面平行平行,经过这经过这条直线的平面和这个平面相交条直线的平面和这个平面相交,那么这那么这条条直线直线和和交线交线平行。平行。ba/ba 注意：注意：1、定理三个条件缺一不可。、定理三个条件缺一不可。2、简记、简记:线面线面平行平行,则则线线线线平行平行。,aab学习新知学习新知例题例题1 1 有一块木料，棱有一块木料，棱BCBC平行于面平行于面A AC C (1)(1)要经过面要经过面A AC C内一点内一点P P和棱和棱BCBC锯开木料，应该怎锯开木料，应该怎样画线？样画线？(2)(2)这线
12、与平面这线与平面ACAC有怎样的关系？有怎样的关系？PA DABB D C CEF例题讲评例题讲评例题例题2 已知平面外的两条平行直线中的一已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。求证：另一条也平行于这个平面。cababa/ba/abb如图：已知直线，平面，且，都在平面 外。求证：/例题讲评例题讲评aba/ba/abb如图：已知直线，平面，且，都在平面 外。求证：/ac证明：过 作面 交 于a/aca/ca/bb/ccbb/转化是立体几何的一种重要的思想方法转化是立体几何的一种重要的思想方法说明：说明：cab1.如果一条直线和一个平面平行
13、，则这条直线（如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（）A 只和这个平面内一条直线平行；只和这个平面内一条直线平行；B 只和这个平面内两条相交直线不相交；只和这个平面内两条相交直线不相交；C 和这个平面内的任意直线都平行；和这个平面内的任意直线都平行；D 和这个平面内的任意直线都不相交。和这个平面内的任意直线都不相交。D2.2.如果两个相交平面分别如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一经过两条平行直线中的一条条,那么它们的交线和这两那么它们的交线和这两条直线平行。条直线平行。l ab巩固练习巩固练习ABCDMNNBCPCMBAPABBBBPDCBAABCD平面平面求证：求证：）、（异于（异
14、于中，点中，点长方体长方体/,11111111 ABA1DB1D1PCC1MN111111111111/ACACA A C CACACACACACAC证明：连结、长方体中面面MNBCAACPNBCPCMPABAACPACBCAAC 111111/面面面面面面面面ABCDACABCDMNMNAC面面面面 /ABCDMN面面/巩固练习巩固练习111111AACCCCPBNCPNNCCPBNAAPBMAPMMAAPBM NCPNMAPM ABCDACABCDMNMNAC面面面面 /ABCDMN面面/ABA1DB1D1PCC1MNABCDMNNBCPCMBAPABBBBPDCBAABCD平面平面求证：
15、求证：）、（异于（异于中，点中，点长方体长方体/,11111111 线线平行线线平行 线面平行线面平行线面平行线面平行 线线平行线线平行课堂小结课堂小结8.5.3平面与平面的判定平面与平面的判定1)直线与平面的位置关系有直线与平面的位置关系有 哪几种哪几种?它们又是按什么标准分类？它们又是按什么标准分类？如何判定两个平面平行？如何判定两个平面平行？2)平面与平面的位置关系有平面与平面的位置关系有 哪几种哪几种?它们又是按什么标准分类？它们又是按什么标准分类？复习引入复习引入直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。符号表示：a baab
16、简述为简述为：线线平行，则线面平行注意：使用定理时，必须具备三个条件：（1）直线a在平面外，（2）直线b在平面内，（3）两条直线a、b平行三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则结论就不一定成立了。复习引入复习引入如何判别两个平面是否平行？如何判别两个平面是否平行？回想：直线和平面的平行问题是怎么处理的？回想：直线和平面的平行问题是怎么处理的？直线和平面平行的判定是通过直线和平面平行的判定是通过“线面平行线面平行”和和“线线线线平行平行”的相互的相互转化，实现了空间问题平面化转化，实现了空间问题平面化.学习新知学习新知要把平面与平面平行的问题能还转化为直线与平面平行或线线平行的问题呢?1a、若
17、内有一条直线 与 平行，则 与 平行吗？（两平面平行）（两平面平行）（两平面相交）（两平面相交）aa学习新知学习新知2,ab、若 内有两条直线、分别与 平行 则 与 平行吗？(1/ab)若时，则 与 平行吗？(2abP)若时，则 与 平行吗？abab（两平面平行）（两平面平行）（两平面相交）（两平面相交）abP两个平面平行的判定定理：两个平面平行的判定定理：如果一个平面如果一个平面内内有有两条相交两条相交直线都直线都平行平行于于另一个平面，那么这两个平面平行另一个平面，那么这两个平面平行.abA/ababAab/议一议议一议：定理中有哪些：定理中有哪些“关键词关键词”？简记：简记：线面平行线面
18、平行 面面平行面面平行符号语言：符号语言：123/两条内有 相交分别和 平行结论：学习新知学习新知判定下列命题是否正确，并说明理由判定下列命题是否正确，并说明理由.（1）若平面）若平面内两条直线分别与平面内两条直线分别与平面平行，则平行，则与与平行。平行。（2）若平面）若平面内无数条直线分别与内无数条直线分别与平面平面平行，则平行，则与与平行。平行。（3）若平面）若平面、平面、平面平行于同一条平行于同一条直线，则直线，则与与平行。平行。（4）若两个平面分别经过两条平行）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行。直线，则这两个平面平行。(5)、如果一个平面内任意一条直线平、如果一个平面内
19、任意一条直线平行于另一个平面行于另一个平面,那么这两个平面平行那么这两个平面平行.巩固练习巩固练习例例1.如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中中,求证平面求证平面C1BD平面平面AB1D1ABCDA1B1C1D1证题思路：证题思路：要证要证明两平面平行，明两平面平行，关键是关键是在其中一在其中一个平面内个平面内找出找出两两条相交直线分别条相交直线分别平行于另一个平平行于另一个平面面.典型例题典型例题./1111111DABBDCDCBAABCD平面证明平面中，正方体 ABCDC1D1是平行四边形11DABC1/AD1BC11AB D1BC平面111ADAB D 平面11AB
20、D1BC/平面11AB D1同理C D/平面111BCC D=C111AB D平面C DB/平面证明：证明：ABCDA1B1C1D1典型例题典型例题在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中，点中，点E，D分别是分别是B1C1与与BC的中点的中点,求证：平面求证：平面A1EB平面平面ADC1ABCDEA1B1C1F巩固练习巩固练习A1B1C1D1ABCD棱长为棱长为a a的正方体的正方体ACAC1 1中中,设设M M、N N、E E、F F分别为棱分别为棱A A1 1B B1 1、A A1 1D D1 1、C C1 1D D1 1、B B1 1C C1 1的中点的中点.(1)(1)求证：求证：E E
21、、F F、B B、D D四点共面；四点共面；(2)(2)求证：面求证：面AMNAMN面面EFBD.EFBD.MNEF巩固练习巩固练习.PABC如图，有一块三棱锥如图，有一块三棱锥形的木料形的木料PABC，在一边在一边PA上有一个点上有一个点E，且，且AE2PE，现，现在木匠师傅想沿在木匠师傅想沿E点点把木料锯下，截得一把木料锯下，截得一个三棱台，问如何下个三棱台，问如何下锯？为什么？锯？为什么？E巩固练习巩固练习,/,/./.ababPcdac bd已知：；求证：badcP./,/,/,././,/,baPbababacaac同理证明：典型例题典型例题1 1、若两个平面平行，则一个平面内的直线
22、、若两个平面平行，则一个平面内的直线a a与另一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关系有什么位置关系？平面ABCD内的直线只要与B D共面即可 2BD、平面ABCD内哪些直线会与直线平行？怎么样找到这些直线？ABCDA AB BC CD Dcba学习新知学习新知异面、平行异面、平行/,/abab已知平面，求证：abab/,a b没有公共点,a b都在平面 内/ab证明证明学习新知学习新知性质定理性质定理：两个平面平行两个平面平行,如果另一个平面与如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行这两个平面相交，那么两条交线平行 即：baba/简记简记:面面平行，则线线平行面面平行，则线
23、线平行 符号表示：学习新知学习新知例例1 求证求证:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.已知已知:平面平面 /平面平面 ,AB和和DC为夹在为夹在 、间的平行线段。间的平行线段。求证：求证：AB=DC.典型例题典型例题 巩固练习巩固练习,已知三个平行平面与,.l mA B CD E F两条直线分别相并于点和点.:EFDEBCAB求证lmGH证明证明:过过A作直线作直线AH/DF,.,HG连结连结AD,GE,HF(如图如图).,/./,/HFGEADCHBG.,EFDEGHAGGHAGBCAB.EFDEBCAB巩固练习巩固练习例例2 P是长方形是长方形ABC
24、D所在平面外的一点，所在平面外的一点，AB、PD两点两点M、N满足满足AM：MB=ND：NP。求证：求证：MN平面平面PBC。PNMDCBAE典型例题典型例题练习：练习：点点P在平面在平面VAC内，画出过点内，画出过点P作一个截面作一个截面平行于直线平行于直线VB和和AC。VACBPFEGH1、若两个平面互相平行，则其中一个平、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线必平行于另一个平面；面中的直线必平行于另一个平面；2、平行于同一平面的两平面平行；、平行于同一平面的两平面平行；3、过平面外一点有且只有一个平面与、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行；这个平面平行；线面平行线面平行 面面平行面面平行面面平行面面平行 线面平行线面平行直线与直线平行直线与直线平行直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行我们今天有哪些收获？我们今天有哪些收获？1、平面和平面平行的判定方法、平面和平面平行的判定方法2、平面和平面平行的判定定理及性质、平面和平面平行的判定定理及性质定理可以进行定理可以进行“线线线线平行平行”和和“线面平线面平行行”的相互转化，实现空间问题平面化的相互转化，实现空间问题平面化3、平面和平面平行的性质定理、平面和平面平行的性质定理
