1、3 3.1 1.1 1基本计数原理基本计数原理课标阐释思维脉络1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能准确应用两个计数原理解决一些简单的实际问题.激趣诱思知识点拨青岛是一座美丽的海滨城市,空气清新,海水清澈,海岸线绵长.在海滨城市边吃海鲜边吹海风很惬意,城市生活也很悠闲.小明决定“五一”期间从枣庄坐火车到济南,再于次日乘汽车到青岛旅游,一天中火车有3班,汽车有2班,他将如何安排行程?激趣诱思知识点拨一、分类加法计数原理原理内容完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1
2、+m2+mn种不同的方法.激趣诱思知识点拨名师点析 利用分类加法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类,要求每一种方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则AB=,AB=I(I表示全集).激趣诱思知识点拨微思考分类加法计数原理有什么特点?提示:(1)各种方法之间相互独立
3、,都能独立完成这件事,只需将各种方法相加.(2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在标准下进行分类,然后对每类办法计数.微练习某学生去书店,发现两本好书,决定至少买其中一本,其购买方法共有()A.1种B.2种 C.3种 D.4种解析:有两类不同的办法:买一本或两本,各类购买方法依次有2种或1种,故购买方法共有2+1=3种.故选C.答案:C激趣诱思知识点拨二、分步乘法计数原理原理内容完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.激趣诱思知识点拨名师点析 利用分步乘法计数原
4、理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐一去做,才能完成这件事,各步之间既不能重复也不能遗漏.(4)对于同一个题目,标准不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步;二是不同步骤的方法不能互相替代.激趣诱思知识点拨微思考分步乘法计数原理有什么特点?提示:分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一种方法才能完成要做的事情,概括地说是分步到达
5、、相互联系.微练习一个袋子里装有7张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有8张不同的中国联通手机卡,某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后使用,则不同的取法种数为()A.78B.15C.87D.56解析:由分步乘法计数原理知,有78=56种不同的取法.答案:D激趣诱思知识点拨三、两个原理的联系与区别1.联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.激趣诱思知识点拨2.区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次
6、的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复激趣诱思知识点拨名师点析(1)两个原理的区别在于“分类”与“分步”.若完成一件事需“分类思考”,且这n类办法是相互独立的,无论用哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,则用分类加法计数原理.若完成这件事需分为n个步骤,且这n个步骤相互依存,具有连续性,当且仅当这n个步骤依次全都完成后,这件事才
7、完成,则用分步乘法计数原理.(2)处理具体问题时要注意两点:一是合理分类,准确分步.分类时,要不重不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步.二是特殊优先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的计数问题时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置.激趣诱思知识点拨微练习某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?解:由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.方法一:分两类.第一类:从只会英语的6人中选1人有6种
8、选法,从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有63=18(种)选法.第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有12=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知,共有18+2=20(种)选法.激趣诱思知识点拨方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类情形,入选后又分两种情况:(1)教英语;(2)教日语.第一类:甲入选.(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有12=2(种)选法;(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有16=6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).第二类:甲不入
9、选.可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有62=12(种)不同的选法.综上,共有8+12=20(种)不同的选法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用分类加法计数原理解题利用分类加法计数原理解题例1在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个?分析根据情况安排个位、十位上的数字.先确定分类标准,再求出每一类的个数,最后得结论.解:方法一:分析个位数,可分以下几类:个位是9,则十位可以是1,2,3,8中的一个,故有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,7中的一个,故有7个;同理,个位是7的有6个;个位是
10、6的有5个;个位是2的只有1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法二:按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法三:将个位比十位数字大的两位数一一写出:12,13,14,15,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28,29,34,35,36,37,38,39,
11、45,46,47,48,49,56,57,58,59,67,68,69,78,79,89.共有36个符合题意的两位数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 本例中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数.解:当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个.当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个.当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个.同理可知,当个位数字是
12、2时,共7个.当个位数字是0时,共9个.由分类加法计数原理知,符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(个).探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用分步乘法计数原理解题利用分步乘法计数原理解题例2已知a1,2,3,b4,5,6,7,r8,9,则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示多少个不同的圆?分析确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、圆的半径,可以用分步乘法计数原理解决.解:完成表示不同的圆这件事,可以分为三步:第一步:确定a有3种不同的选取方法;第二步:确定b有4种不同的选取方法;第三步:确定r有2种不同的选取方法;由分步乘法计数原理知,方程(x-a)2+(y-b)2=
13、r2可表示不同的圆共有342=24(个).探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步:将完成这件事的过程分成若干步;(2)计数:求出每一步中的方法数;(3)结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练14张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成个不同的三位数.解析:分三个步骤:第一步:百位可放8-1=7个数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.根据分步乘法计数原理,可以组成N=764=168个不同的三位数.答案:168探究一探究二探究三素养形成当堂检测
14、两个原理的综合应用两个原理的综合应用例3编号为A,B,C,D,E的五个小球,放到如图所示的五个盒子中,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放到1,2号,B球必须放到与A相邻的盒子中,有多少种不同的放法?解:根据A球的位置分三类.(1)若A球放入3号盒里,则B球只能放在4号盒里,剩下的三个盒子分别放C,D,E三球,共有321=6种放法.(2)若A球放入5号盒子里,则B球只能放入4号盒中,剩下的三个盒子分别放C,D,E三球,共有321=6种放法.(3)若A球放入4号盒子里,则B球可以放到2号、3号或5号盒子中,剩下的三个盒子分别放C,D,E三球,有3321=18种放法.综合上述,由分类加法计数原
15、理得不同放法共有6+6+18=30种.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 应用两个计数原理解题的策略对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰,也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,则共有多少种不同的涂色方法?1234探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:第一类,
16、1号区域与4号区域同色,此时可分三步来完成,第一步,涂1号区域和4号区域,有5种涂法;第二步,涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂3号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此也有4种涂法.由分步乘法计数原理知,有544=80种涂法.第二类,1号区域与4号区域不同色,此时可分四步来完成,第一步,涂1号区域,有5种涂法;第二步,涂4号区域,只要不与1号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有3种涂法;第四步,涂3号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此也有3种涂法.由分步乘法计数原理知,有543
17、3=180种涂法.依据分类加法计数原理知,不同涂色的方法种数为80+180=260.探究一探究二探究三素养形成当堂检测模型法模型法模型法就是通过构造图形,利用形象、直观的图形帮助分析解决问题的方法.典例 由0,1,2,3,4,5,6这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:由于首位数字不能为0,偶数的末位数字必须是偶数数字,且当首位取某个偶数数字(如2)时,末位数字不能取该偶数数字,因此可先分类,再分步.(1)当首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)时,末位数字可取0,2,4,6中任一个,而百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字则不能取与这三
18、个数字重复的数字,故共有3454=240(种)取法.(2)当首位取2,4,6中的某个偶数数字时,末位数字可取3个偶数数字中任一个,百位数字不能取与上述重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字,故共有3354=180(种)取法.故可以组成240+180=420(个)无重复数字的四位偶数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛(1)对于这类问题,我们可用假设分析法和模型法来分析,如本例可用“”和“”等模型来分析.(2)在解决与数字排列有关的问题时,应特别注意其限制条件.排列时,要遵循特殊位置、特殊元素优先安排的原则.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.由0,1,2三个数字组成的三位数
19、(允许数字重复)的个数为()A.27B.18C.12 D.6解析:分三步,依次取个位、十位、百位上的数字,分别有3种、3种、2种取法,故共可得332=18个不同的三位数.答案:B2.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有()A.4种B.5种 C.6种 D.12种解析:若甲先传给乙,则有甲乙甲乙甲,甲乙甲丙甲,甲乙丙乙甲3种不同的传递方式;同理,甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.某班有男生26人,女生24人,从中选一名同学担任数学课代表,则不同的选法有()A
20、.50种 B.26种 C.24种D.616种解析:从男生中选一人,有26种方法;从女生中选一人,有24种方法.由分类加法计数原理,不同的选法有26+24=50(种).答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.如图所示的电路图,从A到B共有条不同的线路可通电.解析:先分三类.第一类,经过支路有3种方法;第二类,经过支路有1种方法;第三类,经过支路有22=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.答案:8探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m1=12=2条;第二类:经过AD,有m2=12=2条;第三类:经过AA1,有m3=12=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.
