人大附中2020届高三数学3月质量检测试题含答案.pdf下载_163文库

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1、人大附中 20192020 学年度高三 3 月质量检测试题数数学学命题人：审卷人： 2020 年 3 月 9 日说明：本试卷共三道大题、22 道小题，共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。第一部分第一部分（选择题（选择题共共 40 分）分）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。）分在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是

3、，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（A）4 （B） 5 （C）6 （D）7 （5）若抛物线 2 2(0)ypx p=上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则p的取值范围是（A） 1p （B） 1p （C） 2p （D） 2p （6）已知函数( )cos(2)f xx=+（为常数）为奇函数，那么cos= （A） 2 2 （B） 0 （C） 2 2 （D） 1 （7）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为（A）4 （B）2 2 （C

4、） 7 （D）2 （8）已知函数 21,0, ( ) (1),0. x x f x f xx = 若方程( )f xxa=+有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（A）(),1 （B）(,1 （C）()0,1 （D）)0,+ （9）定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个 1212 ,()x x xx,均有 1212 ()()f xf xk xx 成立,则称函数( )f x在定义域D上满足利普希茨条件.若函数( )(1)f xx x=满足利普希茨条件,则常数k的最小值为（A）4 （B）3 （C）1 （D） 1 2 （10）在边长为 1 的正方体中，,E F G H分别为

5、 1111 ,AB C D AB CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记, ,E F P Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0 2 时，V与x的图像应为（A）（B）（C）（D） (Q) (P) H G F E D C B A D1 C1 B1 A1 第二部分第二部分（非选择题（非选择题共共 110 分）分）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）（11）代数式 5 )1)(1 (xx+的展开式中 3 x的系数

6、为（12）在复平面内，复数1 2iz = 对应的点到原点的距离是（13）已知函数 4 2 log,04, ( ) 1025,4. xx f x xxx = + 若a,b,c,d是互不相同的正数，且 ( )( )( )( )f af bf cf d=，则abcd的取值范围是（14）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab =的一条渐近线的倾斜角为60，且与椭圆 2 2 1 5 x y+=有相等焦距,则 C的方程为（15）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a =，公差2d =， 2 36 nn SS + =，则n = （16）如果对于函数( )f x定义域内任意的两个

7、自变量的值 12 ,x x，当 12 xx时,都有 12 ( )()f xf x，且存在两个不相等的自变量值 12 ,y y ,使得 12 ()()f yf y= ,就称( )f x为定义域上的不严格的增函数。则 ,1 ( )0,11, ,1 xx f xx xx = 1, 2 ( ), sin , 22 x f x xx = = 1,1 ( )0,11, 1,1 x f xx x = ,1 ( ), 1,1 xx f x xx = + 四个函数中为不严格增函数的是，若已知函数( )g x的定义域、值域分别为A、B， 1,2,3A=,BA, 且( )g x为定义域A上的不严格的增函数

8、，那么这样的( )g x有个三三、解答解答题（本大题共题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（17）已知 n a是各项为正数的等差数列， n S为其前n项和，且 2 4(1) nn Sa=+. （）求 12 ,a a的值及的通项公式；（）求数列 7 2 nn Sa的最小值. n a （18）（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥ABCDE 中，底面ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，=90AEB， BCBE =，F为CE的中点，（）求证：/AE平面BDF；（）求证：平面B

9、DF平面ACE；（）EBAE =2，在线段AE上找一点P，使得二面角FDBP的余弦值为 10 10 ，求AP 的长（19）（本小题满分 13 分）某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分每项评分最低分 0 分，最高分 100 分每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题（）若从交通得分排名前 5 名的景点中任取 1 个，求其安全得分大于 90 分的概率；（）若从景点总分排名前 6 名的

10、景点中任取 3 个，记安全得分不大于 90 分的景点个数为，求随机变量的分布列和数学期望；（）记该市 26 个景点的交通平均得分为 1，安全平均得分为 2，写出 1 与 2 的大小关系（只写出结果） B A D C F E （20）（本题满分 14 分）已知函数 f（x）= 1 x x+alnx （）求 f（x）在（1，f(1)）处的切线方程（用含 a 的式子表示）（）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明： 12 12 ()() 2 f xf x a xx （21）（本题满分 13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Ca

11、b ab +=的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线60xy+=相切. （）求椭圆方程；（）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS分别交直线4x =于A，B两点. 求证：A，B两点的纵坐标之积为定值. （22）（本题满分 13 分）给定一个 n 项的实数列 a1，a2，an(nN*)，任意选取一个实数 c，变换 T(c)将数列 a1， a2，an变换为数列|a1c|，|a2c|，|anc|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数 c 可以不相同，第 k（k

12、N*）次变换记为 Tk(ck)，其中 ck为第 k 次变换时选择的实数如果通过 k 次变换后，数列中的各项均为 0，则称 T1(c1)， T2(c2)，， Tk(ck)为“k 次归零变换” （）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中 k4；（）证明：对任意 n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（）对于数列 1，22，33，nn，是否存在“n1 次归零变换”？请说明理由人大附中 20192020 学年度高三 3 月质量检测试题数学数学参考答案参考答案及评分标准及评分标准一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分

13、，共 40 分分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C D B B A D C 二二、填空填空题（本大题共题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分）题号 11 12 13 14 15 16 答案 0 5 （24，25） 2 2 1 3 y x = 8 10 (注：16 第一个空 3 分，第二个 2 分) 二二、填空填空题（本大题共题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分） 17. （本小题满分 13 分）解：（）因为 2 4(1) nn Sa=+，所以，当1n =时， 2 11

14、4(1)aa=+，解得 1 1a =， 1 分所以，当2n =时， 2 22 4(1)(1)aa+=+，解得 2 1a = 或 2 3a =， 3 分因为 n a是各项为正数的等差数列，所以 2 3a =， 4 分所以 n a的公差 21 2daa=， 5 分所以 n a的通项公式 1 (1)21 n aandn=+=. 6 分（）因为 2 4(1) nn Sa=+，所以 2 2 (21 1) 4 n n Sn + =， 8 分所以 2 77 (21) 22 nn Sann= 2 7 7 2 nn=+ 2 735 () 24 n= 11 分所以，当3n =或4n =时， 7 2

15、nn Sa取得最小值 17 2 . 13 分 18. （本小题满分 14 分）（1）设,连接，易知是的中点，是中点在中， 2 分平面，平面，平面 4 分（2）平面平面 , 平面平面平面,又平面, 又，,平面, 6 分在中，为的中点， , 平面，又平面，平面平面 8 分 (3)如图建立坐标系，设 AE=1，则 B（2，0，0），D（0，1，2），C（2,0,2），F（1,0,1），设 P（0， a ，0），)2 , 1 , 2(=BD，) 1 , 0 , 1(=BF，)0 , 2(aPB= 设 1 n面 BDF，且),( 1111 zyxn =，则由 1 nBD得02

16、2 111 =+zyx 由 1 nBF得0 11 =+zx 令1 1 =z得0, 1 11 =yx，从而) 1 , 0 , 1 ( 1 =n 10 分设 2 n面 BDP，且),( 2222 zyxn =，则由 2 nBD得022 222 =+zyx 由 2 nPB得02 22 = ayx 令2 2 =y得1, 22 =azax，从而) 1, 2 ,( 2 =aan 12 分 10 10 ) 1(42 |1| | | cos 22 21 21 = + + = = aa aa nn nn ，解得0=a或1=a（舍）13 分即 P 在 E 处 AP=AE=1 14 分 ACBDG=FGGAC

17、 FECACEFGAE AEBFDFGBFD AEBFD ABCD ABEBCAB ABCDABEAB=BCABEAE,ABEBCAE AEBEBCBEB=AE,BCEAEBF BCE,BECB F=CE BFCEAECEE= BFACE BF BDF BDF ACE G B A D C F E x y z P 19. （本小题满分 13 分）（1）记从交通得分前 5 名的景点中任取 1 个，其安全得分大于 90 分为事件 A 1 分由图可知，交通得分前 5 名的景点中安全得分大于 90 分的景点有 3 个 2 分已知从五个景点中任取一个是等可能性的 3 分所以 p（A）= 3 5 故

18、从交通得分前 5 名的景点中任取 1 个，其安全得分大于 90 分的概率为 3 5 4 分（2）由图可知，景点总分前 6 名的安全得分不大于 90 分的景点有 2 个 5 分设从景点总分前 6 名的景点中任取 3 个，安全得分不大于 90 分的个数为，则的取值为 0，1，2 6 分所以 ( = 0) = C4 3 C6 3= 1 5，( = 1) = C4 2C21 C6 3 = 3 5，( = 2) = C4 1C22 C6 3 = 1 5， 9 分故的分布列为： 0 1 2 1 5 3 5 1 5 10 分所以 () = 0 1 5 + 1 3 5 + 2 1 5 =

19、1 11 分（3） 1 2 13 分 20. （本小题满分 14 分）（1）函数的定义域为（0，+）， 2 2 1 ( ) xax fx x + = 1 分当 x=1 时，f（1）=0 f(1)= 2 + 3 分设切线方程为 = (2 + ) + ，代入(1,0)，得 = 2 f（x）在（1，f(1)）处的切线方程为 = + 2 4 分（2）函数的定义域为（0，+）， 2 2 1 ( ) xax fx x + = 设 2 ( )1g xxax= +，注意到(0)1g= ，当 a0 时，g（x）2 时，0, 由( )0fx 得 22 44 22 aaaa x + , 所以，当 a

20、2 时，f(x)在 22 44 0,+ 22 aaaa+ （，）（，）上是减函数，在 22 44 (,) 22 aaaa+ 上是增函数 9 分 (3)由（1）知 a2，0x11x1x2，即证11 1 1 2ln xx x 在(0,1)上恒成立， 12 分设 h(x)=2lnxx+，（0x0，对任意的(0,1)x恒成立， h（x）=1=0， 13 分则 h（x）在（0，1）上单调递减， h（x）h（1），即 2lnxx+0，故 2lnxx，即 12 12 ( )() 2 f xf x a xx 成立 14 分 21. （本小题满分 13 分）（）因为以原点为圆心，椭圆的短半

21、轴长为半径的圆与直线60xy+=相切，所以半径b等于原点到直线的距离d， 006 1 1 bd + = + ，即3=b. 2 分由离心率 1 2 e =，可知 1 2 c a =，且 222 abc=+，得2a =. 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy +=. 4 分（）由椭圆C的方程可知(2 0)S,. 若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x =，所以 33 (1)(1) 22 PQ, ,. 则直线PS的方程为3 260xy+= ，直线QS的方程为3 260xy+= . 令4=x，得(43)A,-，(4 3)B,. 所以AB，两点的纵坐标之积为9. 6 分若直线l的斜率存在，

22、设直线l的方程为)0)(1(=kxky, 由 22 (1) 34120 yk x xy = += 得 2222 (34)84120kxk xk+=， 8 分依题意0恒成立. 9 分设 112212 ()()(0)P x yQ x yx x ,，则 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk += + , 10 分设(4) A Ay,(4) B By,，由题意PSA，，三点共线可知 1 1 422 A yy x = ，所以点A的纵坐标为 1 1 2 2 A y y x = . 同理得点B的纵坐标为 2 2 2 2 B y y x = . 11 分所以 12

23、12 22 22 AB yy y y xx = . 2 1212 1212 222 2 222 2 2 ()1 4 2()4 412843 4 4122 84(43) 9 4 4 9 x xxx k x xxx kkk k kkk k k + = + + = + = = 综上，AB，两点的纵坐标之积为定值 13 分 22. （本小题满分 13 分）（）方法1： 1(4) T：3,1,1,3； 2(2) T：1,1,1,1； 3(1) T：0,0,0,0 方法2： 1(2) T：1,1,3,5； 2(2) T：1,1,1,3； 3(2) T：1,1,1,1； 4(1) T：0,0,0,0 4

24、分（）经过k次变换后，数列记为 ( )( )( ) 12 , kkk n aaa，1,2,k = 取 112 1 ) 2 caa=(+,则 (1)(1) 1212 1 | 2 aaaa=，即经 11 ( )T c后，前两项相等；取 (1)(1) 223 1 () 2 caa=+,则 (2)(2)(2)(1)(1) 12332 1 | 2 aaaaa=,即经 22 ()T c后,前3项相等；设进行变换() kk T c时，其中 (1)(1) 1 1 () 2 kk kkk caa + =+，变换后数列变为 ( )( )( )( )( )( ) 12312 , kkkkkk kkn aaaa

25、aa + ，则 ( )( )( )( ) 1231 kkkk k aaaa + =；那么，进行第1k +次变换时，取 ( )( ) 112 1 () 2 kk kkk caa + =+，则变换后数列变为 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 123123 , kkkkkkk kkkn aaaaaaa + + ，显然有 (1)(1)(1)(1)(1) 12312 kkkkk kk aaaaa + + =；经过1n次变换后，显然有 (1)(1)(1)(1)(1) 1231 nnnnn nn aaaaa =；最后，取 (1)n nn ca =，经过变换() nn T c后，数列各项均

26、为0. 所以对任意数列，都存在 “n次归零变换” 9 分（）不存在“1n次归零变换”. 10 分证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换() jj T c时， ()()11(1) 12 min, jjj jn caaa ，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行() jj T c后，再进行 11 () jj Tc + ，由 ()()11 11 | |()| jj ijjijj accacc + =+，即等价于一次变换 1 () jjj T cc + +，同理，进行某一步 () jj T c时， j c ()()11

27、(1) 12 max, jjj n aaa ；此变换步数也不是最小由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的 i c满足 ()()11(1) 12 min, iii n aaa i c ()()11(1) 12 max, iii n aaa 不妨设 ()()11(1) 12 iii n aaa ，根据 ( )()1ii kki aac =，则 ( )( )( ) 12 max, iii n aaa= ()() 11 1 max, ii ini caac ，由于 ()()()()1111 1 c; iiii iinnin caaaca ，所以 ( )( )( ) 1

28、2 max, iii n aaa ()()11(1) 12 max, iii n aaa ，所以， i c 12 max, n a aa 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n次归零变换” （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立（由（）可知，存在 “两次归零变换”变换： 12 53 ( ),( ) 22 TT）（2）假设nk=时成立，即 23 1,2 ,3 , k k不存在“1k 次归零变换” 当1nk=+时，假设 231 1,2 ,3 ,(1) kk kk + +存在“k次归零变换” 此时，对 23 1,2 ,3 , k k也显然是“k次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知 23 1,2 ,3 , k k不存在“1k 次归零变换”，则k是最少的变换次数，每一次变换 i c一定满足 k i ck，1,2,ik= 所以 11 1212 |(1)| (1)() kk kk kccckccc + +=+ 1 (1)0 kk kk k + + 所以， 1 (1)kk + +绝不可能变换为 0，与归纳假设矛盾所以，当1nk=+时不存在“k次归零变换” 由（1）（2）命题得证 13 分

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