1、第二十七讲圆的有关计算20212021年最新年最新中考备战中考备战一、正多边形和圆一、正多边形和圆1.1.正多边形的定义：各边正多边形的定义：各边_，各角也，各角也_的多边形是正多的多边形是正多边形边形.2.2.正多边形和圆的关系：把一个圆正多边形和圆的关系：把一个圆_，依次连结，依次连结_可作出圆的内接正可作出圆的内接正n n边形边形.相等相等相等相等n n等分等分各分点各分点二、弧长公式二、弧长公式在半径为在半径为r r的圆中，的圆中，n n的圆心角所对的弧长为的圆心角所对的弧长为l=.三、扇形的面积公式三、扇形的面积公式在半径为在半径为r r的圆中，圆心角是的圆中，圆心角是n n的扇形面
2、积的扇形面积S=S=，弧长为弧长为l的扇形面积的扇形面积S=S=.n r1802n r3601r2l四、圆锥的侧面积和全面积四、圆锥的侧面积和全面积1.1.圆锥的有关概念：圆锥的有关概念：(1)(1)母线：圆锥母线：圆锥_上任意一点与圆锥上任意一点与圆锥_的连线叫做的连线叫做圆锥的母线圆锥的母线.(2)(2)高：连结高：连结_与底面与底面_的线段叫做圆锥的高的线段叫做圆锥的高.2.2.面积公式：面积公式：如图：母线长为如图：母线长为l，底面半径为，底面半径为r r的圆锥：的圆锥：S S侧侧=_=_，S S全全=_.=_.底面圆周底面圆周顶点顶点顶点顶点圆心圆心rrlrrl+r+r2 2【思维诊
3、断思维诊断】(打打“”或或“”)1.1.将一个圆分成将一个圆分成4 4份，依次连接各分点所得的四边形为正方形份，依次连接各分点所得的四边形为正方形.()()2.2.正五边形的中心角等于正五边形的中心角等于7272.()()3.3.正六边形外接圆的半径等于其边长正六边形外接圆的半径等于其边长.()()4.4.扇形的面积公式是扇形的面积公式是S=.S=.()()5.5.半径为半径为3cm3cm，圆心角为，圆心角为6060的弧长为的弧长为 cm.cm.()()6.6.圆锥的底面周长等于展开图中扇形的弧长圆锥的底面周长等于展开图中扇形的弧长.()()n R3602热点考向一热点考向一 正多边形和圆的有
4、关计算正多边形和圆的有关计算【例例1 1】(2020(2020绵阳中考绵阳中考)如图，要拧开一个边长为如图，要拧开一个边长为a=6mma=6mm的正的正六边形螺帽，扳手张开的开口六边形螺帽，扳手张开的开口b b至少为至少为()A.6 mmA.6 mmB.12 mmB.12 mmC.6 mmC.6 mmD.4 mmD.4 mm233【思路点拨思路点拨】作辅助线作辅助线一个内角的度数一个内角的度数利用解直角三角形利用解直角三角形的知识求的知识求b b的值的值.【自主解答自主解答】选选C.C.连接连接ACAC，过，过B B作作BDACBDAC于点于点D.D.AB=BCAB=BC，ABCABC是等腰三
5、角形，是等腰三角形，AD=CD.AD=CD.此多边形为正六边形，此多边形为正六边形，ABC=120ABC=120，ABD=60ABD=60，BAD=30BAD=30，AD=ABAD=ABcos 30cos 30=6=6 =3 (mm)=3 (mm)，b=2AD=6 mm.b=2AD=6 mm.3233【规律方法规律方法】正多边形的有关计算的常用公式正多边形的有关计算的常用公式(1)(1)有关角的计算：有关角的计算：正正n n边形的内角和边形的内角和=(n-2)180=(n-2)180，外角和，外角和=360=360.正正n n边形的每个内角边形的每个内角=，每个外角，每个外角=.=.正正n n
6、边形的中心角边形的中心角=.=.n2 180n360n360n(2)(2)有关边的计算：有关边的计算：r r2 2+=R+=R2 2(r(r表示边心距，表示边心距，R R表示半径，表示半径，a a表示边长表示边长).).l=na(=na(l表示周长，表示周长，n n表示边数，表示边数，a a表示边长表示边长).).S S正正n n边形边形=lr(r(l表示周长，表示周长，r r表示边心距表示边心距).).2a()212【真题专练真题专练】1.(20201.(2020天津中考天津中考)正六边形的边心距为正六边形的边心距为 ，则该正六边形，则该正六边形的边长是的边长是()A.A.B.2 B.2 C
7、.3 C.3 D.2 D.2【解析解析】选选B.B.正六边形的边心距为正六边形的边心距为 ，每条边所对的中心角，每条边所对的中心角为为6060，设正六边形的边长为，设正六边形的边长为x x，则，则cos30cos30=，解得，解得x=2.x=2.33333x2.(20202.(2020呼和浩特中考呼和浩特中考)已知已知O O的面积为的面积为22，则其内接正三，则其内接正三角形的面积为角形的面积为()A.3 B.3A.3 B.3 C.C.D.D.36332362【解析解析】选选C.C.如图，由如图，由O O的面积为的面积为22，可得圆的半径，可得圆的半径OC=OC=，所以弦心距所以弦心距OE=O
8、E=，EC=EC=，所以内接所以内接ABCABC的面积的面积=22262126363.2222【知识归纳知识归纳】与正与正n n边形有关的常用计算公式边形有关的常用计算公式设边长为设边长为a a，半径为，半径为R R，中心角，中心角n n=；边长；边长a an n=2Rsin =2Rsin ；边心距边心距r rn n=Rcos =Rcos ；外接圆半径；外接圆半径R=R=；周长周长p pn n=na=nan n；面积；面积S Sn n=a=an nr rn nn=pn=pn nr rn n.360n180n180n22nn1r(a)212123.(20203.(2020天津中考天津中考)正六边
9、形的边心距与边长之比为正六边形的边心距与边长之比为()A.3A.3 B.2B.2 C.12C.12 D.2D.2【解析解析】选选B.B.如图，如图，OBEFOBEF，EFEF为正六边为正六边形的边长，形的边长，O O为正六边形的中心，为正六边形的中心，OEFOEF是等边三角形，是等边三角形，EF=OEEF=OE，=sinOEF =sinOEF，.32OBOBEFOEOB3EF234.(20204.(2020毕节中考毕节中考)正八边形的一个内角是正八边形的一个内角是.【解析解析】根据内角和公式根据内角和公式(n-2)(n-2)180180=(8-2)=(8-2)180180=1080=1080，
10、108010808=1358=135.答案：答案：135135【一题多解一题多解】3603608=458=45，180180-45-45=135=135.答案：答案：1351355.(20205.(2020徐州中考徐州中考)如图，在正八边形如图，在正八边形ABCDEFGHABCDEFGH中，四边形中，四边形BCFGBCFG的面积为的面积为20cm20cm2 2，则正八边形的面积为，则正八边形的面积为cmcm2 2.【解析解析】连接连接ADAD，HEHE，则，则AOBAOB，CDPCDP，EFNEFN，HGMHGM均为全等的等腰直角三角形，均为全等的等腰直角三角形，四边形四边形BCPOBCPO、
11、四边形、四边形GFNMGFNM为全等的矩形为全等的矩形.设正八边形的边长为设正八边形的边长为a a，则，则OA=OB=aOA=OB=a，则，则AD=a+aAD=a+a，S S矩形矩形ADEHADEH=S=S矩形矩形BCFGBCFG=a(a+a)=20(cm=a(a+a)=20(cm2 2).).即即a a2 2+a+a2 2=20(cm=20(cm2 2)，而，而(S(SAOBAOB+S+SCDPCDP+S+SEFNEFN+S+SHGMHGM)+S)+S矩形矩形BCPOBCPO+S S矩形矩形GFNMGFNM=a=a2 2+2+2 a aa=aa=a2 2+a+a2 2=20(cm=20(cm
12、2 2)，故正八边形的面积为故正八边形的面积为20+20=40(cm20+20=40(cm2 2).).答案：答案：404022222222热点考向二热点考向二 弧长公式的应用弧长公式的应用【例例2 2】(2020(2020南充中考南充中考)如图，矩形如图，矩形ABCDABCD中，中，AB=5AB=5，AD=12AD=12，将矩形将矩形ABCDABCD按如图所示的方式在直线按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点上进行两次旋转，则点B B在两次旋转过程中经过的路径的长是在两次旋转过程中经过的路径的长是()A.A.B.13 B.13C.25C.25 D.25 D.252522【思路点拨思路点
13、拨】确定点确定点B B旋转经过的路径为圆弧，根据勾股定理旋转经过的路径为圆弧，根据勾股定理和弧长公式计算即可和弧长公式计算即可.【自主解答自主解答】选选A.A.连接连接BDBD，BDBD，AB=5AB=5，AD=12AD=12，BD=13BD=13，点点B B在两次旋转过程中经过的路径的长是在两次旋转过程中经过的路径的长是 22512901313BB1802 ，9012B B6180 ，13256.22 【规律方法规律方法】弧长公式的应用弧长公式的应用对于弧长公式对于弧长公式l=，可变形为：，可变形为：n=n=或或R=R=，在三，在三个量个量l，n n，R R中，若已知其中两个量，就可以求出第
14、三个量中，若已知其中两个量，就可以求出第三个量.注意：在计算过程中，注意：在计算过程中，l与与R R的单位要统一的单位要统一.n R180180Rl180nl【真题专练真题专练】1.(20201.(2020云南中考云南中考)已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为4545，半径长为，半径长为1212，则该扇形的弧长为则该扇形的弧长为()A.A.B.2 B.2 C.3 C.3D.12D.12【解析解析】选选C.C.根据弧长公式得根据弧长公式得l=3.=3.344512180 2.(20202.(2020兰州中考兰州中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，ABC=30ABC
15、=30，AB=2AB=2，将，将ABCABC绕直角顶点绕直角顶点C C逆时针旋转逆时针旋转6060得得ABCABC，则点则点B B转过的路径长为转过的路径长为()A.A.B.B.C.C.D.D.33323【解析解析】选选B.B.在在RtRtABCABC中，中，ABC=30ABC=30，AB=2AB=2，所以所以AC=1AC=1，由勾股定理得，由勾股定理得，BC=BC=，由旋转知，由旋转知，BCB=60BCB=60，点，点B B转过的路径长为转过的路径长为 .360331803【变式训练变式训练】(2020(2020苏州中考苏州中考)如图，如图，ABAB切切O O于点于点B B，OA=2OA=2
16、，OAB=30OAB=30，弦弦BCOABCOA，劣弧，劣弧 的弧长为的弧长为.(结果保留结果保留)BC【解析解析】连接连接OBOB，OCOC，ABAB为为O O的切线，的切线，ABO=90ABO=90.在在RtRtABOABO中，中，OA=2OA=2，OAB=30OAB=30，OB=1OB=1，AOB=60AOB=60.BCOABCOA，OBC=AOB=60OBC=AOB=60，又又OB=OCOB=OC，BOCBOC为等边三角形，为等边三角形，BOC=60BOC=60，则劣弧，则劣弧 长为长为 答案：答案：BC601180333.(20203.(2020西宁中考西宁中考)如图，网格图中每个小
17、正方形的边长为如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧则弧ABAB的长的长l=.【解析解析】由题干图可得由题干图可得AOBAOB9090，OAOAOBOB ，l答案：答案：32333 2903 23 2.18023 22热点考向三热点考向三 扇形面积公式的应用扇形面积公式的应用【例例3 3】(2020(2020衢州中考衢州中考)如图，将一如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧在直线重合，重叠部分的量角器弧ABAB对对应的圆心角应的圆心角(AOB)(AOB)
18、为为120120，OCOC的长为的长为2cm2cm，则三角板和量角，则三角板和量角器重叠部分的面积为器重叠部分的面积为.【思路点拨思路点拨】重叠部分由扇形重叠部分由扇形AOBAOB和和RtRtBOCBOC组成，求出它们各组成，求出它们各自的面积再求和自的面积再求和.【自主解答自主解答】由图知三角板和量角器重叠部分由扇形由图知三角板和量角器重叠部分由扇形AOBAOB和和RtRtBOCBOC组成，在组成，在RtRtBOCBOC中，因为中，因为AOBAOB为为120120，OCOC的长为的长为2cm2cm，所以，所以COB=60COB=60，OB=2OC=4OB=2OC=4，BC=2 BC=2 ，所
19、以扇形，所以扇形AOBAOB的的面积面积=，RtRtBOCBOC的面积的面积=2 22 =2 2 =2 ，所以三角板和量角器重叠部分的面积为所以三角板和量角器重叠部分的面积为 cmcm2 2.答案：答案：cmcm2 232120416360312316(2 3)316(2 3)33【规律方法规律方法】扇形面积公式的选择扇形面积公式的选择1.1.当已知半径当已知半径R R和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S S扇形扇形=.=.2.2.当已知半径当已知半径R R和弧长求扇形的面积时，应选用公式和弧长求扇形的面积时，应选用公式S S扇形扇形=lR.R.3.3
20、.扇形面积公式扇形面积公式S S扇形扇形=lR R与三角形面积公式十分类似，为了便与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，看成底，R R看成底边上的高即可看成底边上的高即可.2n R3601212【真题专练真题专练】1.(20201.(2020成都中考成都中考)在圆心角为在圆心角为120120的扇形的扇形AOBAOB中，半径中，半径OA=6cmOA=6cm，则扇形，则扇形AOBAOB的面积是的面积是()A.6cmA.6cm2 2B.8cmB.8cm2 2C.12cmC.12cm2 2D.24cmD.24c
21、m2 2【解析解析】选选C.S=12(cmC.S=12(cm2 2).).22n r12063603602.(20202.(2020石家庄模拟石家庄模拟)如果一个扇形的弧长等于它的半径，那如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为么此扇形称为“等边扇形等边扇形”.则半径为则半径为2 2的的“等边扇形等边扇形”的面积的面积为为()A.A.B.1 B.1 C.2 C.2 D.D.【解析解析】选选C.C.根据扇形的面积公式，得根据扇形的面积公式，得S=S=lr=r=2 22=2.2=2.2312123.(20203.(2020咸宁中考咸宁中考)如图，在扇形如图，在扇形OABOAB中，中，AOB=
22、90AOB=90，点，点C C是是 上的一个动点上的一个动点(不与不与A A，B B重合重合)，ODBCODBC，OEACOEAC，垂足分，垂足分别为别为D D，E.E.若若DE=1DE=1，则扇形，则扇形OABOAB的面积为的面积为.AB【解析解析】连结连结ABAB，由，由ODOD垂直于垂直于BCBC，OEOE垂直于垂直于ACAC，利用垂径定理得到利用垂径定理得到D D，E E分别为分别为BCBC，ACAC的中点，即的中点，即EDED为三角形为三角形ABCABC的中位线，由的中位线，由DE=1DE=1，AB=2AB=2，AOB=90AOB=90，利用勾股定理求出利用勾股定理求出OAOA的长为
23、的长为 ，根据扇形的面积公式根据扇形的面积公式 ，可得扇形的面积为可得扇形的面积为 .答案：答案：2n R360222热点考向四热点考向四 圆锥的侧面积、全面积圆锥的侧面积、全面积【例例4 4】(2020(2020黄石中考黄石中考)已知直角三角形已知直角三角形ABCABC的一条直角边的一条直角边AB=12cmAB=12cm，另一条直角边，另一条直角边BC=5cmBC=5cm，则以，则以ABAB为轴旋转一周，所得为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是到的圆锥的表面积是()A.90cmA.90cm2 2B.209cmB.209cm2 2C.155cmC.155cm2 2D.65cmD.65cm2 2
24、【思路点拨思路点拨】利用圆锥侧面积利用圆锥侧面积+圆锥底面积圆锥底面积=圆锥表面积求得；圆锥表面积求得；圆锥的侧面展开图是扇形，先根据勾股定理求圆锥的母线长，圆锥的侧面展开图是扇形，先根据勾股定理求圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积再利用圆锥侧面积=r=rl，其中，其中r r是底面圆的半径，是底面圆的半径，l是母线长；是母线长；再加上底面积即可再加上底面积即可.【自主解答自主解答】选选A.ABC=90A.ABC=90，AB=12AB=12，BC=5BC=5，AC=13.AC=13.侧侧面积面积S=rS=rl=5=513=65(cm13=65(cm2 2)，底面积，底面积S=rS=r2 2=25(c
25、m=25(cm2 2)，圆锥的表面积圆锥的表面积=65+25=90(cm=65+25=90(cm2 2).).【规律方法规律方法】圆锥和其侧面展开图圆锥和其侧面展开图(扇形扇形)之间的等量关系之间的等量关系(1)h(1)h2 2+r+r2 2=l2 2.(2)(2)的长的长=O O周长周长=.=.(3)S(3)S扇形扇形ABCABC=r=rl.BCn180l2n360l【备选例题备选例题】(2020(2020泸州中考泸州中考)如图，从半径为如图，从半径为9cm9cm的圆形纸的圆形纸片上剪去片上剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接接缝处不重叠
26、缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为，那么这个圆锥的高为cm.cm.13【解析解析】圆心角是圆心角是360360 =240 =240，则弧长是则弧长是 =12(cm)=12(cm)，设圆锥的底面半径是设圆锥的底面半径是r r，则，则2r=122r=12，解得解得r=6.r=6.则圆锥的高是则圆锥的高是 (cm).(cm).答案：答案：3 31(1)3240918022963 55【真题专练真题专练】1.(20201.(2020济宁中考济宁中考)如果圆锥的母线长为如果圆锥的母线长为5cm5cm，底面半径为，底面半径为2cm2cm，那么这个圆锥的侧面积是那么这个圆锥的侧面积是()A A.10.10 c
27、mcm2 2B B.10.10cmcm2 2C C.20.20cmcm2 2D D.20.20cmcm2 2【解析解析】选选B.B.圆锥的侧面积圆锥的侧面积S=rS=rl，r r是底面半径，是底面半径，l是母线是母线长长.S=.S=2 25=10(cm5=10(cm2 2).).2.(20202.(2020绍兴中考绍兴中考)如图，圆锥的侧面展开图是半径为如图，圆锥的侧面展开图是半径为3 3，圆，圆心角为心角为9090的扇形，则该圆锥的底面周长为的扇形，则该圆锥的底面周长为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选B.B.扇形的弧长为扇形的弧长为 ，所以圆锥的底面，所以圆锥的底面周长为
28、周长为 .34323290331802l32343.(20203.(2020呼和浩特中考呼和浩特中考)一个底面直径是一个底面直径是80cm80cm，母线长为，母线长为90cm90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为.【解析解析】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面展开图是扇形，则扇形的弧长为则扇形的弧长为80cm80cm，半径为，半径为90cm90cm，由弧长公式得由弧长公式得80=80=，所以圆心角的度数所以圆心角的度数n=160n=160.答案：答案：160160n90180【知识归纳知识归纳】有关圆锥计算的三个关键点有关圆锥计算的三个关键点1.1.圆锥的
29、母线长为圆锥侧面展开图的半径圆锥的母线长为圆锥侧面展开图的半径.2.2.圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长.3.3.圆锥的母线长圆锥的母线长l、底面半径、底面半径r r、高、高h h之间具有关系：之间具有关系：r r2 2+h+h2 2=l2 2.注意：计算时圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线，注意与底注意：计算时圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线，注意与底面半径的区分面半径的区分.4.(20204.(2020佛山中考佛山中考)如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线母线ABAB与高与高AOAO的夹角的夹角.参考公式
30、：圆锥的侧面积参考公式：圆锥的侧面积S=rS=rl，其中，其中r r为底面半径，为底面半径，l为母线为母线长长.【解析解析】2r=2r=l，l=2r=2r，sinBAO=sinBAO=BAO=30BAO=30，母线母线ABAB与高与高AOAO的夹角为的夹角为3030.r1,2l【知识归纳知识归纳】学习圆锥的侧面积与全面积需注意的两个问题学习圆锥的侧面积与全面积需注意的两个问题1.1.弄清圆锥的底面半径、高、母线之间的关系：圆锥的轴截面弄清圆锥的底面半径、高、母线之间的关系：圆锥的轴截面是等腰三角形是等腰三角形.2.2.与圆锥侧面积有关的几何体的表面积的计算：一是分析清楚与圆锥侧面积有关的几何体
31、的表面积的计算：一是分析清楚几何体表面的构成，二是弄清圆锥与其侧面展开扇形各元素之几何体表面的构成，二是弄清圆锥与其侧面展开扇形各元素之间的对应关系间的对应关系.热点考向五热点考向五 与圆有关的阴影面积的计算与圆有关的阴影面积的计算【例例5 5】(2020(2020威海中考威海中考)如图，如图，CDCD为为O O的直径，的直径，CDABCDAB，垂足为，垂足为F F，AOBCAOBC，垂足为点垂足为点E E，AO=1.AO=1.(1)(1)求求C C的大小的大小.(2)(2)求阴影部分的面积求阴影部分的面积.【解题探究解题探究】(1)(1)题目已知条件中，没有已知角的度数，如何求题目已知条件中
32、，没有已知角的度数，如何求C C的大小？的大小？提示：提示：可根据垂径定理及推论得出可根据垂径定理及推论得出CDABCDAB，得出，得出C=AOD.C=AOD.再根据对顶角相等，得出再根据对顶角相等，得出AOD=COEAOD=COE，得出，得出C C与与COECOE的关系，在的关系，在RtRtCOECOE中，根据两锐角互余，求出中，根据两锐角互余，求出C C的的大小大小.ADBD12(2)(2)阴影部分的面积等于哪些图形的和差，怎样求出？阴影部分的面积等于哪些图形的和差，怎样求出？提示：提示：S S阴影阴影=S=S扇形扇形OABOAB-S-SOABOAB.由由(1)(1)所求得的所求得的C C
33、度数可得度数可得AODAOD的的度数，即可求出度数，即可求出AOBAOB的度数，再利用的度数，再利用3030的直角三角形边角的直角三角形边角关系，求出关系，求出OFOF，ABAB的长度，利用扇形面积公式的长度，利用扇形面积公式S S扇形扇形=R=R2 2和和三角形面积公式，可求出三角形面积公式，可求出S S扇形扇形OABOAB-S-SOABOAB.n360【尝试解答尝试解答】(1)CD(1)CD为为O O的直径，的直径，CDABCDAB，C=AOD.C=AOD.AOD=COEAOD=COE，C=COE.C=COE.AOBCAOBC，C=30C=30.(2)(2)连接连接OB.OB.由由(1)(
34、1)知知C=30C=30，AOD=60AOD=60，AOB=120AOB=120.在在RtRtAOFAOF中，中，AO=1AO=1，AOF=60AOF=60，AF=AF=，OF=OF=，AB=.AB=.SS阴影阴影=S=S扇形扇形OABOAB-S-SOABOAB=1 12 2-ADBD12123212312036011133.2234【规律方法规律方法】求圆中有关阴影部分面积的方法求圆中有关阴影部分面积的方法1.1.求不规则图形的面积，常转化为几个规则图形的面积的和差，求不规则图形的面积，常转化为几个规则图形的面积的和差，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果然后求出各图形的面积，通过面
35、积的和差求出结果.2.2.求阴影部分面积的求阴影部分面积的“五种常见方法五种常见方法”：(1)(1)公式法公式法.(2).(2)割补法割补法.(3).(3)拼凑法拼凑法.(4).(4)等积变形法等积变形法.(5)(5)构造方程法构造方程法.【备选例题备选例题】(2020(2020枣庄中考枣庄中考)如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，ACAC是是弦，直线弦，直线EFEF经过点经过点C C，ADEFADEF于点于点D D，DAC=BAC.DAC=BAC.(1)(1)求证求证EFEF是是O O的切线的切线.(2)(2)求证求证ACAC2 2=AD=ADAB.AB.(3)(3)若若O O的半
36、径为的半径为2 2，ACD=30ACD=30，求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积.【解析解析】(1)(1)连接连接OCOC，ADEFADEF，ADC=90ADC=90，ACD+CAD=90ACD+CAD=90，OC=OAOC=OA，ACO=CAOACO=CAO，DAC=BACDAC=BAC，CAD=ACOCAD=ACO，ACD+CAD=90ACD+CAD=90，ACD+ACO=90ACD+ACO=90，即即OCD=90OCD=90，EFEF是是O O的切线的切线.(2)(2)连接连接BC.BC.CDCD是是O O的切线，的切线，OCD=90OCD=90，ABAB是直径，是直径，ACB=9
37、0ACB=90.ACD+OCA=90ACD+OCA=90，OCA+OCB=90OCA+OCB=90，ACD=OCB.ACD=OCB.OB=OCOB=OC，OCB=BOCB=B，B=ACD.B=ACD.在在RtRtACDACD与与RtRtACBACB中，中，B=ACDB=ACD，ACB=ADCACB=ADC，ABCABCACDACD，即，即ACAC2 2=AB=ABAD.AD.ABACACAD【一题多解一题多解】(锐角三角函数法锐角三角函数法)cosBAC=cosCAD)cosBAC=cosCAD，即，即ACAC2 2=AB=ABAD.AD.(3)CD(3)CD是是O O的切线，的切线，OCD=
38、90OCD=90，即，即ACD+ACO=90ACD+ACO=90，ACD=30ACD=30，ACO=60ACO=60.OC=OAOC=OA，ACOACO是等边三角形，是等边三角形，AC=OC=2AC=OC=2，AOC=60AOC=60，在在RtRtADCADC中，中，ACD=30ACD=30，AD=1AD=1，CD=CD=，S S阴影阴影=S=S梯形梯形OCDAOCDA-S-S扇形扇形OCAOCA=ACADABAC3216023 32123.236023【真题专练真题专练】1.(20201.(2020东营中考东营中考)如图，已知扇形的如图，已知扇形的圆心角为圆心角为6060，半径为，半径为 则
39、图中弓形则图中弓形的面积为的面积为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.S=C.S=43 343423 343 322260(3)323 3(3).360443，2.(20202.(2020黔南州中考黔南州中考)如图，已知圆如图，已知圆O O的半径是的半径是2 2，AOB=60AOB=60，则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为(结果可用结果可用表示表示).).【解析解析】圆圆O O的半径是的半径是2 2，AOB=60AOB=60，S S扇形扇形ABOABO=，OA=OB=2OA=OB=2，AOB=60AOB=60，S SABOABO=2 2 =，S S阴影阴影=S=S扇形扇形
40、ABOABO-S-SABOABO=-.=-.答案：答案：-26022360312332332333.(20203.(2020十堰中考十堰中考)如图，扇形如图，扇形OABOAB中，中，AOB=60AOB=60，扇形半，扇形半径为径为4 4，点，点C C在在 上，上，CDOACDOA，垂足为点，垂足为点D D，当，当OCDOCD的面积最的面积最大时，图中阴影部分的面积为大时，图中阴影部分的面积为.AB【解析解析】OC=4OC=4，点，点C C在在 上，上，CDOACDOA，DC=DC=，S SOCDOCD=S SOCDOCD2 2=ODOD2 2(16-OD(16-OD2 2)=-)=-ODOD4
41、 4+4OD+4OD2 2=-=-(OD(OD2 2-8)-8)2 2+16+16，当当ODOD2 2=8=8，即，即OD=2OD=2 时时OCDOCD的面积最大，的面积最大，DC=DC=2=2 ，AB222OCOD16OD21OD16OD2，1414142222OCOD16OD2COA=45COA=45，阴影部分的面积阴影部分的面积=扇形扇形AOCAOC的面积的面积-OCDOCD的面积的面积=2-4.=2-4.答案：答案：2-42-4245412 22 23602【知识归纳知识归纳】求阴影部分面积的四种方法求阴影部分面积的四种方法1.1.面积的和差：把不规则图形阴影部分的面积通过平移、翻折，
42、面积的和差：把不规则图形阴影部分的面积通过平移、翻折，或将所给图形中的某一部分绕一个点旋转适当的角度，转化为或将所给图形中的某一部分绕一个点旋转适当的角度，转化为规则图形面积的和差规则图形面积的和差.2.2.等积变形法：把不易或难以求出的不规则图形面积转化为与等积变形法：把不易或难以求出的不规则图形面积转化为与其相等的规则图形面积其相等的规则图形面积.3.3.整体思想：把分散的几个阴影部分的面积，通过整体考虑，整体思想：把分散的几个阴影部分的面积，通过整体考虑，拼在一起用整体的方法求解拼在一起用整体的方法求解.4.4.代数法：分析题设中几何图形的条件，再转化为代数条件，代数法：分析题设中几何图
43、形的条件，再转化为代数条件，设出未知数，然后列方程求解设出未知数，然后列方程求解.4.(20204.(2020滨州中考滨州中考)如图，点如图，点D D在在O O的直径的直径ABAB的延长线上，点的延长线上，点C C在在O O上，上，AC=CDAC=CD，ACD=120ACD=120.(1)(1)求证：求证：CDCD是是O O的切线的切线.(2)(2)若若O O的半径为的半径为2 2，求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积.【解析解析】(1)(1)连结连结OC.AC=CDOC.AC=CD，ACD=120ACD=120，A=D=30A=D=30.OA=OCOA=OC，2=A=302=A=30，
44、OCD=90OCD=90，CDCD是是O O的切线的切线.(2)A=30(2)A=30，1=2A=601=2A=60，S S扇形扇形BOCBOC=在在RtRtOCDOCD中，中，=tan60=tan60，26022.3603CDOCCD=2 CD=2 ，S SRtRtOCDOCD=OC=OCCD=CD=2 22 =2 2 =2 ，图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积为 312123322 3.3【巧思妙解巧思妙解】巧用转化思想解题巧用转化思想解题【典例典例】(2020(2020宁夏中考宁夏中考)如图，以等腰如图，以等腰直角直角ABCABC两锐角顶点两锐角顶点A A，B B为圆心作等圆，为圆心
45、作等圆，A A与与B B恰好外切，若恰好外切，若AC=2AC=2，那么图中两，那么图中两个扇形个扇形(即阴影部分即阴影部分)的面积之和为的面积之和为()A.A.B.B.C.C.D.D.1412222【常规解法常规解法】选选B.B.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中AC=2AC=2，AB=2 AB=2 ，A=B=45A=B=45，圆的半径为圆的半径为 ，S S扇形扇形=22245(2)45(2).3603604422【巧妙解法巧妙解法】选选B.B.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中AC=2AC=2，AB=2 AB=2 ，圆的半径为圆的半径为 ，又，又A+B=90A+B
46、=90，S S扇形扇形=22290(2).3602【解法对比解法对比】1.1.本题若分别求出两个扇形的面积，再求阴影部本题若分别求出两个扇形的面积，再求阴影部分的面积计算量较大且容易出错分的面积计算量较大且容易出错.2.2.观察两个扇形观察两个扇形(即阴影部分即阴影部分)的面积之和，运用转化思想，转的面积之和，运用转化思想，转化为求圆心角为化为求圆心角为9090扇形的面积，步骤简单且运算量小扇形的面积，步骤简单且运算量小.【技巧点拨技巧点拨】转化思想是数学的重要思想方法，在求阴影部分转化思想是数学的重要思想方法，在求阴影部分的面积时经常用到的面积时经常用到.利用转化思想常能解决求阴影部分的面积的三类问题：利用转化思想常能解决求阴影部分的面积的三类问题：1.1.能转化为圆心角为能转化为圆心角为6060，9090扇形的面积的题目扇形的面积的题目.2.2.能转化为半圆，圆的面积的题目能转化为半圆，圆的面积的题目.3.3.能转化为圆心角为能转化为圆心角为6060，9090扇形的面积和特殊的三角形扇形的面积和特殊的三角形(等边三角形，等腰直角三角形等边三角形，等腰直角三角形)和差等的题目和差等的题目.中中 考考备备 战战2021 欢迎交流欢迎交流中中 考考备备 战战2021 谢谢 谢谢预祝你们今年预祝你们今年“好收成好收成”！中中 考考备备 战战2021
