1、7.2离散型随机变量及其分布列 本资料分享自千人教师 QQ群483122854，期待 你的加入与分享 第1课时 在射击运动中,运动员射击一次,可能出现不中靶,命中1环,命中 10环等结果,若用变量X表示他一次射击所命中的环数,则变量X取 值情况如何?(变量X的结果可由0,1,10这11个数表示). 一、随机变量 1.定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯 一的实数X()与之对应,我们称X为随机变量. 2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文 字母表示随机变量的取值,例如x,y,z. 名师点析1.所谓随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的 一种
2、对应关系,这种对应关系是人为建立起来,但又是客观存在的. 2.随机试验的结果可用数量来表示,有些随机试验的结果虽然不是 数量,但可以将它数量化,如抛一枚硬币,所有可能的结果是“正面向 上”“反面向上”,在数学中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面 向上. 3.随机变量的每一种取值结果(即数)在随机试验前是无法预先确定 的,在不同的试验中,结果也可能不相同. 4.随机变量不仅具有取值的随机性,而且具有取值的统计规律性,即 随机变量取某一个值或某些值的概率是完全确定的. 微思考 随机变量和函数有类似的地方吗? 提示:随机变量和函数都是一种对应关系,随机变量把样本点与实 数对应,函数把实数与实
3、数对应,由随机变量的定义知,样本点相 当于函数定义中的自变量,样本空间相当于函数的定义域. 微练习 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,则可以作为随机变量的是( ) A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数 C.两次出现的点数之和 D.两次出现相同点的种数 答案:C 二、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型 随机变量. 微思考 下列随机变量中,不是离散型随机变量的是() A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X B.某水位监测站所测水位在(0,18这一范围内变化,该水位监测站 所测水位H C.从装有1红、3黄共4个球的口袋中,取出2个球,其中黄球的个数Y
4、D.将一个骰子连续抛掷3次,3次出现的点数和Z 答案:B 随机变量的概念随机变量的概念 例1判断下列各量是否为随机变量. (1)从编号为1到10的卡片中任取一张,抽出卡片的号数; (2)某辆动车到达某站的时间; (3)体积为1 000 cm3的球的半径. 解:(1)抽出卡片的号数可能为1,2,10,出现哪种结果是随机的,因 此是随机变量.(2)某辆动车到达某站的时间是在某一区间内的任意 一值,是随机的,因此是随机变量. (3)当球的体积为1 000 cm3时,半径为定值,不是随机变量. 反思感悟 对随机变量的理解 (1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化; (2)随机变量的取值对应于某随机
5、试验的某一次随机结果; (3)有些随机试验的结果不具有数量关系,但我们仍可以用数量表示 它; (4)对随机变量的所有可能取值都要明确,不能重复也不能遗漏. 在一次随机试验中,随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对 应的数,且这个数所有可能的取值是预先知道的,但不知道究竟会 出现哪一个. 变式训练1下列变量中,不是随机变量的是() A.一位射击手射击一次命中的环数 B.在标准状态下,水沸腾时的温度 C.某景点7月份每天接待的游客数量 D.高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数 答案:B 离散型随机变量的判定离散型随机变量的判定 例2下列变量是离散型随机变量的是. (1)下期某闯关节目中过关
6、的人数; (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差; (3)在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50 m有一电线铁塔,从郑 州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁 塔的编号; (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29这一范围内变化, 该水位站所测水位. 解析:(1)是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出. (2)不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法 一一列出. (3)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号可以一一列 出. (4)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29这一范围内变化,对水位 值不能按一定次序一一列出.
7、 答案:(1)(3) 延伸探究 将本例的(4)改为:若用X=0表示监测站所测水位没有超 过警戒线,X=1表示监测站所测水位超过警戒线,x表示所测水位(警 戒水位是29 m),X是离散型随机变量吗? 反思感悟 “三步法”判定离散型随机变量 (1)依据具体情境分析变量是否为随机变量. (2)由条件求解随机变量的值域. (3)判断变量的取值是否为有限个或能否一一列举出来.若能,则是 离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量. 变式训练2某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数;某网站中 某歌曲一天内被点击的次数;射手对目标进行射击,击中目标得1 分,未击中目标得0分,该射手在一次射击中的得分.其中,是离散
8、型 随机变量的是() A.B. C. D. 答案:A 离散型随机变量的取值离散型随机变量的取值 例3写出下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试 验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个、白球5个,从袋中每次任取1个球, 取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数; (2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字 之和. 解:(1)设所需要的取球次数为X,则X=1,2,3,4,10,11,X=i表示前i-1 次取到的均是红球,第i次取到白球,这里i=1,2,3,4,11. (2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,11. X=3表
9、示取出标有1,2的两张卡片; X=4表示取出标有1,3的两张卡片; X=5表示取出标有2,3或1,4的两张卡片; X=6表示取出标有2,4或1,5的两张卡片; X=7表示取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片; X=8表示取出标有2,6或3,5的两张卡片; X=9表示取出标有3,6或4,5的两张卡片; X=10表示取出标有4,6的两张卡片; X=11表示取出标有5,6的两张卡片. 延伸探究 本例(2)的条件不变,设所取卡片上的数字之差的绝对值 为随机变量,请问有哪些取值?其中=4表示什么含义? 解:的所有可能的取值为1,2,3,4,5,共5个. “=4”表示取到标有1,5或2,6的两张卡片.
10、 反思感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取 值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对 应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果. 变式训练3写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的 值表示的随机试验的结果. (1)某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口,他可能遇到红灯的次 数; (2)从含有10件次品的100件产品中任取4件,取到次品的件数X. 解:(1)可能的取值为0,1,2,3, =0表示遇到红灯的次数为0; =1表示遇到红灯的次数为1; =2表示遇到红灯的次数为2; =3表示遇到红灯的次数为3. (2)X可能的取值为0,1,2,
11、3,4. X=0表示取出0件次品; X=1表示取出1件次品; X=2表示取出2件次品; X=3表示取出3件次品; X=4表示取出4件次品. 列举法求解随机变量的可能取值列举法求解随机变量的可能取值 典例抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,X为第一枚骰子掷出的点数 与第二枚骰子掷出的点数之差,求X的所有可能的取值. 解:设第一枚骰子的点数为x,第二枚骰子的点数为y, 则X=x-y.因为x=1,2,3,4,5,6,y=1,2,3,4,5,6,所以X=-5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,4,5. 方法点睛 求随机变量所有可能的取值时,为避免漏掉个别取值,可 先用列举法列出随机试验包含的所有样本
12、点,再根据随机变量的含 义求出其所有可能的取值. 1.下列变量中,不是随机变量的是() A.2024年奥运会上中国取得的金牌数 B.某网站一天的点击量 C.2016年奥运会上中国取得的金牌数 D.某人投篮6次投中的次数 答案:C 2.已知下列随机变量: 10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X; 某道路斑马线一天经过的人数X; 某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X; 在体育彩票的抽奖中,下一次摇号产生的号码数X. 其中X是离散型随机变量的是() A.B. C.D. 答案:C 3.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为, 则2表示的试验结果是. 解析:
13、应分=0和=1两类.=0表示取到3件正品;=1表示取到1件次 品、2件正品.故2表示的试验结果为取到1件次品,2件正品或取 到3件正品. 答案:取到1件次品、2件正品或取到3件正品 4.下列随机变量不是离散型随机变量的是.(填序号) 某宾馆每天入住的旅客数量X; 广州某水文站观测到一天中珠江的水位X; 深圳欢乐谷一日接待游客的数量X; 虎门大桥一天经过的车辆数X. 答案: 5.某车间两天内每天生产10件某产品,其中第一天、第二天分别生 产了1件、2件次品,而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽 取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.若厂内对车 间生产的产品采用记分制,两天全不通过检查得0分,通过一天、两 天分别得1分、2分.设该车间在这两天内得分为,写出的可能取值, 并说明这些值所表示的随机试验的结果. 解:的可能取值为0,1,2. =0表示在两天检查中均发现了次品; =1表示在两天检查中有1天没有检查到次品,1天检查到次品; =2表示在两天检查中都没有发现次品.
