1、平面向量数量积1掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系2正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律3理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题目标：如果一个物体在力如果一个物体在力F作用下产生位移作用下产生位移S，那么那么F所做的功为所做的功为:位移位移SOAFFS情景引入情景引入W=|F|S|cos 规定：规定：00a（2）两向量的数量积是一个数量）两向量的数量积是一个数量,不是向量。不是向量。注意注意|cosa ba b 已知两个已知两个非零向量非零向量a 和和b，它们的夹，它们的夹角为角为 ，我们把，我们把数量数量 叫做叫做a 与与b 的的数量积数量积（或（或内积内
2、积），记作），记作a b ，即，即|cosa b（1）a b不能写成不能写成ab，不能省不能省.a数量积的定义数量积的定义OAaOBb 作，过点，过点B作作1BBOA直线则则 的数量的数量是是|b|cos1OB（不是向量）（不是向量）OABbaB1|a|cos叫叫 向量向量a在在b 方向上的投影方向上的投影向量在方向上的投影向量在方向上的投影 a b的几何意义：的几何意义：数量积数量积a b等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上投影的方向上投影|b|cos 的乘积的乘积。为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0数量积的几
3、何意义数量积的几何意义 OABbaB1B1OAB baOAB ba例例1已知已知|a|=5，|b|=4，a与与b的夹角的夹角 求求:(1)a b120 （2）a在在b上的投影上的投影（3）b在在a上的投影上的投影aab 【知识应用】一、数量积的基本运算数量积的性质：数量积的性质：2|a aaaa a 或（3）cos|a ba b 设设a，b都是都是非零向量非零向量，则：，则：（1 1）ab a b=0（4）|a b|a|b|（2 2）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b=当当a 与与b 反向时，反向时，|a|b|，a b=|a|b|判断垂直的又一条件判断垂直的又一条件求模的方法求模的方法
4、求角求角特别地特别地:类比数量积得运算律类比数量积得运算律:在实数中在实数中 在向量运算中在向量运算中交换律交换律:ab=ba ()结合律：结合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：分配律：(a+b)c=ab+bc ()消去律消去律:ab=bc(b0)a=c ()a bb a()()a b ca b c()()()aba bab()abca cb c(0)a bb c bac数量积的运算律数量积的运算律数量积的运算律数量积的运算律已知向量已知向量a、b、c和实数和实数 ，则，则:(1);(2)()()()(3)a bb aaba bababca cb c 222221)2(2)()()ab
5、aa bbababab （）(推广引申推广引申向量的数量积运算类似于多项式运算，向量的数量积运算类似于多项式运算，多项式的运算公式，同样成立。多项式的运算公式，同样成立。.|6,|4,60,(2)(3)abababab例3已知与 夹角为求：【知识应用】二、数量积的运算【求模问题】|5,|+|-|.3ababa ba b 已知向量 与 的夹角为，求，|6,|4,60,2ababab已知与 夹角为求：【变式】|6,|4,(2)(3)=-48,abababab已知求 与 的夹角【求夹角问题】121221,2,3e eaee beeab 已知单位向量的夹角为，求 与 的夹角。【变式】1212121,cos,332,3,cose eaee bee ab 已知单位向量的夹角为，且与 的夹角为，求 .|3,|4,.,()()ababkakbakb例4已知且 与 不共线为何值时？【知识应用】三、垂直问题120|AB|3|AC|2,ABACAPABACAPBC 已知向【量与的夹角为且，若且求实变】数式的值。1 1、一个意义、一个意义4 4、四条性质四条性质小结小结2 2、两个定义（数量积、投影、两个定义（数量积、投影)3 3、三个运算律、三个运算律
