1、2022-2023 学年度镇江市高三上学期期中试卷学年度镇江市高三上学期期中试卷数学数学 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若集合2log1Mxx=，112xNx=,则MN=（）A.01xxB.02xxC.02xxD.01xx，其前n项和为nS，前n项积为nT，且248S=，460S=，则使得1nT 成立的正整数n的最小值为（）A.9B.10C.11D.12.6.ABC中，M，N分别为 AC，BC 的中点，AN与 BM 交于点 O
2、，下列表达正确的是（）A.1122CONOMO=+B.CONOMO=+C.3322CONOMO=+D.22CONOMO=+7.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为 40mm，满盘时直径为 120mm，已知卫生纸的厚度为 0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约（）（3.14，精确到 1m）A.60m B.80m C.100m D.120m 8.已知函数0()e,xfxx=记函数()nfx为(1)()nfx的导函数(N)n，函数()nyfx=的图象在1x=处的切线与 x轴相交的横坐标为nx，则11niiix x+=（）A.()132nn+B.()33nn+C.()()23nnn+D.()
3、()123nnn+二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知 a，b，c，dR，下列命题正确的是（）A.若 ab0，则 a2abb，则 ac2bc2 C.不等式ee2aa+恒成立 D.若ab，且cd，则()()lnlnacbd 10.下列判断正确的有（）A.当0,2x时，方程sintanxx=存在唯一实数解 B 当0,2x时，cossinxxx C
4、.3111cos4sin3244，已知()f x在0,2有且仅有 5 个零点下面论述正确的是（）A.()f x在()0,2有且仅有 3 个极大值点 B.()f x在()0,2有且仅有 2 个极小值点 C.()f x在0,10单调递增 D.的取值范围是12 29,5 10 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.“m1”是“函数2()(0)xf xxxm=+的最大值小于 1”的_条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填空)14.已知向量()()()1,2,3,4,Rabcatb t=+，若()abc
5、，则t=_.15.已知13,0,sin,sin3 623335 +=+=，则sin=_，()sin2+=_ 16.已知()2lnf xxaxx=+，若()0f x 有且仅有三个整数解，则 a 的取值范围是_.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知向量()()cos,sin,3,3,0,axxbx=.（1）若()abb+，求x的值；（2）记()f xa b=，求函数()f x的图象向右平移3个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的 2倍，得到函数()g x的图象，求函数()g x的值域.的
6、18.已知数列na首项为 2，满足1(2)2nnnn aaa+=，求：（1）数列na的通项公式；（2）数列na的前 n 项和nS.19.在ABC中，角ABC，的对边分别为abc，已知sinsin2sincos2caBAaAC=.（1）求角B的大小；（2）AC边上有一点D，满足()()a BD BAc BD BC=，且1BD=，求ABC周长的最小值.20.“春节”期间，某商场进行如下优惠促销活动：优惠方案 1：一次购买商品的价格，每满 60 元立减 5元；优惠方案 2：在优惠 1之后，再每满 400 元立减 40元 例如，一次购买商品的价格为 130元，则实际支付额13013051305 212
7、060=元，其中 x表示不大于 x的最大整数又如，一次购买商品的价格为 860 元，则实际支付额860860540 175060 =元（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是 250元和 650 元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为 30 元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过 500 元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？21.已知函数e()exxaf xab+=+是定义在R上的奇函数.（1）求函数()f x的解析式，判断函数()f x在定义域上的单调性并证明；（2）令()()(
8、)()3Rh xfxtf xt=+，若对()1,x+，使得()0h x，求实数t的取值范围.22.已知函数1()ln1xf xxax=+.（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若对任意的 x1，f（x）0恒成立，求实数 a的取值范围；（3）证明：若函数 f（x）有极值点，则 f（x）必有 3 个不同的零点.的 2022-2023 学年度镇江市高三上学期期中试卷学年度镇江市高三上学期期中试卷 数学数学 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的
9、.1.若集合2log1Mxx=，112xNx=,则MN=（）A.01xx B.02xx C.02xx D.01xx【答案】B【解析】【分析】根据对数和指数的性质解出集合 M和 N，从而可求得答案.【详解】2log1x 22loglog 202xx，112x0220 xx，故02Mxx=，0Nxx=，02MNxx=，其前n项和为nS，前n项积为nT，且248S=，460S=，则使得1nT，12q=1113482aa qa+=，132a=则16113222nnna=，()115 4602121111222n nnnnTa aa+=，得11n，则min12n=.选选：D.6.ABC中，M，N分别为
10、AC，BC 的中点，AN与 BM 交于点 O，下列表达正确的是（）A.1122CONOMO=+B.CONOMO=+C.3322CONOMO=+D.22CONOMO=+【答案】D【解析】【分析】取AB中点E，连CE,根据三角形重心定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.【详解】取AB中点E，连CE,则点O为ABC的重心，10,0222OEOMONOCOMONOCOMON+=+=+，即22COMONO=+，故选：D.7.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为 40mm，满盘时直径为 120mm，已知卫生纸的厚度为 0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约（）（3.14，精确到 1m）A.60
11、m B.80m C.100m D.120m【答案】C【解析】【分析】将卫生纸的长度近似看成 400 个直径成等差数列的圆周长的和，利用等差数列前 n 项和公式即可求得满盘时卫生纸的总长度大约为 100m【详解】空盘直径是40mm，半径是20mm，周长是()22040 mm=满盘直径是120mm，半径是60mm，周长是()2 60120 mm=60204000.1=，则每一圈周长成等差数列，共 400 项，()()400400 4012032000 mm100480mm100m2S+=，故选：C.8.已知函数0()e,xfxx=记函数()nfx为(1)()nfx的导函数(N)n，函数()nyfx
12、=的图象在1x=处的切线与 x轴相交的横坐标为nx，则11niiix x+=（）A.()132nn+B.()33nn+C.()()23nnn+D.()()123nnn+【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义可求出切线方程，再利用裂项相消法即可求解.【详解】()()11 exfxx=+，切点()1,2e，()()22 e,3exfxxk=+=，切线方程为：()2e3e1yx=，令10,3yx=，即113x=()()exnfxxn=+，切点()()1,1en+，()()()()11 e,2 exnfxxnkn+=+=+，切线方程为：()()()1 e2 e1ynnx+=+，令10,2nyxn=
13、+，所以()()11112323nnx xnnnn+=+，1111111111344523333(3)niiinx xnnnn+=+=+故选：B 二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知 a，b，c，dR，下列命题正确的是（）A.若 ab0，则 a2abb，则 ac2bc2 C.不等式ee2aa+恒成立 D.若ab，且cd，则()()lnlnac
14、bd【答案】BC【解析】【分析】对于 AD，举反例即可排除；对于 B，利用不等式的性质即可判断；对于 C，利用基本不等式即可判断.【详解】对于 A，令2,1ab=，则0ab=，故 A错误；对于 B，因为ab，2c 0，所以22acbc，当0c=时取“=，故 B 正确；对于 C，因为ee2 ee2aaaa+=，当且仅当eeaa=，即0a=时，等号成立，所以ee2aa+恒 成立，故 C正确；对于 D，令1,2,3,4abcd=，则ab，cd，且3,8acbd=，所以由lnyx=的单调性可知()()lnlnacbd，故 D错误.故选：BC.10.下列判断正确的有（）A.当0,2x时，方程sintan
15、xx=存在唯一实数解 B.当0,2x时，cossinxxx C.3111cos4sin3244 D.3sin(sin(1)2【答案】BCD【解析】【分析】(1)将方程转化为sinsintancosxxxx=在0,2x上无解，(2)构造()cossinf xxxx=根据函数的导数讨论单调性和最值即可判断，(3)由(2)可确定11cos4sin44，再构造函数()211cos2g xxx=利用导数和单调性最值的关系可确定311cos324，(4)根据()sin 113 可判断.【详解】0,2x时，sinsintancosxxxx=,即cos1x=在0,2x上无解，故 A 错误；0,2x时令()co
16、ssinf xxxx=，()cossincossin0fxxxxxxx=()f x在0,2单调递减，所以()()00f xf=即cossin,xxx 故 B 正确；因为1111110,cossin,cos4sin4244444 令()()211cos,0,sin,22g xxx xgxxx=+令()sin,()1 cos0h xxx h xx=+=+，所以()h x在0,2x单调递减，所以()(0)0h xh=，即()sin0,gxxx=+则()g x在0,2上单调递减，()104gg，即111cos0324，即3111cos4sin,3244 故 C 正确；()()()3sin 11,sin
17、 sin 1,32+即x一定是负数，故 D正确；故选:ACD.12.设函数()()sin05f xx=+，已知()f x在0,2有且仅有 5 个零点下面论述正确是（）A.()f x在()0,2有且仅有 3 个极大值点 B.()f x在()0,2有且仅有 2 个极小值点 C.()f x在0,10单调递增 D.的取值范围是12 29,5 10【答案】ACD【解析】【分析】结合正弦函数的图像和性质可判断 A，B 选项，根据()f x在0,2有且仅有 5 个零点，可得5265+，解出，可判断 D，由0,10 x，得(2),5510 x+，而要()f x在0,10单调递增，从而可得(2)102+，进而可
18、求出的范围，可判断 C【详解】解：当0,2x时，2555x+，因为()f x在0,2有且仅有 5 个零点，所以()f x在0,2上有且仅有 3 个极大值点，而极小值点有 2 个或 3 个，所以 A 正确，B 错误；的 因为5265+，所以1229510，所以 D 正确；当0,10 x时，(2),5510 x+，若()f x在0,10单调递增，则(2)102+，得3，而1229510+的最大值小于 1”的_条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填空)【答案】充分不必要【解析】【分析】根据 m1 利用基本不等式求出 f(x)最大值可判断充分性；利用导数判断 f
19、(x)的单调性，求出其最大值，令最大值小于 1 求出 m的范围，由此可判断必要性【详解】1m时，()2122xxf xxmmxm=+，即max1()12f xm=+，()()222,0 xmfxxxm+=+，若0m，则()0fx0 时单调递减，没有最大值；若0m，则0 xm，()f x单调递增；xm时，()0fx，()f x单调递减；()max1()2f xfmm=，若max()1f x+的最大值小于 1”的“充分不必要”条件 故答案为：充分不必要 14.已知向量()()()1,2,3,4,Rabcatb t=+，若()abc，则t=_.【答案】37【解析】【分析】由已知，根据已知条件，先表示
20、出,ab c坐标形式，然后再根据()abc，直接列式求解即可.【详解】由已知，()()()1,2,3,4,Rabcatb t=+，所以()()2,2,1 3,24abctt=+，由()abc可知：()()2 1 32 240tt+=，解得37t=.故答案为：37.15.已知13,0,sin,sin3 623335 +=+=，则sin=_，()sin2+=_【答案】.34 310 .748 275+【解析】【分析】利用sinsin33=+结合和角公式可求sin；利用()sin2sin233+=+结合和角公式可求()sin2+【详解】2 2,0,cos0,cos3 632333 +=4,0,cos
21、0,cos236 3335 +=314334 3sinsin33525210=+=34241697sin22,cos2355253252525+=+=()172 224748 2748 2sin2,sin2.333253257575+=+=+=的 故答案为：34 310；748 275+16.已知()2lnf xxaxx=+，若()0f x 有且仅有三个整数解，则 a 的取值范围是_.【答案】ln22 ln33,89+【解析】【分析】()()2ln00 xxf xa xx+，令()2lnxxg xx+=，利用导数求出函数()g x单调区间，再根据函数的单调性结合已知即可得解.【详解】解：()(
22、)2ln00 xxf xa xx+，令()()23ln12ln,xxxxg xgxxx+=，令()12lnh xxx=，则()()2100h xxx=，所以函数()h x在()0,+上递减，又()10g=，当01x，当1x 时，()0gx有且仅有三个整数解，所以()()43gag，即ln22ln3389a+，所以 a 的取值范围是ln22 ln33,89+.故答案为：ln22 ln33,89+.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知向量()()cos,sin,3,3,0,axxbx=
23、.（1）若()abb+，求x的值；的（2）记()f xa b=，求函数()f x的图象向右平移3个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的 2倍，得到函数()g x的图象，求函数()g x的值域.【答案】（1）56 （2）3,2 3【解析】【分析】（1）利用向量坐标的线性运算得ab+的坐标，根据()abb+的坐标关系可得3sincos3xx=，从而可得3tan3x=，0,x，即可求解x的值；（2）求解()f xa b=化成余弦型函数，再由三角函数图象变化得()g x，根据余弦函数图象性质求函数()g x的值域即可.【小问 1 详解】解：()()cos,sin,3,3axxb=，()cos3,sin3a
24、bxx+=+()abb+，()()()cos33sin330 xx+=3sincos3xx=，即3tan3x=0,x，56x=.【小问 2 详解】解：()3cos3sin2 3cos6f xa bxxx=+由()f x图象向右平移3，横坐标变为 2 倍得()12 3cos26g xx=0,x，1,266 3x cosyx=在,06单调递增，0,3单调递减 11cos,1262x 12 3cos3,2 326x，即()g x值域为3,2 3.18.已知数列na首项为 2，满足1(2)2nnnn aaa+=，求：（1）数列na的通项公式；（2）数列na的前 n 项和nS.【答案】（1）2nnan=
25、；（2）1(1)22+=+nnSn.【解析】【分析】（1）由题设可得121nnaann+=+，即可得nan为等比数列，写出通项公式，即可得na的通项公式；（2）应用错位相减法及等比数列前 n 项和公式求nS.【小问 1 详解】已知数列 na满足()122nnnn aaa+=，则()122nnnana+=+，则12,1nnnaaannn+=+是首项为121a=，公比为 2的等比数列，故11221nnnaan=，即2nnan=.【小问 2 详解】()12311 22 23 21 22nnnSnn=+，()()231121 22 2221 22,nnnnSnnn+=+可得：()()21112 1 2
26、222221221 2nnnnnnSnnn+=+=1(1)22.nnSn+=+19.在ABC中，角ABC，的对边分别为abc，已知sinsin2sincos2caBAaAC=.（1）求角B的大小；（2）AC边上有一点D，满足()()a BD BAc BD BC=，且1BD=，求ABC周长的最小值.【答案】（1）3 （2）2 3【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到1cos2B=，即可求出角B的大小；（2）利用数量积的定义得到coscosABDCBD=，求出6ABDCBD=.由面积相等得到3acac+=.整理出周长()2()3Cacacac=+，令act+=，4 33t，得到23Ctt
27、t=+，利用单调性法求出ABC的周长最小值.【小问 1 详解】sin2sin2sin cos2caBAaAC=，由正弦定理得：2sinsin sin2sin2sincos2CABAAC=22sin sin cossin sin cossincosABBCAAAC=.0,sin0,2sin cossin cossin cos2AABBCAAC=+()()2sin cossin,2sin cossinBBACBBB=+=12sin cossin,0,sin0,cos22BBBBBB=0,23BB=.【小问 2 详解】()(),1a BD BAc BD BCBD=，1cos1cos,coscosac
28、ABDcaCBDABDCBD =,36BABDCBD=ABDCBDMBCSSS+=1111 sin1 sinsin262623cac a +=.化简得：3,acac+=周长222cosCacbacacacB=+=+()()()222233acacacacacacacacac=+=+=+令2()4 3,43acactacac+=+，即4 33t 又由复合函数单调性知23Cttt=+在4 33t 时单调递增 当4 33t=时，min2 3C=.即ABC的周长最小值为2 3.20.“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案 1：一次购买商品的价格，每满 60 元立减 5元；优惠方案 2：在
29、优惠 1之后，再每满 400 元立减 40元 例如，一次购买商品的价格为 130元，则实际支付额13013051305 212060=元，其中 x表示不大于 x的最大整数又如，一次购买商品的价格为 860 元，则实际支付额860860540 175060 =元（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是 250元和 650 元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为 30 元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过 500 元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由见解
30、析 （2）购买 15件或 16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为 25 元/件【解析】【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案 2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.【小问 1 详解】分两次支付：支付额为 2506502505650540230600407906060+=+=元;一次支付：支付额为900900540 274560=元,因为745790+，*nN 所以当114x时，购买偶数件时，平均价格最低，为 27.5元/件 当15x19时，能享受每满 400元再减 40元的优惠 130540
31、3054030602xxyxxxx=当2xn=时，540203027.522ynnnn=，当8n=，16x=时，min25y=;当21xn=+时，()5405753030212122 21ynnnn=+，y 随着 n的增大而增大，所以当7n=，15x=时，min25y=综上，购买 15 件或 16 件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为 25 元/件 21.已知函数e()exxaf xab+=+是定义在R上的奇函数.（1）求函数()f x的解析式，判断函数()f x在定义域上的单调性并证明；（2）令()()()()3Rh xfxtf xt=+，若对()1,x+，使得()0h x，求实
32、数t的取值范围.【答案】（1）()1 e1 exxf x=+，()f x在R上单调递减，证明见解析 （2）22ee 1,ee 1+【解析】【分析】（1）根据函数e()exxaf xab+=+是定义在R上的奇函数，利用奇函数的性质求解,a b，即可得函数()f x的解析式；判断函数()f x在R上的单调性，利用单调性定义任取12,Rx x，且12xx，参变分离转化为函数最值问题，即得实数t的取值范围.【小问 1 详解】解：()f x是R上的奇函数，()1001afaab+=+再由()()11e1e 1111eeffbbb=+()e11 e,e11 exxxxf x=+()f x在R上单调递减 任
33、取12,Rx x，且12xx+()()12f xf x，()f x在R上递减.【小问 2 详解】解：()331 e1 e01 e1 exxxxh xt=+对()1,x+恒成立()()()()()()()()()()322232e1 e1e1 ee1 e1ee1ee1e1 1 ee1 ee1 1 exxxxxxxxxxxxxxxxt+=+22ee 1ee 1t+1，f（x）0恒成立，求实数 a的取值范围；（3）证明：若函数 f（x）有极值点，则 f（x）必有 3 个不同的零点.【答案】（1）答案见解析 （2）(,2 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()fx，对判别式的正负进行讨论，得出
34、函数的单调区间；（2）借助第一问的结论，将不等式恒成立问题转化为单调性求最值得问题，另外注意特殊值()10f=；（3）借助第一问的结论，确定在2a 的时候存在极值，然后根据两极值点的大小及隐含范围，逐步给与证明.【小问 1 详解】1()ln1xf xxax=+定义域为()0,+()()2211112(1)(1)xxafxaxxxx+=+()2222221(1)2(1)(1)xa xxaxx xx x+=+，令()0fx=，即()22210 xa x+=，22(22)448aaa=（i）若2480aa=，即02a时，()()0,fxf x在()0,+上单调递增.（ii）若0在()0,+上恒成立，
35、则有()0fx，()f x在()0,+上单调递增.（iii）若2a 时，令()0fx=，则212xaaa=；当()()220,1212,xaaaaaa +时，有()0fx；当()2212,12xaaa aaa +时，有()0fx.因此()f x在()20,12aaa 上单调递增，()2212,12aaa aaa +上单调递减，()212,aaa+上单调递增.综上：2a 时，()f x单增区间为()0,+，无单减区间；2a 时，()f x单调递增区间为()20,12aaa，()212,aaa+单递减区间为()2212,12aaa aaa +【小问 2 详解】由（1）知，当2a 时，()f x在(
36、)1,+上单调递增，此时()()10f xf=当2a 时，()f x在()21,12aaa+上单调递减，此时有()()10f xf矛盾，综上：a的取值范围为(,2.【小问 3 详解】由（1）知，当2a 时，()f x无极值点 当2a 时，()f x在()20,12aaa 上单调递增，()2212,12aaa aaa+上单调递减，()212,aaa+上单调递增且(1)0f=则()212f aaa 为极大值，()212f aaa+为极小值.又2212112aaaaaa ，()2120f aaa+当01x时，1lnln1xxaxax+，令ln0eaxax+=()e0af时，1lnln1xxaxax+，令ln0,eaxax=()()e0,aff x在()2e,12aaaa，()212,eaaaa+上各有一个零点 另一个零点为 1，共 3个不同的零点.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的 2 个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
