1、 - 1 - 小题考法专训（十）小题考法专训（十） 导数的简单应用导数的简单应用 A 级级保分小题落实练保分小题落实练 一、选择题一、选择题 1已知函数已知函数 f(x)的导函数为的导函数为 f(x)，且满足，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则，则 f(1)等于等于( ) Ae B1 C1 De 解析：解析：选选 B 因为因为 f(x)2xf(1)ln x，所以，所以 f(x)2f(1)1 x，令 ，令 x1，得，得 f(1) 2f(1)1，解得，解得 f(1)1. 2已知直线已知直线 2xy10 与曲线与曲线 yaexx 相切相切(其中其中 e 为自然对数的底数为自然对数的底数)，则实
2、数，则实数 a 的值是的值是( ) Ae B2e C1 D2 解析：解析：选选 C 设切点为设切点为(x0，aex0x0)，由曲线，由曲线 yaexx，可得，可得 yaex1，则切线的，则切线的 斜率斜率 ky|xx0aex01.令令 aex012 可得可得 x0ln 1 a，则曲线在点 ，则曲线在点(x0，aex0x0)，即，即 ln 1 a， ，1ln 1 a 处的切线方程为处的切线方程为 y1ln 1 a 2 xln 1 a ，整理可得，整理可得 2xyln 1 a 10.结合结合 题中所给的切线题中所给的切线 2xy10，得，得ln 1 a 11，a1. 3已知直线已知直线 ykx1
3、与曲线与曲线 yx3axb 相切于点相切于点 A(1,3)，则，则 b 的值为的值为( ) A3 B3 C5 D5 解析：解析：选选 A 由题意知，由题意知，3k1，k2.又又(x3axb)|x1(3x2a)|x13a，3 a2，a1，311b，即，即 b3. 4(2019 河北九河北九校第二次联考校第二次联考)函数函数 yx3 x 2ln x 的单调递减区间是的单调递减区间是( ) A(3,1) B(0,1) C(1,3) D(0,3) 解析：解析：选选 B 令令 y1 3 x2 2 x 0，得，得3x1，又，又 x0，故所求函数的单调递减区间，故所求函数的单调递减区间 为为(0,1)，故选
4、，故选 B. 5.已知函数已知函数 yxf(x)的图象如图所示的图象如图所示(其中其中 f(x)是函数是函数 f(x)的导函数的导函数)， 下面四个图象中大致为下面四个图象中大致为 yf(x)的图象的是的图象的是( ) - 2 - 解析：解析：选选 C 当当 0x1 时，时，xf(x)0，f(x)0，故，故 yf(x)在在(0,1)上为减函数；当上为减函数；当 x1 时，时，xf(x)0，f(x)0，故，故 yf(x)在在(1，)上为增函数，因此排除上为增函数，因此排除 A、B、D， 故选故选 C. 6若函数若函数 f(x)kx2ln x 在区间在区间(1，)上单调递增，则上单调递增，则 k
5、的取值范围是的取值范围是( ) A(，2 B(，1 C1，) D2，) 解析：解析：选选 D 因为因为 f(x)kx2ln x，所以，所以 f(x)k2 x.因为 因为 f(x)在区间在区间(1，)上单调递上单调递 增，所以在区间增，所以在区间(1，)上上 f(x)k2 x 0 恒成立，即恒成立，即 k2 x恒成立，当 恒成立，当 x(1，)时，时，0 2 x 2，所以，所以 k2，故选，故选 D. 7若函数若函数 f(x)1 2x 2 (a1)xaln x 存在唯一的极值，且此极值不小于存在唯一的极值，且此极值不小于 1，则，则 a 的取值范的取值范 围为围为( ) A. 3 2， ，2 B
6、 3 2， ， C. 0，3 2 D(1,0) 3 2， ， 解析：解析：选选 B 对函数求导得对函数求导得 f(x)xa1a x x a x1 x ，因为函数存在唯一的极，因为函数存在唯一的极 值， 所以导函数存在唯一的零点， 且零点大于值， 所以导函数存在唯一的零点， 且零点大于 0， 故， 故 x1 是唯一的极值点， 此时是唯一的极值点， 此时a0 且且 f(1) 1 2 a1a3 2.故选 故选 B. 8(2020 届高三届高三 武汉调研武汉调研)设曲线设曲线 C：y3x42x39x24，在曲线，在曲线 C 上一点上一点 M(1，4) 处的切线记为处的切线记为 l，则切线，则切线 l
7、与曲线与曲线 C 的公共点个数为的公共点个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：选选 C y12x36x218x，所以切线，所以切线 l 的斜率的斜率 ky|x112，所以切线，所以切线 l 的的 方程为方程为 12xy80.联立方程联立方程 12xy80， y3x42x39x24， 消去消去 y，得，得 3x42x39x212x4 0，所以，所以(x2)(3x2)(x1)20，所以，所以 x12，x22 3， ，x31，所以切线，所以切线 l 与曲线与曲线 C 有有 3 个个 公共点，故选公共点，故选 C. - 3 - 9已知函数已知函数 f(x)xln xaex(e 为自然对数的
8、底数为自然对数的底数)有两个极值点，则实数有两个极值点，则实数 a 的取值范围的取值范围 是是( ) A. 0，1 e B(0，e) C. 1 e， ，e D(，e) 解析：解析：选选 A f(x)ln xaex1，令，令 f(x)0，得，得 aln x 1 ex .若函数若函数 f(x)xln xaex 有两个极值点， 则有两个极值点， 则 ya 和和 g(x)ln x 1 ex 在在(0， ， )上有上有 2 个交点，个交点， g(x) 1 x ln x1 ex (x0) 令 令 h(x)1 x ln x1， 则， 则 h(x) 1 x2 1 x 0， h(x)在在(0， ， )上单调递减
9、， 而上单调递减， 而 h(1)0， 故， 故 x(0,1) 时，时，h(x)0，即，即 g(x)0，g(x)单调递增，单调递增，x(1，)时，时，h(x)0，即，即 g(x)0，g(x)单单 调递减，故调递减，故 g(x)maxg(1)1 e，而 ，而 x0 时，时，g(x)，x时，时，g(x)0.若若 ya 和和 g(x) ln x 1 ex 在在(0，)上有上有 2 个交点，只需个交点，只需 0a1 e. 10已知函数已知函数 f(x1)是偶函数，当是偶函数，当 x(1，)时，函数时，函数 f(x)sin xx，设，设 af 1 2 ， bf(3)，cf(0)，则，则 a，b，c 的大小
10、关系为的大小关系为( ) Abac Bcab Cbca Dabc 解析：解析： 选选 A 函数函数 f(x1)是偶函数，是偶函数， 函数函数 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称，对称， af 1 2 f 5 2 ，bf(3)，cf(0)f(2)又又当当 x(1，)时，函数时，函数 f(x)sin xx，当当 x(1， )时，时，f(x)cos x10，即，即 f(x)sin xx 在在(1，)上为减函数，上为减函数，bac. 11 设函数 设函数f(x)在在R上存在导函数上存在导函数 f(x)， 对任意的实数， 对任意的实数 x都有都有f(x)4x2f(x)， 当， 当 x( ，
11、0时，时，f(x)1 2 4x，若，若 f(m1)f(m)4m2，则实数，则实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A. 1 2， ， B 3 2， ， C1，) D2，) 解析：解析：选选 A 令令 F(x)f(x)2x2，因为，因为 F(x)F(x)f(x)f(x)4x20，所以，所以 F(x) F(x)，故，故 F(x)f(x)2x2是奇函数则当是奇函数则当 x(，0时，时，F(x)f(x)4x1 2 0， 所以函数所以函数 F(x)f(x)2x2在在(，0上单调递减，故函数上单调递减，故函数 F(x)在在 R 上单调递减不等式上单调递减不等式 f(m 1)f(m)4m2 等价于等价于
12、 f(m1)2(m1)2f(m)2m2，即，即 F(m1)F(m)，由函，由函 - 4 - 数的单调性可得数的单调性可得 m1m，即，即 m1 2.故选 故选 A. 12(2019 福州模拟福州模拟)已知函数已知函数 f(x)x32ex2mxln x，若，若 f(x)x 恒成立，则实数恒成立，则实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A. e21 e 1， B 0，e21 e 1 C. ，e21 e 1 D ，e21 e 解析：解析：选选 A 由由 f(x)x 恒成立，得恒成立，得 x32ex2mxln xx 恒成立，即恒成立，即 x32ex2(m 1)xln x0 恒成立，因为恒成立，因为
13、 x0，所以两边同时除以，所以两边同时除以 x，得，得 x22ex(m1)ln x x 0，则，则 m 1ln x x x22ex 恒恒成立令成立令 g(x)ln x x x22ex，则，则 g(x)1 ln x x2 2x2e，当，当 0x e 时，时， 1ln x x2 0,2e2x0，所以，所以 g(x)0；当；当 xe 时，时， 1ln x x2 0,2e2x0，所以，所以 g(x) 0.所以当所以当 xe 时，时，g(x)max1 e e2，则，则 m11 e e2，所以，所以 me21 e 1，故选，故选 A. 二、填空题二、填空题 13若曲线若曲线 f(x)xsin x1 在在
14、x 2处的切线与直线 处的切线与直线 ax2y10 相互垂直，则实数相互垂直，则实数 a _. 解析：解析：因为因为 f(x)sin xxcos x，所以，所以 f 2 sin 2 2 cos 2 1.又直线又直线 ax2y10 的斜率为的斜率为a 2，所以 ，所以 1 a 2 1，解得，解得 a2. 答案：答案：2 14已知函数已知函数 f(x)sin x1 3x， ，x0，cos x01 3， ，x00， f(x)的最大值为的最大值为 f(x0)； f(x)的最小值为的最小值为 f(x0)； f(x)在在0，x0上是减函数；上是减函数； f(x)在在x0，上是减函数上是减函数 那么上面命题
15、中真命题的序号是那么上面命题中真命题的序号是_ 解析：解析：f(x)cos x1 3，由 ，由 f(x)0，得，得 cos x1 3，即 ，即 xx0.因为因为 x0，当，当 0x x0时，时，f(x)0；当；当 x0x 时，时，f(x)0，所以，所以 f(x)的最大值为的最大值为 f(x0)，f(x)在在x0，上上 是减函数是减函数 答案：答案： - 5 - 15若函数若函数 f(x)ln x1 2ax 2 2x 存在单调递减区间，则实数存在单调递减区间，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：f(x)1 x ax2ax 2 2x1 x . 因为函数因为函数 f(x)存在单调递减
16、区间，存在单调递减区间， 所以所以 f(x)0 有解有解 又因为函数又因为函数 f(x)的定义域为的定义域为(0，)， 所所以以 ax22x10 在在(0，)上有解上有解 当当 a0 时，时，yax22x1 为开口向上的抛物线，为开口向上的抛物线，44a0 恒成立，所以恒成立，所以 ax22x 10 在在(0，)上有解恒成立；上有解恒成立； 当当 a0 时，时， yax22x1 为开口向下的抛物线，为开口向下的抛物线， ax22x10 在在(0， ， )上恒有解，上恒有解， 则则 44a0， x1 a 0， 解得解得1a0； 当当 a0 时，显然符合题意时，显然符合题意 综上所述，实数综上所述
17、，实数 a 的取值范围是的取值范围是(1，) 答案：答案：(1，) 16(2019 江西七校第一次联考江西七校第一次联考)定义：如果函数定义：如果函数 f(x)在在a，b上存在上存在 x1，x2(ax1x2 b)满足满足 f(x1)f(x2)f b f a ba ，则称函数，则称函数 f(x)是是a，b上的上的“中值函数中值函数”已知函数已知函数 f(x) 1 3x 3 1 2x 2 m 是是0，m上的上的“中值函数中值函数”，则实数，则实数 m 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：由题意，知由题意，知 f(x)x2x 在区间在区间0，m上存在上存在 x1，x2(0x1x2m)，满足，满足
18、 f(x1) f(x2)f m f 0 m 1 3m 2 1 2m，所以方程 ，所以方程 x2x1 3m 2 1 2m 在区间 在区间(0，m)上有两个不相等的上有两个不相等的 解解 令令 g(x)x2x1 3m 2 1 2m(0 xm)， 则则 14 3m 2 2m0， g 0 1 3m 2 1 2m 0， g m 2 3m 2 1 2m 0， m1 2， ， 解得解得3 4 m3 2. 答案：答案： 3 4， ，3 2 B 级级拔高小题提能练拔高小题提能练 - 6 - 1 多选题多选题已知函数已知函数 yf(x)的导函数的导函数 f(x)的图象如图所示， 则下列判断正确的是的图象如图所示，
19、 则下列判断正确的是( ) A函数函数 yf(x)在区间在区间 3，1 2 内单调递增内单调递增 B当当 x2 时，函数时，函数 yf(x)取得极小值取得极小值 C函数函数 yf(x)在区间在区间(2,2)内单调递增内单调递增 D当当 x3 时，函数时，函数 yf(x)有极小值有极小值 解析：解析： 选选 BC 对于对于 A， 函数， 函数 yf(x)在区间在区间 3，1 2 内有增有减， 故内有增有减， 故 A 不正确； 对于不正确； 对于 B， 当当 x2 时，函数时，函数 yf(x)取得极小值，故取得极小值，故 B 正确；对于正确；对于 C，当，当 x(2,2)时，恒有时，恒有 f(x)
20、0， 则函数则函数 yf(x)在区间在区间(2,2)内单调递增，故内单调递增，故 C 正确；对于正确；对于 D，当，当 x3 时，时，f(x)0，故，故 D 不正确不正确 2多选题多选题已知函数已知函数 yf(x)在在 R 上可导且上可导且 f(0)1，其导函数，其导函数 f(x)满足满足f x f x x1 0， 对于函数对于函数 g(x)f x ex ，下列结论正确的是，下列结论正确的是( ) A函数函数 g(x)在在(1，)上为单调递增函数上为单调递增函数 Bx1 是函数是函数 g(x)的极小值点的极小值点 C函数函数 g(x)至多有两个零点至多有两个零点 D当当 x0 时，不等式时，不
21、等式 f(x)ex恒成立恒成立 解析：解析： 选选ABC g(x)f x ex ， 则则g(x)f x f x ex .当当x1时， 由时， 由f x f x x1 0可得可得f(x) f(x)0， 则， 则 g(x)0， 故， 故yg(x)在在(1， ， )上单调递增， 故上单调递增， 故 A正确； 当正确； 当 x1时， 由时， 由f x f x x1 0 可得可得 f(x)f(x)0，则，则 g(x)0，故，故 yg(x)在在(，1)上单调递减，故上单调递减，故 x1 是函数是函数 y g(x)的极小值点，故的极小值点，故 B 正确；若正确；若 g(1)0，则函数，则函数 yg(x)有有
22、 2 个零点，若个零点，若 g(1)0，则函数，则函数 y g(x)有有 1 个零点，若个零点，若 g(1)0，则函数，则函数 yg(x)没有零点，故没有零点，故 C 正确；因为正确；因为 yg(x)在在(， 1)上单调递减， 所以上单调递减， 所以 yg(x)在在(， 0)上单调递减， 由上单调递减， 由 g(0)f 0 e0 1， 得当， 得当 x0 时，时， g(x)g(0)， 即即f x ex 1，故，故 f(x)ex，故，故 D 错误错误 3已知函数已知函数 f(x)aln xbx2，a，bR.若不等式若不等式 f(x)x 对所有的对所有的 b(，0，x(e， e2都成立，则实数都成
23、立，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) - 7 - Ae，) B e2 2， ， C. e2 2， ，e2 De2，) 解析：解析：选选 B f(x)x 对所有的对所有的 b(，0，x(e，e2都成立，即都成立，即 aln xxbx2对所有对所有 的的 b(，0，x(e，e2都成立，因为都成立，因为 b(，0，x(e，e2，所以，所以 bx2的最大值为的最大值为 0， 所以所以 aln xx0 在在 x(e，e2时恒成立，所以时恒成立，所以 a x ln x在 在 x(e，e2时恒成立时恒成立，令，令 g(x) x ln x， ， x(e，e2，则，则 g(x)ln x 1 ln2x
24、0 恒成立，所以恒成立，所以 g(x) x ln x在 在(e，e2上单调递增，所以当上单调递增，所以当 x e2时，时，g(x)取得最大值取得最大值e 2 2，所以 ，所以 ae 2 2，故选 ，故选 B. 4(2019 石家庄模拟石家庄模拟)已知函数已知函数 f(x)2 3ax 3 a1 2 x2，aR，当，当 x0,1时，函数时，函数 f(x) 仅在仅在 x1 处取得最大值，则处取得最大值，则 a 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：f(x)2 3ax 3 a1 2 x2， f(x)2ax2(2a1)x， 0x1，a0 时，时，f(x)0， 函数函数 f(x)在区间在区间0,1上单调
25、递减，上单调递减， x1 时，时，f(x)取得最小值，与题意不符，取得最小值，与题意不符，a0. 由由 f(x)2ax2(2a1)x0，得，得 x0 或或 x 1 2a 1. 当当 1 2a 10，即，即 a1 2时， 时，f(x)0(x0,1)，f(x)在区间在区间0,1上单调递增，上单调递增，f(x)仅在仅在 x 1 处取得最大值，符合题意处取得最大值，符合题意 当当 0 1 2a 11，即，即1 4 a1 2时，令 时，令 f(x)0，得，得 0x 1 2a 1，令，令 f(x)0，得，得 1 2a 1x1，f(x)在在 0， 1 2a 1 上单调递减，在上单调递减，在 1 2a 1，1
26、 上单调递增，要使上单调递增，要使 f(x)仅在仅在 x1 处处 取得最大值，则取得最大值，则 f(1)f(0)，即，即5 3a 1 2 0，所以，所以 3 10 a1 2. 当当 1 2a 11，即，即 0a1 4时， 时，f(x)0(x0,1)，f(x)在区间在区间0,1上单调递减，上单调递减，x1 时，时，f(x)取得最小值，取得最小值，与题意不符与题意不符 综上，综上，a 的取值范围是的取值范围是 3 10， ， . 答案：答案： 3 10， ， 5已知函数已知函数 f(x) k4 k ln x4 x2 x ，k4，)，曲线，曲线 yf(x)上总存在两点上总存在两点 M(x1， - 8
27、 - y1)， N(x2， y2)， 使曲线， 使曲线 yf(x)在在 M， N 两点处的切线互相平行两点处的切线互相平行， 则， 则 x1x2的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：f(x) k4 k x 4 x2 1(x0，k4)， 由题意知由题意知 f(x1)f(x2)(x1，x20 且且 x1x2)， 即即 k4 k x1 4 x21 1 k4 k x2 4 x22 1， 化简得化简得 4(x1x2) k4 k x1x2， 而而 x1x2 x1x2 2 2， ， 所以所以 4(x1x2) k4 k x1x2 2 2， ， 即即 x1x2 16 k4 k 对对 k4，)恒成立恒成立 令令 g(k)k4 k，则 ，则 g(k)1 4 k2 k 2 k2 k2 0 对对 k4，)恒成立，恒成立， 故故 g(k)在在4，)上单调递增，上单调递增， 所以所以 g(k)g(4)5，所以，所以 16 k4 k 16 5 ， 所以所以 x1x216 5 ，故，故 x1x2的取值范围为的取值范围为 16 5 ， . 答案：答案： 16 5 ，
