1、栏目索引专题四专题四 图形面积计算图形面积计算栏目索引总纲目录专题概述专题概述命题探究命题探究专题训练专题训练总纲目录总纲目录栏目索引专题概述计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题,它包括两种主要类型:1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式,所以常见图形面积一般用公式来解.2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算,解题的关键是将非常规图形面积用常见图形面积的和或差来表示.专题概述栏目索引专题概述【备考策略】【备考策略】计算图形的面积还常常用到以下知识:(1)等底等高的两个三角形面积相等;(2)等底的两个三角形面积的比等于对应高的比;(3)等高的
2、两个三角形面积的比等于对应底的比;(4)等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积;(5)三角形一边上的中线平分这个三角形的面积;(6)平行四边形的对角线平分该平行四边形的面积.栏目索引命题探究命题探究命题点一命题点一 多边形相关的面积计算多边形相关的面积计算命题点二命题点二 与圆有关的面积计算与圆有关的面积计算命题点三命题点三 反比例函数中的面积计算反比例函数中的面积计算栏目索引命题探究命题点一命题点一 多边形相关的面积计算多边形相关的面积计算解决多边形相关的面积计算问题时,关键是正确应用三角形或特殊四边形的面积公式及其性质,特别地,要注意同底等高的三角形.栏目索引命题探究例例1 1 (201
3、8东营)如图,在RtABC中,B=90,以顶点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线CP交AB于点D,若BD=3,AC=10,则ACD的面积是 15 .12栏目索引命题探究解析解析由题中所给的作图方法可知,CP为ACB的平分线,过点D作DGAC于点G,B=90,DG=DB=3.AC=10,SACD=ACDG=103=15.1212栏目索引命题探究变式变式1-11-1 (2018淄博)如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则ABC的面积为(A )A.9+B.9+C.
4、18+25 D.18+2543252332523栏目索引命题探究解析解析ABC为等边三角形,BA=BC,可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA,连接EP,且延长BP,作AFBP于点F,如图,BE=BP=4,AE=PC=5,PBE=60.BPE为等边三角形,PE=PB=4,BPE=60,栏目索引命题探究在AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,AE2=PE2+PA2,APE为直角三角形,且APE=90,APB=90+60=150,APF=30,在RtAPF中,AF=AP=,PF=AP=,在RtABF中,AB2=BF2+AF2123232323栏目索引命题探究=+=25+12.则ABC的面积是AB
5、2=(25+12)=9+.故选A.2343223233434325 34栏目索引命题探究命题点二命题点二 与圆有关的面积计算与圆有关的面积计算在计算与圆有关的阴影部分的面积时,要注意分析和观察图形,学会分解和组合图形,明确要计算的图形的面积可以通过哪些基本图形面积的和或差进行转化.常用方法:(1)公式法:如扇形、三角形、特殊四边形等图形的面积;(2)和差法:要求面积的图形是不规则图形,可通过转化成规则图形的和或差进行求解;(3)等积变换法:直接求面积较复杂或无法计算时,可通过对图形进行平移、旋转、割补等,为利用公式或和差法求解创造条件.栏目索引命题探究例例2 2 (2018河南)如图,在ABC
6、中,ACB=90,AC=BC=2,将ABC绕AC的中点D逆时针旋转90得到ABC,其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为 -.BB5432栏目索引命题探究解析解析如图,连接BD,BD,作DEAB于点E.在RtBCD中,BC=2,CD=AC=1,BD=.由旋转得ABAB,BDB=90,DE=AA=AB=,BC=,S阴影=S扇形BDB-SBCD-SBCD=-21=-.1222CBCD5121422290536012222125432栏目索引命题探究变式变式2-12-1 (2018烟台)如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,点M为AF的中点.以点O为圆心,以OM的长为半径画弧得到扇形MON,
7、点N在BC上,以点E为圆心,以DE的长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON的两条半径OM,ON重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为r1;将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2,则r1r2=2 .3栏目索引命题探究解析解析连接OA.M为AF的中点,OMAF.六边形ABCDEF为正六边形,AOM=30,设AM=a,则AB=AO=2a,OM=a.正六边形的中心角为60,MON=120,3栏目索引命题探究扇形MON的弧长为=a,则r1=a.同理:扇形DEF的弧长为=a,则r2=a.r1 r2=2.1203180a2 33331202180a43233栏目索引命题探究命题点三命题点三 反
8、比例函数中的面积计算反比例函数中的面积计算解答与反比例函数有关的图形面积的计算问题,关键要注意两点:一是明确反比例函数中比例系数k与图形面积的关系;二是能根据已知条件正确确定反比例函数的表达式.栏目索引命题探究例例3 3 (2018济宁)如图,点A是反比例函数y=(x0)图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C.过点A作AD于x轴,垂足为D,连接DC,若BOC的面积是4,则DOC的面积是 2 -2 .4x3栏目索引命题探究解析解析BOC的面积是4,令OB=4,则OC=2,B(-4,0),C(0,2).将点B,C代入y=kx+b可得y=x+2.点A是y=x+2与y=的图象
9、的交点,点A(2-2,+1),OD=2-2,SDOC=(2-2)2=2-2.12124x3331233栏目索引命题探究变式变式3-13-1 (2018烟台)如图,反比例函数y=的图象经过ABCD对角线的交点P,已知点A,C,D在坐标轴上,BDDC,ABCD的面积为6,则k=-3 .kx栏目索引命题探究解析解析过点P作PEy轴于点E,四边形ABCD为平行四边形,AB=CD.又BDx轴,四边形ABDO为矩形,AB=DO,S矩形ABDO=SABCD=6.P为AC,BD的交点,PEy轴,四边形PDOE为矩形,且面积为3,栏目索引命题探究即DOEO=3,设P点坐标为(x,y),k=xy=-3.栏目索引专
10、题训练一、选择题一、选择题1.(2018重庆)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,横坐标分别为1,4,对角线BDx轴.若菱形ABCD的面积为,则k的值为(D )kx452专题训练A.B.C.4 D.554154栏目索引专题训练解析解析过点P作PEy轴于点E,四边形ABCD为平行四边形,AB=CD.又BDx轴,四边形ABDO为矩形,AB=DO,S矩形ABDO=SABCD=6.P为AC,BD的交点,PEy轴,四边形PDOE为矩形,且面积为3,栏目索引专题训练即DOEO=3,设P点坐标为(x,y),k=xy=-3.栏目索引专题训练2.(2018浙
11、江温州)如图,点A,B在反比例函数y=(x0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,ACBDy轴.已知点A,B的横坐标分别为1,2,OAC与ABD的面积之和为,则k的值为(B )1xkx32A.4 B.3 C.2 D.32栏目索引专题训练解析解析点A,B在反比例函数y=(x0)的图象上,且点A,B的横坐标分别是1,2,A(1,1),B.ACBDy轴,点C与点A的横坐标相同,点D与点B的横坐标相同.点C,D在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,C(1,k),D.延长CA,DB分别与x轴交于点E、点F,1x12,2kx2,2k栏目索引专题训练则SOAC=SOCE-SOAE=-
12、.易知SABD=(2-1)=-,SOAC+SABD=-+-=-=,k=3.2k 1212122k4k142k124k 1434k3432栏目索引专题训练3.(2018浙江温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为(B )A.20 B.24 C.D.994532栏目索引专题训练解析解析如图,设小正方形的边长为x(x0).a=3,b=4,AB=3+4=7.在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即(3+x
13、)2+(x+4)2=72,整理得x2+7x-12=0,解得x=或x=(舍去),该矩形的面积=24,故选B.7972 7972 79732 79742 栏目索引专题训练二、填空题二、填空题4.(2018福建)如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,BCx轴,ACy轴,则ABC面积的最小值为 6 .3x栏目索引专题训练解析解析令=x+m,整理得x2+mx-3=0,则xA=,xB=.BCx轴,ACy轴,且直线AB为y=x+m,AC=BC=xA-xB=,SABC=(m2+12)6,当且仅当m=0时取“=”.故ABC面积的最小值为6.3x2122mm2122mm212m 12栏目索引专题训练5
14、.(2018枣庄)如图,在正方形ABCD中,AD=2,把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP,连接AP并延长交CD于点E,连接PC,则三角形PCE的面积为 9-5 .33栏目索引专题训练解析解析四边形ABCD是正方形,ABC=90.把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP,PB=BC=AB,PBC=30,ABP=60,ABP是等边三角形,BAP=60,AP=AB=2.AD=2,AE=4,DE=2,CE=2-2,PE=4-2.过P作PFCD于点F,3333栏目索引专题训练PF=PE=2-3,三角形PCE的面积=CEPF=(2-2)(2-3)=9-5.3231212333栏目索引专题训练6.(2
15、018贵州贵阳)如图,过x轴上任意一点P作y轴的平行线,分别与反比例函数y=(x0),y=-(x0)的图象交于A点和B点,若C为y轴上任意一点,连接AC,BC,则ABC的面积为 .3x6x92栏目索引专题训练解析解析解法一:设点P(m,0),可得点A,B,AB=+=,SABC=m=.解法二:如图,连接OA,OB,ABy轴,SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=.解法三:特殊点法,当点C在原点时,SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=3,mm6,mm3m6m9m129m92326292326292栏目索引专题训练7.(2018重庆)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以点A为
16、圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,图中阴影部分的面积是 6-(结果保留).栏目索引专题训练解析解析 S阴影=23-22=6-.90360栏目索引专题训练8.如图,在ABC中,AB=BC=2,ABC=90,则图中阴影部分的面积是 -2 .栏目索引专题训练解析在RtABC中,利用勾股定理得AC=2.因为AB=BC=2,所以AC边上的高为2sin 45=.记以AB,BC为直径的半圆的面积分别为S1,S2,则S阴影=S1+S2-SABC=12-2=-2.2222221222栏目索引专题训练三、解答题三、解答题9.(2018潍坊)如图,直线y=3x-5与反比例函数y=的图象相交于A(2,m),B(n
17、,-6)两点,连接OA,OB.(1)求k和n的值;(2)求AOB的面积.1kx栏目索引专题训练解析解析(1)点B(n,-6)在直线y=3x-5上,-6=3n-5,解得n=-,B.反比例函数y=的图象也经过点B,k-1=-6=2,解得k=3.131,631kx1,6313栏目索引专题训练(2)设直线y=3x-5分别与x轴,y轴相交于点C,点D,当y=0,即3x-5=0时,x=,OC=.当x=0时,y=30-5=-5,OD=5.点A(2,m)在直线y=3x-5上,m=32-5=1,即A(2,1),SAOB=SAOC+SCOD+SBOD=1+5+5=.535312535313356栏目索引专题训练1
18、0.(2018枣庄)如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n0)的图象在第二象限交于点C.CDx轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)记两函数图象的另一个交点为E,求CDE的面积;(3)直接写出不等式kx+b 的解集.nxnx栏目索引专题训练栏目索引专题训练解析解析(1)由已知得OA=6,OB=12,OD=4.CDx轴,OBCD,ABOACD,=,=,CD=20,点C的坐标为(-4,20),n=xy=-80.反比例函数的解析式为y=-.把点A(6,0),B(0,12)代入y=kx+b(k0),得解得一次函数的解析式为y=-2x+12.OAADOBCD61012CD80 x06,12,kbb2,12,kb 栏目索引专题训练(2)当-=-2x+12时,解得x1=10,x2=-4.当x=10时,y=-8.点E的坐标为(10,-8).SCDE=SCDA+SEDA=2010+810=140.(3)不等式kx+b,从函数图象上看,表示一次函数的图象不高于反比例函数的图象,由图象得,x10或-4x0.80 x1212nx
