1、 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第1 页 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 （2006 年 9 月 3 日） 本卷共九题，满分 200 分 一、 （20 分，每小题 10 分） 1. 如图所示， 弹簧 S1 的上端固定在天花板上， 下端连一小球 A， 球 A 与球 B 之间用线相连。 球 B 与 球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分别为 mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计。开始时它 们都处在静止状态。现将 A、B 间的线突然剪断，求线刚剪断时 A、B、C 的加速度。 2. 两个相同的条形磁铁，放在平板 AB 上，磁铁的 N、S 极如图所示，开始时平板及磁铁
2、皆处于水平 位置，且静止不动。 （）现将 AB 突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触） ，并使之停在 AB 处，结果发现两个 条形磁铁碰在一起。 （）如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移，并使之停在 A B 位置，结果发现两条形磁铁也碰在一 起。 试定性地解释上述现象。 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第2 页 二、 （20 分，第 1 小题 12 分，第 2 小题 8 分） 1. 老爷爷的眼睛是老花眼。 （）一物体 P 放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼睛成像的光路 示意图。 （）带了一副 300 度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离
3、处的物体 P，试在示意图 2 中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。 2. 有两个凸透镜，它们的焦距分别为 f1 和 f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为 f3 和 f4。已知， f1f2| f3 | f4 |。如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大 倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为_的透镜作为物镜，应选焦距为_的透镜作为目 镜。 图 1 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第3 页 三、 （20 分，第一小题 12 分，第 2 小题 8 分） 1. 如图所示， 电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处， 电荷量为 q2 的正点电
4、荷固定在 x 轴上， 两电荷相距 l 。已知 q22q1。 （）求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 （）若把一电荷量为 q0 的点电荷放在 P 点，试讨论它的稳定性（只考虑 q0 被限制在沿 x 轴运动 和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况） 。 2. 有一静电场，其电势 U 随坐标 x 的改变而变化，变化的图线如图 1 所示，试在图 2 中画出该静电场 的场强 E 随 x 变化的图线（设场强沿 x 轴正方向时取正值，场强沿 x 轴负方向时取负值） 。 图 1 图 2 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第4 页 四、 （20 分）一根长为 L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可
5、弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大 气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长 L H 。现把细管弯成 L 形，如图 所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中 的气体泄出。当细管弯成 L 形时，以 l 表示其竖直段的长度，问 l 取值满足什么条件时，注入细管的水 银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示） 。 五、 （20 分）一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负 电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，
6、电子的质 量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件，即 2 h mrvn 式中 n 称为量子数，可取整数值 1，2，3，；h 为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差。 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第5 页 六、 （25 分）如图所示，两个金属轮 A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动，O1 和 O2 相互平行，水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1 轮的辐条长 为 a1、电阻为 R1，A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以
7、忽略。半径 为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起。一轻细绳的 一端固定在 D 边缘上的某点，绳在 D 上绕足够匝数后，悬 挂一质量为 m 的重物 P 。 当 P 下落时， 通过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动。转动过程中，A1、A2 保持接触，无相对 滑动； 两轮与各自细轴之间保持良好的电接触； 两细轴通过导 线与一阻值为 R 的电阻相连。除 R 和 A1、A2 两轮中辐条 的电阻外， 所有金属的电阻都不计。 整个装置处在磁感应强度 为 B 的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将 P 释放， 试求 P 匀速下落时的速度。 七、 （25 分）图示为一固定不动的绝缘的圆筒形
8、容器的横截面，其半径为 R， 圆筒的轴线在 O 处。圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应 强度为 B 。筒壁的 H 处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为 m、 电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经 与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P 与筒壁碰撞是弹性的， P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞的次数最少，问： 1. P 的速率应为多少？ 2. P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？ 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第6 页 八、 （25 分）图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面
9、，AB 是水平的，截面的边长都是 l 。一根 长为 2l 的柔软的轻细绳，一端固定在 A 点，另一端系一质量为 m 的小球，初始时，手持小球，将绳拉 直，绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0，使小 球与 CB 边无接触地向下运动，当 2 0 v分别取下列两值时，小球将打到梁上 的何处？ 1. 2 0 23 3 1)2(6vgl 2. 2 0 2(3 3 11)vgl 设绳的伸长量可不计而且是非弹性的。 九、 （25 分）从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少。假 定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R6400 km。
10、已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作 椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为 2 Mm EG a 式中 M 为地球质量，G 为引力常量。 1. 假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用 速度方向与地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示） 。 2. 若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 3. 试导出 2 Mm EG a 。 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第7 页 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 一、参考解答： 1. 线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力 B1AC ()Fmmmg （1） 弹簧 S2 的弹力
11、 2C Fm g （2） 在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故 F1、F2 的大小尚未变化，但线的拉 力消失。设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC ，则有 1AAA Fm gm a （3） BB B2 Fm gm a （4） 2CC C Fm gm a （5） 解以上有关各式得 BC A A mm ag m 方向竖直向上 （6） BC B B mm ag m 方向竖直向下 （7） C 0a （8） 2. 开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。 （）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段
12、。起初，板向下加速移动，板与 磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动。在 这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小， 最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板 相向运动并吸在一起。接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在 AB 处。在 这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹 力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变。 （）从板突然竖直向上平移到停下
13、，板和磁铁的运动也经历两个阶段。起初，板和磁铁一起作加速度 方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与 静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动。接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上 的运动，直到停在A B 处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度 愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小 于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。 评分标准： （本题 20 分） 1. 10 分。 （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 、 （5） 、 （6）
14、 、 （7） 、 （8）式各 1 分，aA、aB 的方向各 1 分。 2. 10 分。 （）5 分， （）5 分（必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这 5 分，否则不 给分） 。 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第8 页 二、参考答案 1. () 1 3 2. f1，f4 。 评分标准： （本题 20 分） 1. 12 分。 （）4 分， （）4 分， （）4 分。 2. 8 分。两个空格都填对，才给这 8 分，否则 0 分。 三、参考解答： 1. （） 通过对点电荷场强方向的分析， 场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。 设 P 点的坐标为 x0， 则有 12 22
15、00 () qq kk xlx （1） 已知 21 2qq （2） 由（1） 、 （2）两式解得 0 ( 2 1)xl （3） （）先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场强的大小分 别为 1 102 0 q Ek x 2 202 0 () q Ek lx 且有 E10E20 二者方向相反。点电荷 q0 在 P 点受到的合力为零，故 P 点是 q0 的平衡位置。在 x 轴上 P 点右侧 0 xxx 处，q1、q2 产生的场强的大小分别为 1 1102 0 () q EkE xx 方向沿 x 轴正方向 图 1 图 2 （） （） 第 23 届全国
16、中学生物理竞赛预赛试题 第9 页 2 2202 0 () q EkE lxx 方向沿 x 轴负方向 由于 21 EE， 0 xxx 处合场强沿 x 轴的负方向，即指向 P 点。在 x 轴上 P 点左侧 0 xxx 处 q1、q2 的场强的大小分别为 1 1102 0 () q EkE xx 方向沿 x 轴正方向 2 2202 0 () q EkE lxx 方向沿 x 轴负方向 由于 21 EE， 0 xxx 处合场强的方向沿 x 轴的正方向，即指向 P 点。 由以上的讨论可知，在 x 轴上，在 P 点的两侧，点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强的方向都指 向 P 点，带正电的点电荷在 P
17、 点附近受到的电场力都指向 P 点，所以当 q00 时，P 点是 q0 的稳定 平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点，所以当 q00 时，P 点是 q0 的不 稳定平衡位置。 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。沿垂直于 x 轴的方向，在 P 点两侧附近， 点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点，因而带正电的点电荷在 P 点 附近受到沿垂直 x 轴的的分量的电场力都背离 P 点， 所以， 当 q00 时， P 点是 q0 的不稳定平衡位置。 带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点，所以当
18、q00 时，P 点是 q0 的稳定平衡位置。 2. 评分标准： （本题 20 分） 1. 12 分 （）2 分 （）当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时，正确论证 q00，P 点是 q0 的稳定平衡位置，占 3 分；正 确论证 q00，P 点是 q0 的不稳定平衡位置，占 3 分（未列公式，定性分析正确的同样给分） 。 当 q0 被限制在垂直于 x 轴的方向运动时， 正确论证 q00 ， P 点是 q0 的不稳定平衡位置， 占 2 分； 正确论证 q00 ，P 点是 q0 的稳定平衡位置，占 2 分。 2. 8 分。纵坐标标的数值或图线有错的都给 0 分。纵坐标标的数值、图线与参考解答不同，
19、正确的同样 给分。 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第10 页 四、参考解答 开始时竖直细管内空气柱长度为 L，压强为 H（以 cmHg 为单位） ，注入少量水银后，气柱将因水银 柱压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时，管内空气压强 p（Hx） ，根据波意耳定律，此时空气柱长 度 HL L Hx （1） 空气柱上表面与管口的距离 L dLLx Hx （2） 开始时 x 很小，由于 LH，故 1 d Hx 即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至 dx（即水银柱上表面与管口相平）时为止。何时水 银柱表明与管口相平，可分下面两种情况讨论。 1. 水银柱表明与管口相平时，水银柱未进入水
20、平管 此时水银柱的长度 xl，由波意耳定律有 ()()Hx LxHL （3） 由（3）式可得 xLH （4） 由此可知，当 lLH时，注入的水银柱的长度 x 的最大值 max xLH （5） 2. 水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管 此时注入水银柱的长度 xl ，由波意耳定律有 ()()Hl LxHL （6） Ll x Hl （7） Ll lx Hl （8） 由（8）式得 lLH，或 LHl （9） L xLHLH Hl （10） 即当 lLH 时，注入水银柱的最大长度 max xx 。 由上讨论表明，当lLH 时，可注入的水银量最大，这时水银柱的长度为 max x，即（5）式。 评
21、分标准： （本题 20 分） 正确论证 lLH 时可注入的水银量最大，占 13 分。求出最大水银量占 7 分。若论证的方法与参 考解答不同，只要正确，同样给分。 五、参考解答： 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第11 页 正、负电子绕它们连线的中点作半径为 2 r 的圆周运动，电子的电荷量为 e ，正、负电子间的库仑 力是电子作圆周运动所需的向心力，即 22 2 ( /2) ev km rr （1） 正电子、负电子的动能分别为 K E 和 K E ，有 2 KK 1 2 EEmv （2） 正、负电子间相互作用的势能 2 P e Ek r （3） 电子偶素的总能量 KKP EEEE （4
22、） 由（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）各式得 2 1 2 e Ek r （5） 根据量子化条件 2 h mrvn n1，2，3， （6） （6）式表明，r 与量子数 n 有关。有（1）和（6）式得与量子数 n 对应的定态 r 为 22 22 2 n n h r ke m n1，2，3， （7） 代入（5）式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为 22 4 22 n k e m E n h n1，2，3， （8） n1 时，电子偶素的能量最小，对应于基态。基态的能量为 22 4 12 k e m E h （9） n2 是第一激发态，与基态的能量差 22 4 2 3 4 k e m E
23、h （10） 评分标准： （本题 20 分） （2）式 2 分， （5）式 4 分， （7）式、 （8）式各 5 分， （10）式 4 分。 六、参考解答： P 被释放后，细绳的张力对 D 产生机械力矩，带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动，通过两个轮子之 间无相对运动的接触， A1 带动 A2 作顺时针的加速转动。 由于两个轮子的辐条切割磁场线， 所以在 A1 产 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第12 页 生由周边沿辐条指向轴的电动势，在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻 R 构成闭合电路。 A1 、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难
24、看出，安培力产生的电磁 力矩是阻力矩，使 A1 、A2 加速转动的势头减缓。A1 、A2 从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之 逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1 和 A2 停止作加速转动，均 作匀角速转动，此时 P 匀速下落，设其速度为 v，则 A1 的角速度 1 0 v a （1） A1 带动 A2 转动，A2 的角速度 2 与 A1 的角速度 1 之间的关系为 1 122 aa （2） A1 中每根辐条产生的感应电动势均为 2 111 1 2 BaE （3） 轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。 同理，A2 中，
25、轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联，其数值为 2 222 1 2 BaE （4） A1 中，每根辐条的电阻为 R1，轴与轮边之间的电阻是 A1 中四条辐条电阻的并联，其数值为 1 1 4 A R R （5） A2 中，每根辐条的电阻为 R2，轴与轮边之间的电阻是 A2 中四条辐条电阻的并联，其数值为 2 2 4 A R R （6） A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路，其中的电流为 11 11AA I RRR EE （7） 以（1）至（6）式代入（7）式，得 111 0 12 1 () 2 44 Ba aa v a I RR R （8） 当 P 匀速下降时，对整个系统
26、来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即 2 12 44 RR mgvIR （9） 以（8）式代入（9）式得 2 120 222 111 (4) )( mgRRR a v B aaa （10） 评分标准： （本题 25 分） （1） 、 （2）式各 2 分， （3） 、 （4）式各 3 分， （5） 、 （6） 、 （7）式各 2 分， （9）式 6 分， （10）式 3 分。 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第13 页 七、参考答案： 1. 如图 1 所示， 设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外， 带电粒子 P 带 正电，其速率为 v 。P 从小孔射入圆筒中，因受到磁场的作用力而
27、偏离 入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的。但 与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出。造此情形中，P 在筒内的路 径由三段等长、等半径的圆弧 HM、MN、和 NH 组成。现考察其中一 段圆弧 MN， 如图 2 所示。 由于 P 沿筒的半径方向入射， OM 和 ON 均 与轨道相切，两者的夹角 2 3 （1） 设圆弧的圆半径为 r ，则有 2 v qvBm r （2） 圆弧对轨道圆心 O 所张的圆心角 3 （3） 由几何关系得 cot 2 rR （4） 解（2） 、 （3） 、 （4）式得 3qBR v m （5） 2. P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为 sr
28、 （6） 经历时间为 1 s t v （7） P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为 1 3tt （8） 由以上有关各式得 m t qB （9） 评分标准： （本题 25 分） 1. 17 分。 （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）式各 3 分， （5）式 5 分。 2. 8 分。 （6） 、 （7） 、 （8） 、 （9）式各 2 分。 八、参考解答： 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后，由于细绳处于松弛状态，故从 C 点开始，小球沿竖直方向作 初速度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动。当小球运动到图 1 中的 M 点时，绳刚被拉直，匀加速直 线运动终止，此时绳与竖直方向的夹角为
29、 30 。在这过程中，小球下落的距离 图 1 图 2 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第14 页 2 cos(13)slll （1） 细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式： 22 10 2vgsv （2） 在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可以不计，而且绳是非弹 性的，故小球沿细绳方向的分速度 1cos v 变为零，而与绳 垂直的分速度保持不变，以后小球将从 M 点开始以初速度 111 1 sin 2 vvv （3） 在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为 2l，圆心位于 A 点， 如图 1 所示。由（1） 、 （2） 、 （3）式得 2 1 2 0 11 (13) 42 vvgl （4
30、） 当小球沿圆周运动到图中的 N 点时，其速度为 v，细绳与水平方向的夹角为 ，由能量关系有 2 1 2 11 ( 32 sin ) 22 mvmvmgll （5） 用 FT 表示绳对小球的拉力，有 2 T sin 2 v Fmgm l （6） 1. 2 0 23 3 1)2(6vgl 设在 1 时（见图 2） ，绳开始松弛，FT0，小球的速度 1 vu。以此代入（5） 、 （6）两式得 22 111 2 ( 32 sin)vugll （7） 2 1 1 sin 2 u g l （8） 由（4） 、 （7） 、 （8）式和题设 v0 的数值可求得 1 45 （9） 1 2ugl （10） 即在
31、 145 时，绳开始松弛。以 N1 表示此时小球在圆 周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从 N1 处以大小为 u1，方向与水平方向成 45 角的初速度作斜抛运动。 以 N1点为坐标原点，建立直角坐标系 N1xy，x 轴水平 向右，y 轴竖直向上。若以小球从 N1 处抛出的时刻作为计 时起点，小球在时刻 t 的坐标分别为 图 1 图 2 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第15 页 11 2 cos45 2 xutu t （11） 22 11 121 sin45 222 yutgtu tgt （12） 由（11） 、 （12）式，注意到（10）式，可得小球的轨道方程： 22 2 1 2 x
32、x yxgx ul （13） AD 面的横坐标为 2 cos452xll （14） 由（13） 、 （14）式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 y0 （15） 由此可见小球将在 D 点上方越过，然后打到 DC 边上，DC 边的纵坐标为 (2 sin45)( 21)ylll （16） 把（16）式代入（13）式，解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x1.75 l （17） 撞击点与 D 点的距离为 2 cos450.35lxll （18） 2. 2 0 3 11)2(3vgl 设在 2 时，绳松弛，FT0，小球的速度 2 vu，以此代替（5） 、 （6）式中的 1、u1，得 22 122
33、 32 sin)2 (vllug （19） 2 2 2 sin 2 u mgm l （20） 以 2 0 3 11)2(3vgl 代入（4）式，与（19） 、 （20）式联立，可解得 2 90 （21） 2 2ugl （22） (22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为 0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增 加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以 D 点为圆心，l 为半 径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准： （本题 25 分） （3）式 2 分， （5） 、 （6）式各 1 分， （9） 、 （10）式各 3 分，得出小球不可能打在 AD
34、 边上，给 3 分， 得出小球能打在 DC 边上，給 2 分，正确求出小球打在 DC 边上的位置，給 2 分。求出（21） 、 （22）式 各占 3 分，得出小球能打在 C 点，再給 2 分。 如果学生直接从抛物线方程和 (2 sin45)( 21)ylll 求出 x1.75 l，同样给分。不必证 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第16 页 明不能撞击在 AD 边上。 九、参考解答： 1. 这是一个大尺度运动， 导弹发射后， 在地球引力作用下， 将沿椭圆轨道运动， 如果导弹能打到 N 点， 则此椭圆一定位于过地心 O、 北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面 （此平面是 C 点所
35、在的子午面） 内，因此导弹的发射速度（初速度 v ）必须也在此平面内，地心 O 是椭圆的一个焦点。根据对称性，注 意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的的直线，即 图上的直线 AB，椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下 作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量 E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴 a 的关系 为 2 GMm E a （1） 要求发射的能量最少， 即要求椭圆的半长轴 a 最短。 根据椭圆 的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a，现 C 点到一个焦点
36、 O 的距离是定值，等于地球的半径是 R，只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离最小，该椭圆的半 长轴就最小。显然，当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足 处时，C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知 2 2 2 aRR （2） 设发射时导弹的速度为 v，则有 2 1 2 Mm EmvG R （3） 解（1） 、 （2） 、 （3）式得 2 ( 21) GM v R （4） 因 2 Mm Gmg R （5） 比较（4） 、 （5）两式得 2( 21)vRg （6） 代入有关数据得 v7.2 km/s （7） 速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线
37、，平分两焦点到 该点连线的夹角 OCP，从图中可看出，速度方向与 OC 的夹角 1 904567.5 2 （8） 2. 由于地球绕通过 ON 的轴自转，在赤道上 C 点相对地心的速度为 2 C R v T （9） 式中 R 是地球的半径，T 为地球自转的周期，T243600 s86400 s，故 0.46km/s C v （10） 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 第17 页 C 点速度的方向垂直于子午面（图中纸面） 。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 vC， 为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7） 、 （8）两式的要求，导弹相当于地面（ C 点）的发 射速
38、度应有一大小等于 vC，方向与 vC 相反的分速度，以使导弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的 速度的大小为 22 C vvv （11） 代入有关数据得 v7.4 km/s （12） 它在赤道面内的分速度与 vC 相反，它在子午面内的分速度满足（7） 、 （8）两式。 3. 质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远 地点有下列关系式 22 12 12 11 22 GMmGMm mvmv rr （13） 1 12 2 11 22 rvr v （14） 式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离。将
39、（14）式 中的 v1 代入（13）式，经整理得 2 22 2212 11 2 1 1() 2 r GMm mvrr rrr （15） 注意到 r1r22a （16） 得 2 1 2 2 1 22 rGMm mv ar （17） 因 2 2 2 1 2 GMm Emv r （18） 有（16） 、 （17） 、 （18）式得 2 GMm E a （19） 评分标准： （本题 25 分） 1. 14 分。 （2）式 6 分， （3）式 2 分， （6） 、 （7）式共 4 分， （8）式 2 分。 2. 6 分。 （11）式 4 分， （12）式 2 分。 3. 5 分。 （13） 、 （14）式各 1 分， （19）式 3 分。
