1、7.3.1离散型随机变量的均值 某城市随机抽样调查了1 000户居民的住房情况,发现户型主要集 中于160 m2,100 m2,60 m2三种,对应住房的比例为154,能否说 该市的人均住房面积为 106.7(m2)?此种计算显然 不合理,忽略了不同住房面积的居民所占的比例,造成了“被平均”现 象.那么如何计算人均住房面积更为合理呢? 一、离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示, Xx1x2xn Pp1p2pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+xnpn= 为随机变量X的均值或数学 期望,数学期望简称期望. 名师点析均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机
2、变量X的 一个重要特征,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. 微思考 离散型随机变量的均值与分布列有什么区别? 提示:离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻 画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有可 能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 微练习 已知X的分布列为 X-1012 P 则X的均值为() 答案:D 二、两点分布 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0(1-p)+1p=p. 微练习 已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,则E(X)=. 解析:因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=0.3. 答案:
3、0.3 三、离散型随机变量均值的性质 一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b. 微练习 已知随机变量X的分布列如下. X0123 Pa 则E(X)=,E(2X-1)=. 求离散型随机变量的均值求离散型随机变量的均值 例1某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内 最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再 参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾 照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一 年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值. 解:X的可能取值为1,2,3,4, 则P(X=1)=0.6
4、, P(X=2)=(1-0.6)0.7=0.28, P(X=3)=(1-0.6)(1-0.7)0.8=0.096, P(X=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)1=0.024. 所以在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为 X1234 P0.60.280.0960.024 E(X)=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544. 反思感悟 求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值; (2)写出分布列,并检查分布列的正确与否; (3)根据公式求出均值. 变式训练1盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池. 现在无放回地每次取一节电池检验,直
5、到取到好电池为止,求抽取 次数X的分布列及均值. 离散型随机变量的均值的性质离散型随机变量的均值的性质 例2已知随机变量X的分布列为 若Y=-2X,则E(Y)=. 反思感悟 若给出的随机变量与X的关系为=aX+b,a,b为实数.一 般思路是先求出E(X),再利用公式E()=E(aX+b)=aE(X)+b求出E(). 变式训练2已知随机变量和,其中=12+7,且E()=34,若的分布 列如下表,则m的值为() 解析:因为=12+7, 所以E()=12E()+7, 答案:A 均值的实际应用均值的实际应用 典例随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、 二等品50件、三等品20件
6、、次品4件.已知生产1件一、二、三等品 获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设 1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列. (2)求1件产品的平均利润(即X的均值). (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率 提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三 等品率最多是多少? 故X的分布列为 X621-2 P0.630.250.10.02 (2)E(X)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34.故1件产品的平 均利润为4.34万元. (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均
7、利润为 E(X)=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x (0 x0.29), 依题意,E(X)4.73,即4.76-x4.73, 解得x0.03,所以三等品率最多为3%. 方法点睛 解决与生产实际相关的概率问题时,首先把实际问题概 率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大 小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值. 跟踪训练某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概 率分别为 .现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、 乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功,预计
8、企业可获利润120万元;若新产品B研 发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和 均值. 1.已知随机变量X的分布列为 X123 P0.20.5m 则X的均值是() A.2B.2.1 C.2.3D.随m的变化而变化 解析:0.2+0.5+m=1,m=0.3. E(X)=10.2+20.5+30.3=2.1. 答案:B 则当a增大时,E()的变化情况是() A.E()增大 B.E()减小 C.E()先增大后减小 D.E()先减小后增大 答案:B 3.若X的分布列为 ,Y=2X+5,则E(Y)=. 4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知某篮 球运动员罚球命中的概率为0.8,则他罚球一次得分X的均值是 . 解析:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=10.8+00.2=0.8. 答案:0.8 5.袋中有4个红球、3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红 球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值. 所以X的分布列为
