1、2020新教材高中数学第十一章立体几何初步11一、空间中的点、线、面1.思考宁静的湖面、海面;生活中的课桌面、黑板面;一望无垠的草原给你什么样的感觉?问题1:生活中的平面有大小之分吗?提示:有.问题2:几何中的“平面”是怎样的?提示:从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分.2.填空(1)几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.(2)长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也称为“体”),包围着几何体的是“面”,面与面相交给人“线”的形象,线与线相交给人“点”的形象.这就是说,可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素.另外,点运动
2、的轨迹可以是线,线运动的轨迹可以是面,面运动的轨迹可以是体.(3)一些文字语言与数学符号的对应关系:3.做一做(1)如图,图的平面可表示为平面、平面ABC、平面ABD或平面ABCD.(2)图中,AAB,BAB,CAB,(3)图中,EEF,EAB,则ABEF=E.EF,EF,则=EF.二、空间中点与直线、直线与直线的位置关系1.思考同一个平面内的两条直线,如果不相交,就一定平行.这一结论可以推广到空间中的两条直线吗?提示:不能,还存在异面的情况,即不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.2.填空(1)空间中点与直线的位置关系.(2)空间中直线与直线的位置关系.温馨提示:不能误认为分别在不同平
3、面内的两条直线为异面直线.如图所示,虽然有a,b,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为ab=O,所以a与b不是异面直线.3.做一做(1)判断正误.没有公共点的两条直线是平行直线.()互相垂直的两条直线是相交直线.()既不平行又不相交的两条直线是异面直线.()不在同一平面内的两条直线是异面直线.()解析:异面直线既不平行,也不相交,故错误.正确;互相垂直不一定相交,因为有异面垂直,故错误;不在同一平面内的两条直线相交、平行或异面,故错误.答案:(2)若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面解析:若直线a和b共面,则由题意可知ab;若a
4、和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.答案:D(3)一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相交解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1BB1,AA1DD1,显然BB1BC=B,DD1与BC是异面直线.答案:B三、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1.思考(1)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行.(2)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系?提示:这两条直线没
5、有公共点,故它们的位置关系是平行或异面.2.填空(1)直线在平面内不难看出,图中,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面内,这称为直线l在平面内(或平面过直线l),记作l;(2)直线在平面外直线m上至少有一个点不在平面内,这称为直线m在平面外,记作m;图中的m与有且只有一个公共点(称为直线m与平面相交),一般简写为m=B.(3)直线与平面平行一般地,如果l是空间中的一条直线,是空间中的一个平面,则l与l=有且只有一种情况成立.而且,当l时,要么l,要么l与只有一个公共点;当l=时,称直线l与平面平行,记作l.(4)平面与平面相交如图与有公共点,这称为平面与平面相交,记作.更进一步可以看出,一个
6、点是与的公共点,当且仅当这个点在直线k上,这可记作=k.(5)平面与平面平行如果与是空间中的两个平面,则与=有且只有一种情况成立.而且,当时,与的公共点组成一条直线;当=时,称平面与平面平行,记作.(6)直线与平面的位置关系列表比较温馨提示:一般地,直线a在平面内时,应把直线a画在表示平面的平行四边形内,切勿画出来;直线a与平面相交时,应画成直线a与平面只有一个公共点,被平面遮住的部分画成虚线或不画;直线a与平面平行时,应画成直线a与表示平面的平行四边形的一条边平行,并画在表示平面的平行四边形外.(7)两个平面的位置关系列表比较 温馨提示:画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边
7、形的对应边平行,两个平行四边形上下放置.3.做一做(1)判断正误.若直线l上有无数个点不在平面内,则l.()如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.()若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.()解析:中当直线l与平面相交时,也满足条件,但此时l不平行于,不正确,中有另一条在这个平面内的情况,不正确,正确.答案:(2)若M平面,M平面,则与的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.不确定解析:因为M,M,所以与相交于过点M的一条直线.答案:B(3)空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有条.解析:空间三个平面两两相交,则有一条交线或三
8、条交线,三条交线平行或相交于一点.答案:1或3四、直线与平面垂直1.思考鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?提示:不能.问题2:上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么?提示:直线垂直于平面内的两条相交直线.问题3:若直线垂直于平面内的无数条
9、直线,直线与平面垂直吗?提示:不一定.2.填空(1)直线与平面垂直的定义自然语言:一般地,如果直线l与平面相交于一点A,且对平面内的任意一条过点A的直线m,都有lm,则称直线l与平面垂直(或l是平面的一条垂线,是直线l的一个垂面),记作l.其中,点A称为垂足.图形语言:如图.画直线l与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.符号语言:任意a,都有lal.(2)投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间的距离的定义给定空间中一个平面及一个点A,过A可以作而且只可以作平面的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面内的射影(也称为投影),线段AB为平面的垂线段,AB
10、的长为点A到平面的距离.特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离;当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.3.做一做直线l平面,直线m,则l与m不可能()A.平行 B.相交C.异面D.垂直解析:直线l平面,l与相交,又m,l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知lm.故l与m不可能平行.答案:A探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测文字、图形、符号三种语言的转化文字、图形、符号三种语言的转化例1用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)三个平面,相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平面交于P
11、B,平面与平面交于PC;(2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.解:(1)符号语言表示:=P,=PA,=PB,=PC.图形表示:如图所示.(2)符号语言表示:平面ABD平面BCD=BD,平面ABC平面ADC=AC.图形表示:如图所示.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“”或“”,直线与平面间的位置关系只能用“”或“”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练1(1)
12、若点M在直线a上,a在平面内,则M,a,间的关系可记为.(2)根据右图,填入相应的符号:A平面ABC,A平面BCD,BD平面ABC,平面ABC平面ACD=.(3)根据下列条件画出图形:平面平面=MN,ABC的三个顶点满足条件AMN,B,BMN,C,CMN.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解:(1)Ma,a,M(2)AC(3)如图所示.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测空间两条直线位置关系的判定空间两条直线位置关系的判定例2已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明.解:直线a与c的位置关系有三种情况.直线a与c可能平行,如图;可
13、能相交,如图;可能异面,如图.反思感悟判定两条直线位置关系的方法判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解析:对于(1
14、),因为A1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC,即四边形A1D1CB为平行四边形,所以A1BD1C.对于(2),因为直线A1B平面A1B,B1平面A1B,且B1直线A1B,直线CB1平面A1B,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.同理(4)中直线AB与直线B1C也是异面直线;对于(3)直线D1D与直线D1C显然相交.答案:(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系例3下列五个命题中正确命题的个数是()如果a,b是两条直线,ab,那么a平行于经过b的任何一个平面;如果直线a和平面满足a,那么a与平面内的
15、任何一条直线平行;如果直线a,b满足a,b,那么ab;如果直线a,b和平面满足ab,a,b,那么b;如果a与平面上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面.A.0B.1C.2D.3探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解析:如图所示,答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情况都要考虑到,避免遗漏.正方体(长方体)是立体几何中的重要模型,直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映,故我们可以把要判断位置关系的直线、平面放在正方体(长方体)中,以便正
16、确作出判断,避免凭空臆断.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练3下列命题中的真命题是()A.若点A,点B,则直线AB与平面相交B.若a,b,则a与b必异面C.若点A,点B,则直线AB平面D.若a,b,则ab解析:选项A正确.对于选项B,如图显然错误.对于选项C,如图显然错误.对于选项D,如图显然错误,故选A.答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测两个平面的位置关系两个平面的位置关系例4,是两个不重合的平面,下面说法正确的是()A.平面内有两条直线a,b都与平面平行,那么B.平面内有无数条直线平行于平面,那么C.若直线a与平面和平面都平行,那么D.平面内所有的直线
17、都与平面平行,那么探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测解析:答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟判断两平面之间的位置关系时,可把自然语言转化为图形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于直观想象能力,确定平面间的位置关系.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练4如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能确定解析:由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行.解答本题可逆向考虑画两平行面,看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面,看是否
18、能在此两面内画两条平行线,再作出选择(如图所示).答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义例5直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面的关系是()A.l和平面平行B.l和平面垂直C.l在平面内D.不能确定解析:如图所示,直线l和平面平行,或直线l和平面垂直或直线l在平面内都有可能.故选D.答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测反思感悟直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一
19、个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练5在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不能作为平面ABCD垂线的是()A.AA1B.BB1C.CC1D.AD1答案:D探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测线、面位置关系图形的画法线、面位置关系图形的画法例6作出下列各题的图形.(1)画直线a,b,使a=A,b.(2)画平面,使,=m,=n.解:探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测变式训练6在图中画出三个两两相交的平面.解:如图所示:探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测1.如果一条直线与两个平行平面中的一个平
20、行,那么这条直线与另一平面的位置关系为()A.平行B.相交C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:由题知这条直线可能在另一平面内也可能与另一平面平行.答案:D探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测2.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有对.解析:如图所示,在长方体AC1中,与对角线AC1成异面直线位置的是:A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC,所以组成6对异面直线.答案:6探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;若l,m是异面直线,l,m,则.其中错误命题的序号为.解析:对于,两个平面相交,也有无数多个公共点,故错误;对于,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB平面DCC1D1,B1C1平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故错误.答案:探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测4.简述结论,并画图说明.直线a在平面内,直线b与直线a相交,则直线b与平面的位置关系如何?解:直线b与平面的位置关系有两种:b,或b=A.
