1、上海新王牌教育上海新王牌教育 中小学精品小班中小学精品小班考纲解读1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题考向预测1以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题3多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低中档题知识梳理1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：经过 的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有 通过该点的公
2、共直线公理4：平行于 的两条直线互相平行两点不在同一直线上一条同一条直线2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的 就是异面直线a，b所成的角锐角(或直角)3直线与平面的位置关系有 、三种情况4平面与平面的位置关系有 、两种情况5定理空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相交平行在平面内相等或互补平行相交基础自测1给出下列命题：和直线都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一个平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其
3、中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析对于两条直线可以异面；对于三条直线若交于一点，则可以异面；对于这三点若共线，则两平面可以相交；对于三条平行线可在同一平面内2(2010湖北文)用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac;若ab，bc，则ac；若a，b，则ab;若a，b，则ab.其中真命题的序号是()A B C D答案C解析本题主要考查平面几何，立体几何的线线，线面的关系平行关系的传递性举反例：ab，bc，则ac.举反例：a，b，则a与b相交垂直于同一平面的两直线互相平行故，正确3(2010全国卷文)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90
4、，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90答案C解析本题考查线线角，考查学生的作图能力和计算能力4(2008辽宁文)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条答案D解析在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点5下列各图是正方体和正四面体P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四个点共
5、面的图形是_答案解析在选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面可证中PQRS为梯形；中可证PQRS为平行四边形，中如右图取A1A与BC的中点为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形6直线AB、AD，直线CB、CD，点EAB，点FBC，点GCD，点HDA，若直线EH直线FGM，则点M与BD的关系是_答案MBD解析由EHFGM，知MEH，所以M平面CBD，同理M平面ABD，又平面ABD平面CBDBD，故MBD.7已知空间四边形ABCD的对角线AC10，BD6，M，N分别是AB，CD的中点，MN7.求异面直线AC与BD所成的角解析如图，取BC的中点E
6、，连接EM，EN，因为M，N分别是AB，CD中点，所以EMAC，ENBD.所以MEN就是异面直线AC与BD所成的角或所成角的补角例1如图所示，已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB，BC，AC延长后，分别交平面于点P，Q，R.求证：点P，Q，R在同一直线上分析要证明P，Q，R三点共线，只需证明P，Q，R三点在平面和平面ABC的交线上，可先用任意两点确定交线所对应的直线，再证明第三点在该直线上，本题体现了空间问题转化为平面问题的思想和方法证明由已知AB的延长线交平面于点P，根据公理3，三角形ABC所在的平面与平面必相交于一条直线，设为l.P直线AB，P平面ABC.又直线AB平面P，P平面
7、.P是平面ABC与平面的公共点平面ABC平面l，Pl.同理，Ql，Rl.点P，Q，R在同一条直线l上点评易忽视先找出平面ABC与平面的交线，从而缩小目标范围分析欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上P平面ABC.同理P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交线AC上故EF，GH，AC三条直线交于一点点评平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用，只是在思考中应考虑空间图形的新特点.例2求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内分析已知a、b、c、d四条直线不共点但是两两相交，求证：a、b、c、d共面a、b、c、d四条直线或者有三条共点或无三条共点，分两种情形证：(
8、1)设有三条直线共点，不失一般性，可设此三条直线为 a、b、c，它们均过P点(如下图甲)，此时d必不过点P(因四线不共点)因此过d和点P可以确定平面，再设法证明其他三条直线a、b、c均在内即可(2)设没有三条直线共点(如图乙)abQa与b可确定一个平面再设法证明其余二线c、d均在内即可点评利用基本性质2及其三个推论，可以用来证明点，线共面证明此类问题，常用的方法有：(1)纳入法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内(2)同一法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，另一些点和直线在另外一个确定的平面内
9、，最后再证明这些平面重合(3)反证法：可以假设这些点和直线不在一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设、肯定结论一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面解析已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c，l共面证明：ab，a、b确定一个平面，laA，lbB，A，B，故l.又ac，a、c确定一个平面，同理可证l，a且l，过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故与重合，即直线a，b，c，l共面.例3在正方体AC1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD且直线FG直线A1B1.分析
10、先由基本性质1判定FG平面ABCD，再由平行公理有线线平行解析由已知知E是CD的中点，点评判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系，其中基本性质4是论证空间中两条直线平行的重要方法之一，使用基本性质4的关键是“桥梁直线”，即第三条直线的选择同时，解立体几何问题应注意平面几何知识的应用已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线证明如图所示，(1)EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，B1D
11、1BD，EFBD.EF，BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面(2)正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.QA1C1，Q，又QEF，Q.则Q是与的公共点同理，P点也是与的公共点PQ，又A1CR，RA1C，R，则RPQ.故P、Q、R三点共线点评1.共点问题证明l1、l2和l三线共点，一般先证两条直线l1与l2相交于点O；再由点O既在直线l1、l确定的平面内，又在直线l2、l确定的平面内；由公理3可得点Ol，即l1、l2、l3三线共点2共线问题证明A、B、C三点共线，一般先证A、B两点连线是平面、的交线；再证点C直线AB，即A、B、C三点共线3共面问题证明多个几何元素
12、(点和线)共面，一般先由公理2或其推论确定平面经过某些元素(或者说这些元素在平面内)；再由公理1和公理3证明其他元素也在平面内.例4如下图所示正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解析：(1)不是异面直线理由：M、N分别是A1B1、B1C1的中点MNA1C1.又A1A綊D1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1C
13、C1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，B面CC1D1D，这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾假设不成立，故D1B与CC1是异面直线点评：(1)见中点，应构造中位线并利用中位线性质转化为平行关系(2)判定两条直线异面可用：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线，或用反证法(3)异面直线的判定高考一般不会出大题，但在选择题中可能会涉及分析：三棱柱中AA1CC1，故A1AB即所求由A1在底面射影为BC中点知，A1AD，A1BD都是直角三角形，结合各棱长都相等，可解A1AB.答案D(2)(2010重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
14、()A只有1个 B恰有3个C恰有4个 D有无穷多个答案D解析本题考查空间想象能力过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45角直线上所有点到两条直线的距离都相等，故选D.1平面的基本性质(三个公理、三个推论)是整个立体几何的基础，其中确定一个平面的四种情形是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据高考中对平面基本性质的考查一般不会单独命题，常是融该知识点于其他知识点之中综合命题“空间两直线”中，“异面直线”是重点，也是难点，几乎每年高考都要涉及考查的内容多涉及异面直线的定义、异面直线所成的角2公理的应用(1)证明线共面证明线共面，一般是三线共面作原始题从而推广到多线共面，一般有两种
15、证法，一是两线确定一个平面，再证明第三线在这个平面内；二是其中两条直线确定一个平面，另两条直线确定平面，而，又同时具有确定平面的公共条件，进而，重合从而三线共面(2)证明三点共线三点都是某两平面的公共点，则三点共线(3)证明三线共点与初中证明三线共点的思路一样，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题了3空间两条直线位置关系有三种情况：相交、平行、异面，而两条直线异面是个重点要正确理解异面直线的定义，其特征既不相交又不平行4求两条异面直线所成的角的大小一般方法，是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论、异面直线所成的角的大小与顶点位置无关，将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点理科还用向量法求异面直线所成的角
