1、巨人中考网 1 第十三届全国物理竞赛复赛试题解答 一一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解 13 - 1 所示电流的分布，已考虑到 电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为的圆电路，可得 2 ak = 2 1 r 1 I+ 1 r 1 I 对等边三角形三个边组成的电路，可得 33 2 ak / 4 = 2 2 r 2 I+ 2 2 r 2 I 对由弦 AB 和弧 AB 构成的回路，可得 （ 2 a-33 2 a/ 4）k / 3 = 1 r 1 I- 2 r 2 I 考虑到， 流进B 点的电流之和等于流出B 点电流之和， 有 1 I + 2 I = 1 I + 2 I
2、由含源电路欧姆定律可得 A U- B U = 2 ak /3 - 1 I 1 r 由以上各式及题给出的 2 r= 2 1 r / 3 可解得 A U- B U = - 3 2 ak / 32 二二、解法一解法一：1、分析和等效处理 根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为 c = arcsin ( 1 / n ) 42 注意到物长为 4mm，由 光路可估算，进入棱镜的近轴 光线在斜面上的入射角大多 在 45左右，大于临界角，发 生全反射。所以对这些光线而 言，棱镜斜面可看成是反射 镜。本题光路可按反射镜成像 的考虑方法，把光路“拉直” 如图复解 13 2 - 1 所示。现 在，问题转化
3、为正立物体经过 一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及其后 的会聚透镜、发散透镜成像的问题。 2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光 线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光 学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。 利用沿光轴的光线和与光轴成角的光线来讨论 就可求出这个移动的距离。 A BC O r1 r2 图复解13 - 1图复解13 - 1 r1 r1 r2 2r2 I2 I1 I1 I2 I1 I2 D l B B d d 图复解13 - 2 - 2图复解13 - 2 - 2 AB 6cm 10cm5cm L1L2 6cm 6cm A B 图复解13 - 2 - 1图复解1
4、3 - 2 - 1 巨人中考网 2 设轴上的物点为 B。由于厚平玻璃板的作用（即侧移的物点）为 B（如图复解 13 2 - 2 所示） 。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知 l = d（ctg） 而 d = D（tg- tg） 所以 l = D（1 tg/ tg） 当为小角度时 tg/ tgsin/ sin= 1/n 故得 l = D（1 1 / n）= 2 cm 这也就是物 AB 与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜 1 L来说就是物，而 物距 1 u = （6 2 ）+ 6 + 10 cm = 20 cm 可见，物正好在 1 L的左方焦平面上，像距即为 1 v= 。 再考虑透
5、镜 2 L，这是平行光线入射情形， 2 u= 。 所以必须成像于这个发散透镜 2 L左侧的焦平面上（虚像） 2 v = 2 f = - 10 cm 整个光路的最后成像位置就是在 2 L的左侧 10 cm 处。 3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如图复解 13 2 - 3 所示（为 了图示清楚图中把物高加大了） 。 连接 A 1 O并延长， 便得到发自 A 的光线经 1 L后的平行 光线的方向。过 2 L的光心 2 O作 A 1 O的平行线， 它与 1 L交于C点， 则 A C即为从 A 发出经过 1 L折 射后又通过 2 L光心的光线。反向延长 C 2 O与 2 L 左侧焦平
6、面的交点 A 就是 A 由 1 L与 2 L所成的像 点。 令 2 L左侧焦面与光轴的交点为 B 。BA 就 是BA的像，这是一个正立的虚像。由图可得 BA = 2 f tg BA = 1 ftg 而BA与 AB 等高，所以像的大小为 BA = （ 2 f / 1 f）BA= 2 mm 解法二解法二：关于物体 AB 经棱镜（折射，反射， 折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处 理。如图复解 13 2 - 4 所示，AB 发出的、与 PQ 面近乎垂直的小光束经 PQ 面折射后成像于 11B A 这是视深问题。 1 A、 1 B与 PQ 面的距离均为 A、 B 与 PQ 面的距离的 n 倍，即
7、 11B C = nBC1 11B A= AB（像与物的大小相 同） 11B A经 PR 面的反射成像于 22B A，大小不变，且 BCnPCBCCCBCBC 1111121222 22B A经 QR 面后折射成像于BA， 大小不变，且 BC3 = n/ )BCPQ(n/ )BCnPCQC(n/ )BCCC(n/BC( 11111222323 A B f2 f1 C A B O2 O1 L1 L2 图复解13 - 2 - 3图复解13 - 2 - 3 A1B2 AB A2 B2 A B PQ R C1 C2 C3 图复解13 - 2 - 4图复解13 - 2 - 4 巨人中考网 3 =（6 /
8、 1. 5 + 6）cm = 10 cm 由此即可求出这个像BA作为透镜 1 L的物的物距，其它部分的求解同解法（一） 。 三三、由对称性可知，C 点的速度也必沿 CA 方向，设其大小为 C v。D 的速度可以分解 为平行于 v 和垂直于 v 的分速度，其大小分 别设为 2D1D vv和。同样，B 的速度也类似地 分解为平行和垂直于 v 的二个分速度 ，其 大小设为 2B1B vv 和 ，如图复解 13 - 3 所示， 根据对称性，必有 2D2B 1D1B vv vv 2 1 由于绳子不可伸长，A 沿 DA 的分速度 和 D 沿 DA 的分速度 一定相等，C 沿 CD 的分速度和 D 沿 CD
9、 的分速度也相等，即 sinvcosvcosv sinvcosvcosv 2D1DC 2D1D 4 3 另一方面，设绳子 AD 给质点 D 的冲量的大小为 1 I，绳子 DC 给质点 C 冲量大小为 2 I。 注意到绳子 DC 给质点 D 的冲量的大小同样也是 2 I（各冲量的方向均沿绳子方向） 。由对称 性还可以判定，绳子 AB 给质点 B 的冲量的大小也是 1 I，绳子 BC 给质点 B 和 C 的冲量的 大小都是 2 I，根据动量定理，可分别列出关于质点 D 平行和垂直于 v 的方向以及质点 C 平 行于 v 方向的关系式如下： cosI2mv sinIsinImv cosIcosImv
10、 2C 212D 211D 7 6 5 由（3）（7）式可解出本题所需的 2D1D vv和、 C v )sin21/(2cosvv )sin21/(2sinvv )sin21/(vv 2 C 2 2D 2 1D 据此结果和（1） 、 （2）式，此系统的总动量为 )sin21/(mv4mvmv2mvP 2 C1D ， 方向沿 CA 方向。 此系统的总动能为 22 C 2 2D 2 1D 22 DCBA sin21/mv2vv2v2vm 2 1 EEEEE 四四、1、见图复解 13 4 。导体是一个等势体，所以导体球接地（ 球 V= 0 ）时，对于 球心点有 A B D v C 图复解13 - 3
11、图复解13 - 3 vD1 vD2 vB1 vB2 vC 巨人中考网 4 球心 V = 球 V = 0 （1） 另一方面， 可以直接计算球心点的电势。 因为 所有感应电荷都分布在球面上， 它们到球心的 距离都是 R， 而圆环上电荷到球心的距离都是 22 ar，所以 球心 V= K 感 q/ R + Kq / 22 ar （2） 式中 感 q就是要求的感应电荷总量。由（1） 、 （2）两式即得 感 q= - Rq / 22 ar （3） 2、导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势计算而求得： 球 V= 球心 V= K 面 q/ R + K q 22 ar （4） 式中 面 q表示分布在球面上所
12、有电荷的代数和，而导体球体内是不会有电荷分布的。由于题 给导体球为电中性，即 面 q= 0，所以由（4）式得 球 V= K 面 q/ 22 ar （5） 3、导体球的电势为 0 V时，再以球心点考虑： 球心 V= 球 V= 0 V （6） 而另一方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷分别产生的电势的迭加： 球心 V= K 面 q/ R + K q 22 ar （7） 导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由（6） 、 （7）两式解得 总 q = 面 q= R 0 V/ K - Rq 22 ar （8） 4、对比（8）式和（3）式可知，情况 3 比情况 1 只是在导体球上多了电荷 R 0 V/
13、K， 而导体球的电势相应地由零变为 0 V。可以设想从情况 1 出发，把导体球与地断开而维持原 来的 感 q大小及分布不变， 再把电荷 R 0 V/ K 均匀地加到球面上， 正是它使球的电势变为 0 V， 即成为情况 3。对于球外的圆环来说，这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心处的 等量点电荷对它的作用力，这也就是圆环受到的作用力。 由于圆环上的电荷均匀发布， 对圆环中心到球心的连线具有轴对称性， 把圆环上各线元 电荷受到上述等效点电荷的作用力沿二心连线方向的分量相加，就是圆环多受到的作用力。 所以，其方向是沿二心向外（图中向右） 。大小是 F = K 2/322 0 22 22 0 )
14、ar ( RaqV ar a ar q)K/RV( （9） R O a r O/ / 图复解13 - 4图复解13 - 4 巨人中考网 5 5、 可直接应用情况 4 的结果， 只是现在把 （9） 式中的 0 V用情况 2 中的 球 V值， 即将 （5） 式代入即可。所以，情况 2 比情况 1 圆环多受的力方向仍为沿二心连线向外（图中向右） ， 大小是 222 2 22 2/322 )ar ( Raq K ar Kq )ar ( Raq KF 五五、 当气球充满气体而球内压强大于球外时， 布料即被绷紧， 布料各部分之间产生张力， 正是这种张力可能使布料被撕裂。 设想把气球分成上下两个半球， 它们
15、的交线是一个直径为 d 的圆周，周长为d，所以要从这条交线处撕破气球，至少需要的张力为dfm，另一方 面，考虑上半球（包括半球内的气体）受力的情况，它受到三个力作用： 1、下半球的球面布料所施加的张力 F； 2、上半球外空气对它的压力的合力，其大小为4/pd a 2 ， a p是气球所在高度处的大气 压强； 3、下半球内气体对它的压力为4/pd 2 ，式中 p 为气球内气体的压强。忽略浮力时，上 述三力相互平衡，即 4/pd 2 = 4/pd a 2 + F 而当 F dfm时，布料即被撕裂，所以，气球破裂的条件是 4/ppd a 2 dfm （1） 设气球破裂发生在高度 h 处，则 hpp
16、p0aa （2） 而该处温度 hTT T0 （3） 这个温度也就是破裂时气球内气体的温度。又因为气球在上升过程中球内气体是等容变 化，所以有 p / T = 00 T/p 即 p = 00 T/Tp （4） （2） 、 （4）和（3）式代入（1）式，得 h m101 . 2 )T/p( )pp()d/f4( 3 pT00 0a0m 即所球上升到m101 . 2 3 高度以上就将破裂。 六六判断所用电路如图复解 13 6 。a 、b 、c、d 为四个电阻。P、Q 间可接电流计， 由电流计中电流 I 的方向可判断出 P、 Q 两点中哪一点的电势较高。 可能出现下列三种情况： 1、I = 0，这表示
17、四个电阻的阻值相等。 2、I 从 P 到 Q，这表示 P 点电势较高，a 、b 、c、d 中有一电阻偏大或偏小。有下列四种可能：b 偏大；c 偏大； a 偏小；d 偏小。 P Q ab cd 图复解13 - 6图复解13 - 6 巨人中考网 6 3、I 从 Q 到 P，这表示 P 点电势较低，有四种可能；a 偏大；d 偏大；b 偏小；c 偏小。 应采取的实验步骤和判断：设 7 个电阻为、，阻值相同的称 为正常电阻，阻值不同的那个为特异电阻。 第一次测量：将、分别接入 a 、b 、c、d 位置，这时可有以下三种情况： 情况 A：I 向下，则有四种可能：大；大；小；小。 情况 B：I 向上，则有四
18、种可能：大；大；小；小。 情况 A 和情况 B 中，其余三个电阻、均正常。 情况 E：I = 0，这时，、正常，特异电阻在、中。 第二次测量：若情况 A 或情况 B 成立，进行第二次测量时将、对调，即将、 、分别接入 a 、b 、c、d 位置。这时可能有以下两种情况 情况 C：I 向下，则有四种可能：大；大；小；小 情况 D：I 向上，则有四种可能：大；大；小；小 若情况 E 成立，特异电阻在、，第二次测量取其中两个，例如、放于电 路中 a 、b 位置，c、d 位置用正常电阻，则有三种情况： 情况 F：I 向下，则有二种可能：小；大； 情况 G：I 向上，则有四种可能：小；大； 情况 H：I
19、= 0，这时，、均正常，特异电阻即为 前二次测量分析： 若情况 A、C 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 A、D 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 B、C 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 B、D 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 E、F 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 B、G 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 E、F 成立，则只有一个可能：即为特异电阻，偏大抑或偏小待定。 第三次测量：无论以上前 6 种情况哪一种成立，可疑电阻的范围均缩小成为两个，可能 是某一个偏小， 或是某一个偏大。 第三次测量可将可能偏小的电阻与三个正常电阻接入电路， 根据电流计的电流方向即可判断出它或者确实偏小或者是正常电阻。 若是前者， 这个电阻就 是特异电阻。若后者成立，则可能偏大的那个电阻，阻值确实偏大，是特异电阻。 对于情况 E、H，只需测定的阻值偏大或偏小。用及三个正常电阻接入电路，即可 根据测定结果作出判断。 注：若第一次测量结果为情况 A 或 B，进行第二次测量时可以利用正常电阻、 中的任意两个代替、中的任意两个，分析与判断方法与上述相似。
