1、5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质第第2课时课时 1,1 1,1 2 2 R R 复习旧知x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数正弦函数sinyx 余弦函数余弦函数cosyx 奇偶性奇偶性(1)()sin,f xx xRxR 任意任意()sin()fxxsin x ()f x ()sin,f xx xR为为奇奇函数函数(2)()cos,f xx xRxR 任意任意()cos()fxxcos x()f x()cos,f xx xR为为偶偶函数函数奇偶性奇偶性 正弦函数的对称性正弦函数的对称性 xyo-1234-2-312 2
2、3 25 27 2 23 25 )0,k对称中心（2 kx对称轴：余弦函数的对称性余弦函数的对称性yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 )0,2k对称中心（kx 对称轴：对称性对称性 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x )xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0-1 增区间为增区间为 ,其值从其值从-1增至增至12,2 减区间为减区间为 ,其值从其值从 1减至减至-123,2 单调性单调性23,2 sinyx单单调调递递增增区区间间：2,2,()22kkkZ单单调调递递减减区区间间
3、：32,2,()22kkkZ 正弦函数的单调性正弦函数的单调性xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 cosyx单单调调递递增增区区间间：(21),2,()kkkZ 单单调调递递减减区区间间：2,(21),()kkkZ 余弦函数的单调性余弦函数的单调性yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 正弦函数的最值正弦函数的最值 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 时)(22zkkx1maxy时)(22zkkx1miny 最值最值 yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 余弦函数的最值余弦函数的最值时)(
4、2zkkx1maxy1miny时时)(2zkkx 正弦函数的图象性质正弦函数的图象性质:(1)(1)定义域定义域(2)(2)值域值域R.-1-1，1.1.当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1.Zkkx ，22Zkkx ，22(3)(3)奇偶性奇偶性 奇函数奇函数.(5)(5)单调性单调性增区间增区间减区间减区间 Zkkk 22,22 Zkkk 223,22(6)(6)对称性对称性:图象关于直线图象关于直线 轴对称，轴对称，关于点关于点 中心对称中心对称.Zkkx ，2Zkk，)0(4)(4)周期性周期性周期函数周期函数,Rxxy，sin2Tk (0)kZk且且余弦函数的图象性质
5、余弦函数的图象性质:(1)(1)定义域定义域(2)(2)值域值域R.-1-1，1.1.当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1.Zkkx ，2Zkkx ，)12(3)(3)奇偶性奇偶性 偶函数偶函数.(5)(5)单调性单调性增区间增区间减区间减区间(6)(6)对称性对称性:图象关于直线 轴对称，关于点 中心对称.Zkkx ，Zkk ，)02(Zkkk 2)12(，Zkkk )12(2，(4)(4)周期性周期性 周期函数周期函数,Rxxy，cos2Tk (0)kZk且且例例1.求下列函数的最大值，并求出最大值时求下列函数的最大值，并求出最大值时x的集合：的集合：，）（1cos1 xy
6、R.x 2sin2yx（），R.x 3sin.yaxb （）解：解：1cos1x （）当当2()xkkZ ，即即时时，y 取得最大值取得最大值max2.y 函数的最大值为函数的最大值为2，取最大值时的，取最大值时的x集合为集合为 2Zx xkk ，(2)sin21x 当当，222xk 即即()4xkkZ 时时，y 取得最大值取得最大值max1.y Z4x xkk ，函数的最大值为函数的最大值为1，取最大值时的，取最大值时的x集合为集合为3sin.yaxb （）解：解：0a 若若，sin1x 则则当当时时，函数取得最大值函数取得最大值max.yab 0a 若若，yb 则则，此时函数为常数函数，此
7、时函数为常数函数，0a 若若，sin1x 则则当当时时，函数取得最大值函数取得最大值max.yab2Z.2x xkk 此此时时，函数最大值函数最大值2Z.2x xkk 此此时时，max.yb .x xR 此此时时例例2 比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：(1)sin()sin()1810与与；2317(2)cos()cos()54与与；4321(3)cossin().95 与与解：解：(1)sin21018222yxx ，且且，是是增增函函数数，sin()sin().181023(2)cos()5 23cos5 17cos()4 17cos4 3cos(4)5 3cos5 ，1cos
8、(4)41cos.4 130cos045yxx又又，且且，是是减减函函数数，3cos5 1cos4，2317cos()cos().54即即4321(3)cossin().95 与与43cos9 7cos(4)97cos9 21sin()5 1sin(4)51sin5 2cos()9 2cos9 ，2cos9 又又2sin()29 5sin18 5sin2518222yxx 而而，且且，是是增增函函数数，5sin18 1sin5 2cos9 即即1sin5 2cos9 1sin5 ，4321cossin().95即即解：解：函函 数数 性性 质质y=sinx (kz)y=cosx (kz)定义域
9、定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴 R R-1,1-1,1x=2k时时y ymaxmax=1=1x=2k+时时 ymin=-122奇函数奇函数偶函数偶函数在在x2k-，2k 上都是增函数上都是增函数 ,在在x2k，2k+上都是减函数上都是减函数 。(k,0)x=kx=2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k-时时 ymin=-122在在x2k-,2k+上都是增函数上都是增函数 在在x2k+,2k+上都是减函数上都是减函数.22232(k+,0)2x=k+2小结小结1 1、作业本（书、作业本（书P40
10、 3 P41 6 P46 4P40 3 P41 6 P46 4）2 2、优化设计、优化设计单单调调递递增增区区间间.sin(2)3yx(1)(1)求求函函数数解：解：2,3ux 令令sinyu 则则23uxR 在在 上上是是增增函函数数，由复合函数由复合函数“同增异减同增异减”原则知，原则知，sinyu 是是增增函函数数.22,()22kukkZ，222,()232kxkkZ即即，5,().1212kkkZsin(2)3yx 故故的的增增区区间间为为例例3.单单调调递递增增区区间间.sin(2)3yx 求求函函数数cos(2)3yx(2)(2)求求函函数数单单调调递递增增区区间间.（3）求函数）求函数 的单调区间的单调区间2,2),sin(321 xxy解:令的单调递增区间是函数zyxzsin.3212,222kk由得：kxk2223212Zkkxk,44335而得取,335,0 xk2,2335，函数,因此的单调增区间是2,2),sin(321xxy,335练习练习1、函数函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（）sin(2)3yx 4.3A x .2B x .0D x .12C x C2、求、求 函数的对称轴和对称中心。函数的对称轴和对称中心。)32sin(xyzkkx212zkk)0,26(
