1、第二节等差数列及其前n项和(全国卷5年5考)【知识梳理知识梳理】1.1.等差数列与等差等差数列与等差中项中项(1)(1)定义定义:文字语言文字语言:从从_起起,每一项与它的前一项的每一项与它的前一项的_都都等于等于_一个常数一个常数;第第2 2项项差差同同符号语言符号语言:_(nN:_(nN*,d,d为常数为常数).).(2)(2)等差中项等差中项:若三个数若三个数a,A,ba,A,b组成等差数列组成等差数列,则则_叫做叫做a,ba,b的等差中项的等差中项.a an+1n+1-a-an n=d=dA A2.2.等差数列的通项公式与前等差数列的通项公式与前n n项和公式项和公式(1)(1)通项公
2、式通项公式:a:an n=_.=_.(2)(2)前前n n项和公式项和公式:S:Sn n=_=_.=_=_.a a1 1+(n-1)d+(n-1)d1nn aa21n n1nad2【常用结论常用结论】等差数列的性质等差数列的性质:(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,an n=a=am m+(n-m)d.+(n-m)d.(2)(2)已知等差数列已知等差数列aan n,若若m+n=p+q(m,n,p,qNm+n=p+q(m,n,p,qN*),),则则a an n+a+am m=a=ap p+a+aq q.(3)(3)若若aan n 是等差数列是等差数列,公差为公差为d,d,则则a
3、 ak k,a,ak+mk+m,a,ak+2mk+2m,(k,mN(k,mN*)是公差为是公差为mdmd的等差数列的等差数列.(4)(4)若若S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和,则数列则数列S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m,S S3m3m-S-S2m2m,也是等差数列也是等差数列.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”错误的打错误的打“”)”)(1)(1)等差数列等差数列aan n 的单调性是由公差的单调性是由公差d d决定的决定的.()(2)(2)若若aan n 是等差数列是等差数列,公差
4、为公差为d,d,则数列则数列aa3n3n 也是等差也是等差数列数列.()(3)(3)若若aan n,b,bn n 都是等差数列都是等差数列,则数列则数列papan n+qb+qbn n 也是等也是等差数列差数列.()(4)(4)等差数列的前等差数列的前n n项和公式是关于项和公式是关于n n的二次函数的二次函数,若一若一个数列的前个数列的前n n项和为二次函数项和为二次函数,则该数列为等差数列则该数列为等差数列.()提示提示:(1).(1).因为在等差数列因为在等差数列aan n 中中,当公差当公差d0d0时时,该该数列是递增数列数列是递增数列,当公差当公差d0d0,0,则则S Sn n中最大
5、的是中最大的是()A.SA.S6 6B.SB.S7 7C.SC.S8 8D.SD.S1515 【解析解析】选选B.B.由由S S5 5=S=S9 9,得得a a6 6+a+a7 7+a+a8 8+a+a9 9=2(a=2(a7 7+a+a8 8)=0,)=0,由由a a1 100知知,a,a7 70,a0,a8 80,9),30(n9),若若S Sn n=336,=336,则则n n的值为的值为()A.18A.18B.19B.19C.20C.20D.21D.21n4a【解析解析】选选D.D.因为因为aan n 是等差数列是等差数列,所以所以S S9 9=9a=9a5 5=18,a=18,a5
6、5=2,=2,S Sn n=32=16n=336,32=16n=336,解得解得n=21.n=21.5n41nn(aa)n(aa)n2223.3.已知已知S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和,且且S S6 6SS7 7SS5 5,给出给出下列五个命题下列五个命题:d0;d0;0;S S12120;0;数列数列SSn n 中中的最大项为的最大项为S S1111;|a|a6 6|a|a7 7|,|,其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ()A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选C.C.因为因为S S7 7-S-S6 60,S0,0,所以所
7、以d=ad=a7 7-a-a6 60,0,0,正确正确;S S7 7-S-S5 5=a=a6 6+a+a7 70,S0,S1212=6 0,=6 0,正确正确;因因为为a a6 60,a0,a7 70,00a a6 6-a-a7 7,即即 ,正确正确.11111 aa211212(aa)267(aa)67|a|a|思想方法系列思想方法系列1010等差数列前等差数列前n n项和最值中的函数思项和最值中的函数思想想【思想诠释思想诠释】因为数列是特殊的函数关系因为数列是特殊的函数关系,因此常利因此常利用函数的思想解决数列中最值问题用函数的思想解决数列中最值问题.在求解等差数列前在求解等差数列前n n
8、项和的最值问题时项和的最值问题时,应注意以下三点应注意以下三点:(1)(1)等差数列的前等差数列的前n n项和与函数的关系项和与函数的关系;(2)S(2)Sn n是关于是关于n n的二次函数的二次函数,(n,S,(n,Sn n)在二次函数在二次函数y=Axy=Ax2 2+Bx+Bx的图象上的图象上,为抛物线为抛物线y=Axy=Ax2 2+Bx+Bx上一群孤立的点上一群孤立的点;(3)(3)注意注意n n为正整数以及抛物线的开口方向为正整数以及抛物线的开口方向.【典例典例】已知数列已知数列aan n 是一个等差数列是一个等差数列,且且a a2 2=1,a=1,a5 5=-5.=-5.(1)(1)
9、求求aan n 的通项公式的通项公式a an n.(2)(2)求求aan n 前前n n项和项和S Sn n的最大值的最大值.【解析解析】(1)(1)根据等差数列通项公式根据等差数列通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d变形变形有有a an n=a=am m+(n-m)d,+(n-m)d,则公差则公差d=,d=,所以所以d=d=-2,=-2,所以通项公式所以通项公式a an n=a=a2 2+(n-2)d=1+(n-2)+(n-2)d=1+(n-2)(-2)=(-2)=-2n+5.-2n+5.nmaanm52aa5 15252(2)(2)根据等差数列前根据等差数列前n
10、n项和公式项和公式S Sn n=na=na1 1+有有S Sn n=3n+=3n+(-2)=-n(-2)=-n2 2+4n,+4n,配方得配方得S Sn n=-(n-2)-(n-2)2 2+4,+4,根据二次函数图象及性质可知根据二次函数图象及性质可知,当当n=2n=2时时,前前n n项和取得最大值项和取得最大值,最大值为最大值为4.4.1nn aa2n(n 1)d2n(n 1)d2【技法点拨技法点拨】求等差数列前求等差数列前n n项和的最值的方法项和的最值的方法(1)(1)二次函数法二次函数法:用求二次函数最值的方法用求二次函数最值的方法(配方法配方法)求求其前其前n n项和的最值项和的最值
11、,但要注意但要注意nNnN*.(2)(2)图象法图象法:利用二次函数图象的对称性来确定利用二次函数图象的对称性来确定n n的值的值,使使S Sn n取得最值取得最值.(3)(3)项的符号法项的符号法:当当a a1 10,d0,d0时时,满足满足 的项数的项数n,n,使使S Sn n取最大值取最大值;当当a a1 100时时,满足满足 的项数的项数n,n,使使S Sn n取最小值取最小值,即正项变负项处最大即正项变负项处最大,负项变正项处最负项变正项处最小小,若有零项若有零项,则使则使S Sn n取最值的取最值的n n有两个有两个.nn1a0a0，nn1a0a0，【即时训练即时训练】在等差数列在
12、等差数列aan n 中中,a,a1 1=29,S=29,S1010=S=S2020,则数列则数列aan n 的前的前n n项项和和S Sn n的最大值为的最大值为()A.SA.S1515B.SB.S1616C.SC.S1515或或S S1616 D.SD.S1717【解析解析】选选A.A.设设aan n 的公差为的公差为d,d,因为因为a a1 1=29,S=29,S1010=S=S2020,所以所以10a10a1 1+=20a+=20a1 1+,+,解得解得d=-2,d=-2,所以所以S Sn n=29n+=29n+(-2)=-n(-2)=-n2 2+30n+30n=-(n-15)=-(n-15)2 2+225.+225.所以当所以当n=15n=15时时,S,Sn n取得最大值取得最大值.10 9d220 19d2n(n 12）
